Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 60
Текст из файла (страница 60)
На основании решения примера 60, имеем о — с Г(С) = е " ( — 1)™ с + 2 ) ( — 1) соз 2(пс — и)С Следовательно, / -с ссос =с-~С'-'< ' )+ 2;с-Г ).-" ..Я вЂ” вез. а о =с -с сс" в силу чего !пп !и П (х+ й)! с '. = О. а=о я Таким образом, 1 = — ', 2 ,'( — 1)я+'Сс 1п(1+ й), м ' ь=с Е оо „, соз(2т — 1)х 90. Нычссслит 1 = [ е-" ' 1х,а>0. соз х о м Функция у': х е с '— -'~ — '-'-'-: — )х, х Е Кт'С(хь), хь = -+Ох, й Е ае, имеет особые то ски » 41 — (д+ь ) хя, Посколысу существует 1пп у(х) = ( — 1)"' (2оз — 1)е [э ), то функция С е Г(С), -*с.
0 < 1(+сю, где 6 4. Несобственные интегралы 303 Поскольку е 'сов2(т — п)г т Кее! ьт'Нм "11', то е1-«т' С вЂ” П е сов 2(оь — гг)101 = Ке -а + г 2(гп — и) о о е (сов 2(гп — гг)г+ ьзш 2(т — п)Г)( — а — г2(гп — п))~ = г !о (2(т — и) аш 2(ти — а)1 — а соа 2(т — п)1) к)г о (е ох(2(т — гь) сйп 2(т — п)х — асов 2(пг — п)х) + а). + 4(пг — п)г Ке ' аг 4(гп — и) е аг + 4(т— аг Таким образом, 1— готг о-г й.= ра ( — 1)'" ' ' +2~ ( ) х +ьь г а С-~ аз+4(т — П)г »=! и) ош 2(т — в)х — асоа(т — п)х) + а) 1)п-г ( ц — г г ( ц ю-г-1 +2а Е +2а У аг -~-4(гп — п)г а ' с-г аз+41г =1 г г х (е "(2(нов 1 91.
Показать равенство ( 1(ах+ — ) 4х = — ! ((11х~+4а6)г(х, где а > 0 и Ь > О, х~ а / После замены переменной получим г'г ь Ь ьь е,= — ! ХЕ)( )ь, 1= — ~у(О(~ь )о гЛь 1 = — а'1 = — 1(г)4(~юг — 4а6). а ! х/гг — 4а6 а ! го2ь готе Полагая в интеграле агат — 44аа6 6= г, имеем 1 = — 1 !(,/я~ + 4аЬ) Иг. / а / о 92. Если интеграл / 1(х) 4х сходится, то обязательно ли 1(х) ь 0 при х ь +со? о о предполагая, что интеграл в левой части сходящийся. + 4 Обозначим 1 = ) !(ах+ -! 4х и произведем замену ах + - = 1, предварительно ы ь о представив 1 в виде 1 = 1~ + 1г, где Гл. 4. Определенный интеграл 304 + оо М Необязательно. Рассмотрим, например, интеграл Френеля 1 = / яп хгИх. Произведя о в нем замену хг = Г, получим е 1 1 Х о1лгг 1 1 злит япг Х= —, / — ой=Хл+Хг, гдеХл = — / — он, 1г= / Й.
.Х,Х[ ао еа 1 яп1 Поскольку Бпл = О, то Хг существует. Интеграл 1г сходится по признаку Дирихле, г-ео луг поскольку —,- ) О при à — +со, а функция х е ) явто11 = сох 1 — сох х, 1 ( х < -рос, л ъ'у 1 ограничена числом 2 Чх Е]1, +со[. Следовательно, 1 сходится, а функция х ~ зшхо, О ( х <+со, не имеет предельного значения при х +со. +» Рассмотрим также 1 = ] хяпх Их н произвелем в этом интеграле замену х = П Прн 4 г о е этом получим сходящийся интеграл 1 = — ] э1а г М. Вместе с тем функция х е х зш и, г ° г л г о О ( х < +ос, не ограничена при х +оо.
Следовательно, несобственный интеграл ] Х(х) дх может сходиться и в случае, когда функция 1 не ограничена при х — +ои, и + 93. Доказать, что если интеграл / !(х) 4х сходится и Х вЂ” монотонная функция, то 111 Х(х) я о ~ — 11 прн х +со, Поскольку интеграл сходится, то для нето выполняется критерий Коши г Чх>ОЗЛ>а;Чхл>ЛллЧхг>А=е Х~Х(х)о1х <с. 1 Фиксируем произвольное хо > Л и рассмотрим при х > хо интеграл / 1(1) ой, о Так как [Х] — монотонно убывающая функция, то ]1(х)] ( ]1(хо)] при х > ха, поэтому /'Х(г) М *о [Х(х)~(х — хо) < Поскольку 1пп хо~!(х)) = О, то из последнего неравенства следует, что 1шл х1(х) = О, т.
е. !(х) = о (-) прн х +ю. 94. Найти представление «-функции Римана с помощью несобственного интеграла. М В примере 21, гл. 3, показано, что [х] 1 Х [х] 1 1 л1 — 1хж — — — +1+ — +... + — +С, .л+л й [ хл 2л ''' [х]л!' А ф О. я Из сходимости интеграла следует, что ~Х(х)~ О при х +со (в противном случае интеграл расходился бы, гак как функция Х в силу монотонности должна быть знакопостоянной при всех достаточно болыпих х, поэтому функция х е ] 1(Г) Ж, а < х < +оо, была бы неограниченной прн х +ю).
Таким образом ~Х[ — монотонно убываалщая функция. ! 4, Несобственные интегралы Если Л>О,то ((Л) = / л+, 4х = Игл ~1+ — «+ ... + — л), и = (х). М л Исследовать на сходнмость несобственные интегралы: г 95. 1= / — '. о и Из неравенства 1л х < х — 1, 1 < х < 2, следует неравенство (1пх) > (х — 1) ', позтому г г 1п(яв х) 1, 1л(яа х) !пп — 1пп л «о,/х х -оо 1 хг сгд х !пп *-+о (, ) -л-- л — — Л х г л+- 1 х г 1пп — т — с — —— О -+о (=-Л)х лг л+- 1 х г !пп -оо (;,' — Л) гдх (т. Л+ Л > 1), При х +О подынтегральная функция имеет порядок роста ниже как интеграл чем функция У.
Так ео +о сходится, то, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, интеграл 1 сходящийся. М 97. 1= / хг!вох лчо м Произведем в интеграле замену переменной, полагая !ах = !. Тогда получим о( 1= Ж, ы Представим ! в виде 1 = 1~ + 1г, где 1 е (л-г)л 1л — — / ~11, го оо + е Г (г — гр 1= ~ — 11. го 1 г 1 о Так как 1пп 1и — = +сил, то интеграл 1 — расходи~ся, следовательно, согласно ллуикту о+о 1 ы* о+о 4.5, интеграл 1 — расходящийся. В 96 1= / л/х Сравним в правосторонней окрестности точки х = О подынтегральную функцию с 1 функцией 1: х ь- —,, О < х « —, — Л < 1, рассмотрев предел Гл. 4.
Определенный интеграл 306 !'-ю' При 1 +О функция 1 ! — '„, 0 < 1 < 1, д > О, р б К, имеет тот же порядок роста, 1 что и функция 1 ! —,, О < 1 ( 1, а при д < 0 интеграл 1! не является несобственным. Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4,6,интеграл 1! сходится, если д < 1, и расходится, если д > 1.
!1-Ю! При 1 +со функция 1с- ° „, 1 < 1 < +со, р > 1, убывает быстрее любой функции 1 вида 1 1-+ —,„, 1 < 1 < +со, о > 1, так как в этом случае при любом д б К имеем Π— Р 1пп: — = О, 12 следовательно, интеграл 12 сходится при р > 1, Если р ( 1, то 12 расходится. Таким образом, интеграл 1 сходится лишь при д < 1 и р > 1. М + х ео М Представляя 1 в виде 1 = 1! + 1г, где 1 1, = ~"" *3х, +о видим, что интеграл 1! сущестнует, поскольку 3 1нп — ' = О, оо Записав 12 в виде й сс 2 и приняв во внимание, что 1цп )' — = 1нн 1нх =+со, а интеграл ) — 'с!х сходится по + 1 1 признаку Дирихле, делаем вывод о том, что интеграл !г расходится.
Следовательно, интеграл 1 расходящийся. м +! 99. 1= / оо м При р = д, очевидно, интеграл 1 расходится, поэтому исследуем его прн р ~ д. Пусть р < д. Представляя 1 н ниде 1 = 1! 4- 1г, где + !4х / !!х 1! = 12 = х!' + хг' ! х1' + хо' +о 1 исследуем интегралы !! н 1г в отдельности. Поскольку ! 1 гт с = щ14*с-О и хо " О при х -! +О, то подынтегральная функция в 1 П имеет при р > 0 тат же порядок роста, что и функция х 1-! —,, 0 < х ( 1, р > О.
Если р ( О, та интеграл 11 существует, Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, 1! в рассматриваемом случае сходится, если р < 1, и расходится, если р > 1, Исследуем 12, представляя подынтегральную функцию в виде 1 1 Х(х) = 1 ( х < +ос. х! + гг хо(1 4 хг-о) ' При х — ! +оо Дх) = О ~1 —,1, следовательно 12 сходится при д > 1 и расходится, если д < 1, 11 Таким образом, если р < д, то 1 сходится при всех р < 1 и д > 1. Если р > д, то, очевидно, исследуемый интеграл сходится при всех р > 1 и д < 1. 14.
Несобственные интегралы 307 ! зшх 1 = 1 — йх. *! Так как 0 « '— ' 1 прн х! < х < хг, та 0 < 1 < хг — хг, поэтому Х вЂ” ! 0 прн х! -+ О, хг — О, в силу чего интеграл 1! сходится согласно критерию Коши. Поскольку (Р(г)( = / сйвгй < 2 Чх е]1, +оа(, а функция х !-! —, 1 < х < +оо, убывая, ! стремится к нулю, то интеграл 1! сходится по признаку Дирнхле. Из сходимости интегралов 1! и 1г следует, что интеграл 1 сходится. Из неравенства (зш х~ > сйп х, справедливого Чх б й, решения примера 98 и признака сравнения 1), и. 4.6, приходим к выводу, что интеграл т (мп х) ! расходится.
следовательно, 1 — абсолютно расходящийся интеграл, М ! з1п (х+ -) 102. ! =- ( ' ' 4х. х аа и Пусть 1 = !! + 1г + 1з + !! ц, где +! 1а = соз х згп— * Ых, х« ! ! ! з!и х сов —, *' !1х х" ! ! "созхзгп— 1 =~ ' !1~ в згп х соз ха ! Такое представление в эмажна для тех эиачеияй параметра о, при которых интеграл 1 существует. Оба рассмотренных случая легко объединяются в один: 1 сходится, если ппп(р, д) < 1, шах(р, д) > 1. и ! Р„,(х) 100.
1 = 1 — !1х, где Р,(х) и Ря(х) — — взаимно простые многочлены степеней / Р (х) +а соответственно т и и. 4 Если многачлен Р„(х) имеет действительные нули х = х, на интервале )О, +аз[, то интеграл расходится, согласно признаку 3), и. 4.6, так как прн х х, подынтегральная функция будет иметь одинаковый порядок роста с функцией х! „, хбЯ(х„б), А>1, 1 (х — х,)" ' (здесь 5(х„б) — б — окрестность точки х,). Если же многочлен Рв(х) не имеет действительных нулей на интервале )О, +аа(, то при х +оа ' = О ( — „) и интеграл 1 будет сходиться согласна признаку сравнения 2), п.
4.6, если и — г!! > 1, и будет расходиться при и — т < 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие интегралы: 101. 1 = l '— "" * 4х. х +а и Представни 1 в виде 1 = 1! + !г, где ! ! з|пх ! сйвх ! = 1 — !гх, 1г — — 1 +о ! Рассмотрим при 0 < х! < хг < 1 интеграл г ! л, 4. Определенный интеграл 308 а затем произведем в интегралах 1! и 1э замену —, = !.
Тогда получим ! т зсп ! соз —, с11, гг! ! 1! = соз ! шп— с с!! гг-с ! иэ чего следует, что интегралы 1с, 1с и 1г, 1э однотипны. Поэтому достаточно исследовать интегралы Хг и 1с и результат исследований автоматически перенести на испегралы 1! н 1г. ! Поскольку Ыш соз — = 1, то 3хо > 1: + х 1 1 соэ — 1 ! Чх > хо ~ — < соз — < 1, — < — ' < —, 2 х ' 2хо х" х ! си— поэтому — Хк ! О при х +сх! и о > О. Функция х с-! сйп х, 1 < х < +оо, имеет ограниченную первообраэную Чх Е [1, +схс[, Таким образом, при п > 0 интеграл 1г сходится по признаку Дирихле. Покажем, что 1г расходится при и < О. Пусть задано произвольное 0 < с < 1.
Положим ! ! су = — сг и возьмем такое и Е И, чтобы выполнялось неравенство соз — > — при х > 2псг. г сг +ц Применяя первуа! теорему о среднем к интегралу ) х сйа х соэ — с!х, получим неравенство в ! г !го+О сс. 1 х зсп х соэ — ссх ! з = 21„" соз — > 8„> 1, 2!!я < 6~ ~( [2п+ 1)х, Г го ! ! — сояйх зсв х ]асах соэ ~ 1 < < —, 4х" 2х х х" выполняющихся при всех достаточно больших х > 1, следует, что 1г сходится абсолютно при и > 1, а при и < 1 абсолютно расходится. Следовательно, И абсолютно сходится, если 2 — о > 1, т. е. при о < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
