Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 56
Текст из файла (страница 56)
1/2 7 7 ч В неопределенном интеграле (, ~,, с!х, з е К, произведем замену переменной по фор- 1 муле з — — = 1, з ~ О. Тогда с!х = ( = — агс!д — + С = — згс1О + С, х е !и'г(О). ./ ' - С ' ь/ 1+хг ! /й 1 1, 1 х — 1 1+ зс / !1+ 2,,/? ь/2 т/2 зс/2 С помощью замены переменной с последующим применением формулы Ньютона — Лейй- ница вычислить слс"дующие интегралы: 0,71 39. 1= (*+1)т/г.г-(-1' 0 1 щ г 1 г М Полагая — = 1, получаем: з = — — 1, с(х = — —,, х + 1 = — — -+ 2; тогда .!. 1 ы' Р с 2 2.
Основные теоремы и формулы 223 < Интегрируем по частям, полагая юл хая = йо(х), щвп 1 х = в(х). Прн атом имеем а 2 2 2 1.=:....--'. 41н — !~.;."-*. 4.4.=1ч — 1(~.. -'..-~„..4.)= г о о о = (и — 1)(1п-2 — 1и). п-1 Получили рекуррентное соотношение 1п = — 16-2, с помощью которого находим и 1и = 2 2 ч с помощью замены — — х = г убеждаемся в том, что ) соби х 14х = ) млп х 14х, м о о 45. 1и = 1~ад' х1х. о м Интегрируя в пределах от 0 до —, тождество Од их14х = Од " х14(ьцх) — гц п х14х, получаем рекуррентную формулу с помощью которой находим +( — 1) 1о=( — 1) 16 — 44 1)4-1 ( " ( Ца- 4 ~-4 2в — (2Й вЂ” 1) (( х-4 2(в — Й) + 1 / где 1о = 16 Вх = —. о Вводя новый индекс суммирования и — й = т, окончательно получаем 43.
1= / юпп хНх. 44. 1п = / созп х44х. о 4 46. 1. = / (","о' о (214 — 1)!! 11 1)- ' 2хМ! 2х) В1 если п ж 21 + 1. (24 +ЦВ1' 2 12 4 — 1п-1 = — — 16-1~ 2в — 1 2п — 1 о п х хи ( 1) ~,-2 2нг+1) иО Гл. 4. Определенный интеграл 274 м Произведя в интеграле замену — — х = 1, получим ь !дз" 1 ° — +1 ! = — — +1„ь.
2гь 2в о 1 = — 13 "~'(ь(! а Последовательно используя полученную рекурреньтьую формулу и — 1 раз, имеем 1 " (-1)-- ( 1.=( Ц 1о+- )-— 2 пь зь=! ((2!в+1)(2т+3) ... (2т+2п — 1))(2т+2и)Л 2 х(г )((г ). 2"'+"+ь(т+ и)!2 !"тьв 2(2т + 2в)П х(2н)!(2т)! 2ьчьт™+! Рп! ьь!(т + и)! 48, 1„= / х"'(1п х)" ь(х, Е =10, 1]. М Согласно определению 3, и, 1, ь, имеем ! 1 = ~ Р(~)ь(~, о ( х~(1пх)", х Е Е, где Е(х) = ' ' ' ' Функция Р непрерывна справа в точке х = О, так как '( 0, =0. )пп Р(х) = О, следовательно, Р Е Я[0, 1).
Интегрируя по частям, получим з +00 !! ьп + 1 а пь + 1 ( т+1 Рассуяьдая аналогично относительно интегралов 1„ ь, 1„ ь,..., 1ь,находим ! где 1о = ) х™ ь(х = —. Окончательно имеем ьчт! о и. (пь+ 1)" ь' ь о о где 1о = ( гдть(1= ) -~771() =1псоз1 =(пъ'2. В о з Т 47.
1(2т, 2и) = / зьпмвхсоззохь(х. о М Полагая соз х ь(х = ь(е(х), зьпю" х соз!" ' х = и(х) и применяя формулу интегрирования по частям, находим рекуррентное соотношение 2п — 1 ((2т, 2п) = 1(2т + 2, 2в — 2), 2т+ 1 пользуясь которым и — 1 раз и принимая во внимание решение примера 43, получим (2п — 1)(2п — 3) ... 3 1 1(2т, 2ьь) — ' " ' 1(2т+ 2и, О) = (2т+ 1)(2!а+ 3) ... (2пь + 2п — 1) (2п — 1)!!(2!в + 2п — 1)!! 275 5 2. Основные теоремы н формулы Примеры 49 — 54 являются теоремами, которые могут быть использованы при выиислеции некоторых интегралов и рассмотрении отдельных вопросов теории. 49. Доказать, что для непрерывной функции у: [ — 1, !) — ~ и имеем: 1) / ((х) йх = 2 / 1 (х) Их, если функция !' четная; о 2) / !'(х) йх = О, если функция ! нечетная.
М В силу свойства аддитивности интеграла справедливо равенство о У(х) йх = /1(х) йх + / 1(х) 4х. Полагая в первом интеграле х = — 1, имеем У(х) !х = /(Пх) + 6-х)) йх если 1 четная функция, то 1"(х) + 1 ( — х) = 27"(х), О < х < 1, и получаем 1). если 1 нечетная Функция, то 1'(х) + т ( — х) = О, О < х < 1, и получаем 2). ° 50. Доказать, что одна из первообразных четной функции есть нечетная функция, а всякая первообразная нечетной функции является четной функцией. М Пусть 1 Е Л[ — 1,1]и является четной функцией.
Тогда любая Функция Г . 'х ~ / !'(1) й+ С, С' = сопзо, о является первообразной функции 1" на сегменте [ — 1, 1) (множество точек разрыва функции ! не более чем счетное). Рассмотрим интеграл [ у(1)Ж,произведем в нем замену — 1 = х и воспользуемся четноо стью функции 7. При атом получим Следовательно, (Г( — х) = -Г(х)) С"" (С = О), т. с. лишь Функция х ~-~ [ Х(1) й, — 1 < х < 1, о является нечетной.
Пусть у — нечетная на сегменте [ — 1, !) Функция и ! б В [ †, 1[. Тогда у(х) йх = / 1(1) о)1+ С, С = сопзц о Рассмотрим произвольную первообразную функции 1" з 2. Основные теоремы н формулы гу(() Если в = 2)о, )и б М, то 2) Г(х+гх) = Г(*)+ ~з!и'"х !х. о, сужение'на сегмент [--, -) 3' 2) Поскольку функция х ) ьзв~"' х, х б К, имеет период т, а ее является четной функцией, то 3 4 Х 4 ( гйв хал.
о з о о з)п х))х = 2 ып х4х = Следовательно з С») = ! з)п хо!х = 4! зш х))х = 2х — '-'-'зз-' ' »)» зт ° 3»» ' (~~, 2 ".:, ) »*)' )) ! е (2га)!! о о (см. решение примера 43). Таким образом, Г(в+ 2х) — Г(х) ы С Рассмотрим Функцию Ф ) х ) Г(х) — с х, х 6 К. Поскольку Ф(х+ 2х) = Г(в+2з)— — (х+2т) = Г(х+ 2)г) — С, — зг х = Г(х) — фх = Ф(х), то Ф )ц)ляется,2х — период»))4еской функцией, в силу чего Г: х ~у()йт, б К, ))х ) .1 где à — непрерывная периодическая функция с периодом Т, в общем случае есть сумма линейной функции и периодической функции периода Т, < Согласно теореме 2, п. 2 П функция Г дифференцируема!!хбК, н при атом Г (х) = у(х).
В силу периодичности !, имеем Г~(о+ Т) = у(!). Интегрируя на сегменте (хо) х), находим Г(х+ Т) — Г(хо + Т) = Г(х). Поскольку * +т т Г(хо+ Т) = / )'(Г) А =,/ Щ))4 = С, С = сонат, *о о то Г(х+ Т) — Г(х) = С. Если С = О, то Г(х + Т) = Г(х) и Г является пе))нод)(че»ко(г функцией с периодом Т, Если С ~ О, то введем в рассмотрение функцию Ф: х Г(х) — — х, х бК. С' )" Ь Т Поскольку Ф является периодической функцией с периодом Т, то ' С Г(х) = Ф(х)+ах, х ОК, а=' —, Т' есть сумма периодической и линейной (однородной) функций. а ) .. »"; .) и»л;з 54- Доказать, что если ) б С(О, !), то: 3 3 ) Й *)), -) Г) *)ь; 2) ),)Оь»), = '- )»ох„)),.
2 ! о о о, » о ),).; )г! ))! .,и ь"г) зз Г(х) = Ф(х) + а„,х, х 6 К, а„- —, С, 2т ' т. е. функция Г представима в виде суммы 2т-периодической функции Ф н линейной (одно- родной) функции х )- ° а х. ° ,,)! ) 53. Доказать, что функция 279 3 2, Основные теоремы и Формулы При а Оя 1 представим 1 в виде 1 = —,, (1г — 1г), где 1 о 4Ь / созг х / (соя х 1 +зсозх' 1 1+ясозх 1 1, е ег о о л + Ых = — — + —, о(1 + )у) г е = —, )я) ( 1, 2а 1+аз ' то Принимая во внимание, что 1 = — при а = 1, получаем г если )а) ( 1, если (а( > 1- 58. 1= (2+ соя х)(3+ соя х) о и из тождества 1 = (3+ соя х) — (2+ соя х) следует, что г Ых 1 = ег 1 + зг соз о 3х яг х 1 1 +ягсоях' о где зг = —, зг = —.
Так как 1 1 г' 3' то 1 = 2к (=! — — — '-г ) = к (~ — — ) . 59. 1= 1 'гпих,~ П=)9 х( 1 мих Е и Поскольку 11пг '— '"."" = и, П|п *— ".'"' = ( — 1)"з'и то -зо Нз з — — о "" Зх = Д(х) 3х, ипх Я о где 1(х) = и при х =О, ( — 1)"~ и прн х = гг. Из формул Эйлера следует, что з1п хх = — (е' ' — е ' '*), 9 = 1, и, следовательно, ! и -Юз г~ соя -и з П зн- > е'з — г я=г 2(соз(и — 1)х + соз(и — 3)х + ... + соз х), если д четное, 2(соя(и — 1) х + соз(и — 3) х + ...
+ соз х) + 1, если и нечетное. Следовательно, 1 = гО, (л — (1 — з~)1г). т, -о Поскольку 1г = ( г агс13 (./~13-) + г < т'] ) ~ = ~~ (см. пример20), 1 — (1 /1 зг) — (1+ аг !1 аг!) яг(1 + аг) 4аг 280 Гл. 4. Оиределевиый интеграл Поскольку / соэ(п — О)х](хлэ '†и(-у э ] ~ Р, О = 1, 3, ..., а — 1, то э и й ' к ./]] ]!, 1 авве )] ~ О, еслна четное, ' ! - ' ]ь х,' если в нечетное, х э 66.! ~~-" — + ]йй,е ]!, ]]( — '). л и'='"'-'е =)'»]] * Б ю где У(х) (-1)" (2п+ 1), если х = -".
Согласно формулам Эйлера, имеем с (2 +1)х 1(ек "+]1 +е Д "+~»*), = 1(х' +с '*), 2 2 э $(х) эх2д~» (-1) соэ2(о — (й — 1))х+(-1)", О < х < х. й ! Следовательно, т = у(х)Ых = о э 2.]-!Г-')' ]] -] -!]]*!*+]-!г.= йэ! п = К]-!]"" — "»]»=-»"-=]]* +]- ] *-]-] .. ° 2(а — (1 — 1)) й ! о В1. 1= соээхсоэ х]»х. е 4 С помощьйо формул Эйлера находим й э /» ! э ч й э й=! й=! Интегрируя полученное выражение иа сегменте (О, х) н принимал во внимание равенства соэ21х]1х = О, l э 1=1, и, Уч 1 т„! О"' э ...62. 1 =, э»в ох мв" х Нх.
э и е1 Фуикцпл х ! 22~~-".~Па, х Е Е, имеет предельное значение прн х — ] ~, равное (-1)" (2п + 1), поэтому 12; Основные теор>емва и формул>эя тэз„,в ч, П ° Произведем в интеграле замену а = '-+ч. Прн этом получим 2 2 2 у и х 1 =2!ло —, соэ ! сввп!В+с>л>22- соэттнЬпэ>22, 2 2 2 так как функция ! > соэ" !воза!, -д~ < ! < -, нечетная, то, еоыасио примеру 49> имен>>р Ф соэ" ! мв и! в! = О. Следовательно, 1 = нв о - соз" Ф сге о! >(Ф, .I В предыдущем примере показано, что сов" ! соэ в! = — + — у С„сов 2ах.
2" 2" ь Принимая во внимание равенства >с 2 Ф 1 соз2хх>1х = — эщ2хх~ „О, 2й > 2 находим 21ап- 1 э 1= — 2 >21= — эп>п-, р 2" / 2" 2 63. Многочлен Лежандра определяетсл формулой Р„(х) = — ° †(х — 1)", о 6 Уе. 2 з 2" н! >>х" э, Доказать, что и Рассмотрим прн >в < в интеграл ! >и->» озэ >» ! ~1 1 — (-1) о>! — (х — 1) Их — (-1) п>! — (х — 1) эв О (1) -1 -1 н вычислим его, применив формулу интегрирования по частям п> раз. При этом полрннмк, о Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
