Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 59
Текст из файла (страница 59)
=,, —,, находим 1 1 1 1 а)! (х) (Зх = агс1д х — — агс18 — = — — — агссд —. Л .1/2) ц 4 112 ь(2 о Поскольку -! — г — = — — — и х(1х = — (1(х ), то 1 1 1 г +Зг Ь2 зг+1 в!+2 г < ! 1 1',1(хг) ) 1(хг) 1 хо+1 1 1 2 1' 1 4 — — 1п — = — (1п — — 1п -1) = — !п — , . / ег+1 / хг Ь2 2 хг+2 2(, 3,) 2 3 о о о ) „з 4х ! 2,1(1+ г) !((1+ 2) 1),1( + г) 1 1 Ь 1 аг!(х) (Зх = — I ((1+ х ) ) — (1+ х ) з) (1(1+ хг) = 2) о о 14 — (1-1- х ) з — (1.1- х )з = — <ы'2+ -) .
Е 4 < 3 г — 3 г ь 3 1э 3! 8 )„28'1 2) Принимая во внимание тождество 2 + сов 2х = 3 — 2вшг х, находим 1 1 ! <у'- )== (~ (')го - — 1 о о Окончательно получаем г — — ~ агс18— 2 з 1= —;:'"; .--с)-)) ' 1 8 1. Вычислить 1 = / .4(х) (Зх, где о 1 Л(х) (Зх = о 1 1 а!2(х) (Зх =— о 1 и!1(х) (Зх 1 ) агь(х) (Зх о ) а!г(.о) (Зх о 1 ) агг(х)(Зх о 1 4. Несобственные интегралы Упражнения для самостоятельной работы Вычисинть следующие интегралы — 1=':т сое" хт/ега х '( э аь есасс «2с а 1Ь . )(((лг, с(( = (," „...'.. ) ) л((л', л((= ( з * о 2 65. ) А(х)б(х)дх, А(х) = з, 1(х) =(1в х, атсьйх). 1 66.
) (Г(х), б(х)) дх, 1(х) = (хс, 1и(х + т/1 + х~)), я(х) = (е, 1). о ~ 4. Несобственные интегралы 4.1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определение 1. Луснсь,/ = [о, Ь[ -- нолуинпьсрвал числооой прямой И, причасс Ь мозает бьинь символом +сю, а функция / (,Х И интегрируемо на любом сегменте [а, 6'] С .7. ь' ь-о Если сущгспсв уст «онечный предел 1ш( )/(х) дх, то его обозначают символом ) /(х) дх, ь'-ь — о если 6 6 И, и гил(волом ) /(х) дх, если 6 = +со.
В зисом случае говоряпс, что функция / ин- Определение 2. Если,'7 =)а, 6), / ( б/ И и если 1пп [ Цх)((х сусцествует.и конечен, с- +о ь Ь псо будем обознапа(пь гго символом ) /(х) дх, если а 6 И, или символом ) Дх) дх, если «+о — сь Ь' ь-с Определение 3. Егли 1пп ) Х(х) дх = )с /(х) дх сущесспвует, псо говорят, что не- ь' ь-ь, ь-о + собственный интеграл )с /(х) дх или )с Дх) дх сходится (существует). Если эгпот предел ь-о + не сущеспьоуюи (или бесконечен), пю говорят, чсно инпсеграл [ Дх) дх или [ л (х) дх рас- ходипсся (сооптгпйтвенно рагходиес гя к оо). ь-ь леорем(ь(критерий Коши). Интеграл )' /(х) дх сходипсся тогда и только тпогда, когда /(х) (1г О нри х( Ь вЂ” О и хз Ь вЂ” О. 1 4.2. Абсолютная сходимость. ь — о Определение 1. Если инптграл ) [/(х)~ дх сходится, спо говорят, что интеграл ь — о ) /(х) дх абголют с(о сходится.
ь' тегрируема в нггобспс вснп ам смысле на,у, а )пп ) /(х) дх называют несобственным и-ь-о (или обобщеннь(м) итнегралом функции / на,л (первого рода, если 6 = +оэ, и второго рода, если 6 6 И). Гл. 4. Определенный интеграл 298 ь — о Если у ь [а, 6[ И вЂ” неотрицательная функция, то сходнмость интеграла ] Дх) дх означает его абсолютную сходнмость. Пусть т"(х) ) О ох б [а, Ь[, Дх) ф О. Тогда функция Е: х ь ] )(г) дЕ а < х < Ь, возь-о растает вместе с х, а интеграл [ г (х) дх существует тогда н только тогда, когда множество ь-о Если же Дх) ) О ох б [ьь, 6[ и интеграл ] т"(х) дх не является сходящимся, то интеграл ь-о ,1(х) Ых = +оо.
ь — о Если интеграл [ )(х) дх сходится, то будем писать ь — о Г(х) дх < сс. Определение 2. Всякий сходящийся нвгобсльвснььый интеграл, абсолютно расходящийся, будем называть условно сходящимся. Заметим, что если у б Я[а, Ь], то ь-о ь ь ьь*ьь.=)ьльь =)" ььь '. +о 4.3. Алгебраические свойства несобственных интегралов. 1) пусть т ь [а, ь[ь 2 и сужение функции у на любой сегмент [а, ь'] с [а, 6[ интегрируемо по Риману на нем. Тогда функция о), о = сопзь, интегрируема на [а, 6'] 'ои б К. Следовательно, если Л ] Х(х) дх = 1гнь ],ь" (т) дь, то .-ь — о ь-о 3 д~ а~-'(х) дх = и д~ )'(х) дх. 2) Пусть Х: [а, 6[ — ь П, д: [а, 6[ И вЂ” функции, сужения которых на любой сегмент [а, 6] С [а, 6[ иитегрируемы по Риману на нем.
Тогда этим же свойством обладает н сумма ь — о ь-о У + д, следовательно, если существуют интегралы ] у(х) дх и ] д(х) аьх, то х Ипь ] (~(Г) + ~(Г)) дт = 1цп / Дг) д1+ 1пп / (Г) дй ь — о 1 -ь-о ь .-ь — о1 в силу чего ь-о ь — о ь — о И( )+д( ))дх = ~ Н*) д + ~ д( ) д Таким образом, множество Е функций г' ь [а, 6[ К, интегрируемых по Риману на всяком ь — о содержащемся в [а, 6[ сегменте [а, 6'] и имеющих сходящиеся интегралы ] Г(х) дх, образуют 1 4.
Несобственные интегралы ь — е векторное пространство над полем К, а отображение г' ьь ) у(х) ох пространства Е в 66 есть линейная форма. 4.4. Замена переменной в несобственном интеграле и формула интегрирования по частюл. д([о, Ьг[) С [а, Ь[, д(о) = а, д(гд — О) = 6 — О.
Тогда справедлива формула замены переменной в несобственном интеграле ь-е л-а Дх) Лх = / 1(д(и)) д (и) гги. 2) Пусть у: [а, 6[ П, д: [а, Ь[ П, у', д б СОВ[о, 6[, н а — конечное число. Тогда, применив формулу интегрирования по частям на сегменте [а, х] С [а, 6[, получим ((г) д (1) гЫ = Дх) д(х) — г (а) д(а) — [) 1 (г) д(г) (Й. (2) Если при х Ь вЂ” 0 любые два из трет членов равенства (2) имеют конечный предел, то и третий член этого равенства имеет предел, поскольку произведение У(а) д(а) определено. ь — е ь-а Если, например, существуют интегралы [ 1(х) д'(х) гЬх и [ у'(х) д(х) ох, то существует произведение г (Ь вЂ” 0) д(6 — 0).
ь-е Если же существуют интеграл ) у(х) д'(х) ох и произведение г(6 — 0) д(Ь вЂ” 0), то суще- ь-а ствует и интеграл ] У'(х) д(х) йх. В каждом из рассмотренных случаев имеем ь — е ь — е у(х) д~(х) ох = )(Ь вЂ” 0) д(Ь вЂ” 0) — 1(а) д(а) — 2~ г (х) д(х) г)х. Формула (3) называется формулой инльегрироеания но часжям ььееобе~ьееыыых инпьегралое. 4.0.
Случай внутренней особой точки. Пусть функция Х: [а, 6]1(с) К, где с б]а, 6[, имеет интегрируемые по Риману сужения на любые сегменты [о, и') С [о, е[ н [с', 6] С]е, 6]. Тогда полагаем ь -е ь Я(х) ох = ~ у(х) ох+ ~,г'(х) ох, ,+е если каждый нз интегралов, входящих в правую часть (1), существует, и будем называть несобственный интеграл сходящимся.
Если котя бы один иэ этил интегралов не существует, то говорят, что несобственный интеграл раскоднтся. ь-е 1) Пусть )': [а, 6[ П, г" б С[а, 6[, н [ у(х) лх < ы. Пусть [о, р[ — другой полуинтервал а из К, причем о, а б Н, но Д и Ь могут быть как конечными, так и бесконечными. Пусть функция д: [и, Ьу[-ь Р возрастает на полуиитервале [о, гг[ и имеет на нем непрерывную производную д' всюду, эа исключением счетного множества точек, и, кроме того, Гл. 4.
Определенный интеграл 300 4.6. Признаки сравнения и признаки Абеля и Дирихле. !) Если г и д — неотрицательные функции, определенные на полуиитервале [а, +оо[ и интегрируемые на любом сегменте [а, х) С [а, +со[, причем ! (х) ( д(х), то у(1) сгг ( / «(г) срм а « * +со, +т е и из сходимости интеграла [ д(х) с1х следует сходнмость интеграла [ !(х) дх, а из расхоЕьь + димости интеграла [ ((х) дх следует расходимость интеграла [ д(х) дх, 2) Пусть У: [а, +со[ — ь И вЂ” интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, Ь'] функция, 1 бесконечно малая при х +ос, того же порядка, что и функция х ь — „, о > О.
Тогда +ю ,гг(х) дх сходится при о > 1 и расходится при о < 1. 3) Пусть [а, Ь[ П вЂ” интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, Ь') С [а, Ь[ функция, имеющая при х Ь вЂ” О тот же порядок роста, что и функция х ~-~ „, Л > О. Тогда ь-в !"(х) г(х сходится при Л < 1 и расходится при Л > 1. ес Теорема(признак Абеля). Пусть !с. [а, +ос[ й!, д: [а, +со[ П, ! 1(х)дх сходиво ся, а функция д мологггоггна и огриничена.
Тогда иннгггрол ) г(х)д(х) дх сходится. Теорема (признак Днрихле). Пусть г": [а, +ос[ П, д: [а, -1-со[ Р и функция Х имеет ограничвгтую первообрагную х ь [ !"(1) дг, а ( х < +ею, а функция д моногггонно е стремится к нулю нри х +со, Тогда иннтграл [ 1(х)д(х) ах сходится. 4.7. Главное значение расходящегося несобственного интеграла. Пусть у: Й й и интеграл ) у(х) дх расходится. Если функция Х интегрируема по Риману на всяком сегменте числовой прямой и если существует !нп [ гг(х) дх, то его называют главным значением в смысле Коши расходяше- А +ы гася иннгеграла и обозначают ю р, ~ У'(х) дх = 1по ~ У(х) Йх. Пусть !': [а, Ь)'![с] — Я, с б [а, Ь[, н интеграл [ !(х) Их расходится. Если при любом достаточно малом в > 0 существуют интегралы [ г"(х) Ых и [,г"(х) дх и с+ существует ь !цп [(х) дх + ((х) г(х = г.
р. ((х) Йх, — +о 1 4. Несобственные интегралы 301 то его называют главным значением е смысле Коши расходяШегося иишеграла. Вычислить следуь!щие несобственные интегралы: — -е 2 88. 1„= ~ соь2пх1псоьх бх. е и Согласно определению 1, и. 4.1, лмеем 1„= 1нп 1' сов 2иг 1п сов 2 2!и ---ау 2 О Применим формулу интегрвровання по частям к интегралу 1~, 1(х') = сов 2!Н1п соьгй, е полагая сов 2иг!й = Ь>, !псов! = и. Тогда получим 1 !г 1 1~, !(Х) = — сбп 2пг!и соь 2~ + — / ысп 2иг гб г 2!1 = 2и 2п / е —, +— !21.
2п (ьш 2пх) ' 4п / сов! а Аналогично тому, как было показано в примере 60, запишем Ь=1 и ) =2~( — Ца ', 2( — ф — 1))г+( — 1)". Ь=1 Следовательно, г г (х) =,, + — / 4 ~(-1) сов 2(п — 1)г — 2соь 2пг+ 2( — 1) !1г = !п сов х 1 ч !. 1 п-1 2и(в!и 2пх)-' 4п / Х- е »-1 1а сов х 1 ч „1вгп 2(и — ь)х 1 „, х , + — ~( — 1) — — вгп2их+ ( — 1)" 2п(вгп 2пх) ' и 2(п — 1) 4!гг 2п ь 1 Переходя к пределу при х — — О,получим 2 т 1 . !псовх 1„= ( — 1)" — + — !1ш 4и 2и, " е (вш 2пх) г 1!Г 1 сгбх 1„! т = ( — 1)" — + — !пп =( — 1) —.
> 4 2и е — 2и(ь1п2пх) — 2сов2пх ' ' 4п 2 89. 1„= х(х + 1)... (х+ и) ! и Поскольку ! ~, т, < —,, 1 < х <+оо, то, согласно признаку 2), и. 4.6, интеграл 1 1 1 сходится, так как 1 = ~'=-( )ш !1х . ( 2!г . / 11 — 11ш — — !пп 1 — — — 1. х — / г -+ '! Ху 1 ! Гл. 4.
Определенный интеграл 302 Согласно определению несобственного интеграла, имеем бс РА с" = !1сп 1пп с'~ ~(х). + / с(1+1)... (с+со) * + с Разлагая правильную дробь ... на сумму простых дробей, находим с 1 Ал ( 1)ь „Сь = 7 —, где Аь = = ( — 1) с(с+1) ... (с+ ) ~с+0' йЦи — й)! и! ' Следовательно, 1с'с(х) = —, ~(- 1) С„"1п(х + й)+~~ (-1)~т С„!п(1+ 1) о=о я=о =-,'„~ п' -'.-' о=о +~ '(-1)'"'С„"!п(1+1) ь=с Так как сумма биномиальных коэффициентов С,"„стоящих на биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то ,"- П(х+')' "'".=' + четных местах, равна сумме а=о и Х Х(с) если С ~ хю Г(с) = '„,„.(х...1 (-1)"'+ (Осл — 1)е <э ), если С = хю интегрируема на любом сегменте [О, х), х > О. Так как мссолоество (хь) имеет лебегову меру О, то с(с) сИ = ~ Р(с) с!с, поэтому 1, = 1сш [ Е(с) сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
