Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 62
Текст из файла (страница 62)
ч Согласна теореме 4, функции р н д не убывают на сегменте [а, Ь] и р(х) ) О, д(х) ) 0 Чх б]и, 6], так как р(а) = д(а) = О. Из формулы (2) следует, что Чх Е [а, Ь] р(х) = Ъ'(1; и, х) — д(х) ) О, д(х) = 6«(1; а, х) — р(х) ) О, следовательно, справедливы неравенства у(х) < Ъ'(т"; а, х), р(х) < Ь'(у'; а, х), а < х < 6. Поскольку ) = р1 — уы то 6'(1; и, х) = 6«(р~ — ум а, х), а ( х ( 6. Рассмотрим прн произвольном разбиении П сегмента [а, 6] вариацию Ъ«п(Х; а, Ь) = Ъп(р~ — дм а, Ь) = ~~~ ](р1(х~+х) — р1(х,)) — (у~(х,+~) — д1(х;))] ~( =з ( ~ ~[р~(х,+1) — р1(х;)) ( 1'п(рг, а, Ь).
з Тогда Ь'(у'; а, 6) ( И(рц и, 6). Аналогично, Ъ'(У; а, 6) < Ь'(уц а, 6). Из монотонности функций р и у, а также из того, что р(а) = у(и) = О, получаем, что И(р; а, 6) = р(6), И(у; и, 6) = д(6). Тогда нз неравенств (Ц следуют неравенства И(р; и, 6) = р(6) < Ъ'( г"; а, Ь) < Ъ'(рц а, 6), И(у; а, Ь) = д(Ь) < Ъ'(у; и, Ь) < И(ды а, Ь). $в 111. Пусть д Е В[и, 6],,((х) = д(1) М, д~(1) = пзах(д(1), 0), д (1) = гпдп(д(1), 0].
а Доказать, что 1 — функция ограниченной вариации на [а, 6] и что ее функции вариации задаются равенствами Ъ(1; а, х) = / [д(т)]аз, р(х) = ~ д (1)ай д(х) = ~д (1)М. М Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [а, х], а < х < 6. Тогда, согласно определению вариации, получим ~д] ~х, ,=з 1«(Х; -2, х)+ У(х) — Х вЂ” 2) р(х)— 2 .В-2,*)-Л )+И-2) у(х)— 2 О, если — 2(х<0, 1(х), если 0 ( х ( 1, н1<х<2, — У(х)+28, если — 2(х(0, 28, если 0 ( х ( 1, — Х(х)+29, если 1 (х < 2. Гзс. 4. Определенный интеграл 314 где 1пГ ]у[1)) ( д, ( впр [д[1)). ,<с< сзс ,<с< ,зс Следовательно, [ )д! Й < Ьс[)с; а, х) < [ [д[дг, а так как д Е И[а, Ь], то и )д) Е 22 [а, 6], в силу чего Ь'[у; а, х) = [ ~д[1)[дй По ~еореме 4 имеем р[*) - д[*) = ~ д[1) дг, р[*) + д[*) = /[д[1)] дй Следовательно, р[х) = — д[1)[1+вдпд[г))дг = у~[1)Ю, д[х) = — / д[1)[вдвд[1) — 1) Й = / д [1)й. 112.
Пусть 1': [а, Л] й — функция ограниченной вариации на сегменте [а, б], а функция Р: [а, 6] -с 62 удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, 6], причем [а, 1с] 3 ,с"[[е, 14]). Доказать, что композиция г о у есть функция ограниченной вариации на сегменте [а, )3]. н Функция Е удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, Ь], если существует такое число ь = сопят, что г'хс, хг Е [а, 6] ~ ]Г[хс) — г [хг)[ ( (2[хс — хг[- Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [о, б].
Тогда получим — с Ьп[р о зс; а, Ьс) = 2~' /Г[у[цтс)) — Г[у[ц))/ (н С 2 ~/~[йзз) — зс[1 )! = г'ссп[с; ос )з). Из полученного неравенства следует, что композиция Го) имеет ограниченную вариацию на сегменте [а, сд]. М Упражнения для самостоятельной работы Пусть У: [а, 6] К вЂ” функция ограниченной вариации на сегменте [а, 6], а р: И вЂ” монотонная функция и [а, 6] Э у[[о, б]).
Доказатгч что композиция 1" о и функцией ограниченной вариации на сегменте [о, )з]. Доказать, что полная вариация функции Г: х с ] 1[1) дг, а ( х < Ь, у' Е Л[а, 6], 100. [е, Л] является 101. равна Х [~[1)[дк ~6. Приложение определенного интеграла к решению задач геометрии б.1. Длина дуги спрямляемой кривой. Определение 1.
Путем о К'ь будем называть непрерывное отображение с: [а, 6] -с н", [а,Ь]СК. 102. Доказать, что если функция х с-с Ях), а < х < 6, имеет ограниченную вариацию на сегменте [а, 6] и )Дх)] ) в ) О гх Е [аэ Ь], то функция х с — '>, а ( х ( Ь, такясе является функцией ограниченной вариации на этом сегменте. 103. Вычислитгс а) И[вш х; О, 2зс); б) 1'[соя х; О, 2зс). 104. Вычислить функции положительссой, отрицательной и полной вариаций функции х с-с [х] — х, О < х ( 2, 315 Ь й.
Приложение определенного интеграла Определение 2. Если непрерывное опьоброжсние ь ь [о, Ь] — ь м~ биективно, то путь будем называпьь дугой. Определение 3. Следом дуги ь" ь [а, 6] Я'.~ или кривой т нозьюоепься образ сегменпьа [а, Ь] тари опьображении ь" ь у=(усПЬ ьу, =Д(х), а(х <Ь, уы1,т). Определение 4. Пуспьь ь" — дуга е пространстве И™. Если ь(о) = ь(Ь) и ь(хь) ф ь(хг) для любой пары различных лычек хь и хз из инпьсрвала ]а, Ь[, то кривая т называется ььроспьой замкнупьой кривой.
Определение 5. Кривая т спрямляема, если вектор-фуикция ь имесьп ограниченную оариацию на сегменьпе [а, Ь], а длиной кривой т будем называть полную вариацию Ь'(ь; а, Ь), Теорема. Если вектор — функция Х' ь [а, 6] -ь и™ непрерывна на сегменте [а, 6], то кривая т спрямлясма, а ее дььина 1 может быпьь вычислена по формуле ь 122 ( [Х (х)) дх, где ]1'(х)[ = Рассмотрим частный случай теоремы, когда т = 2, а кривая т задана параметрическими Оь, г = Ьвг, г Ь Ь Р. тыа ~СЬ Ь~ = /2ЬЬ2Р Ь Ь ф ьк ЬЬЬ принимает вид (2) Для случая т = 3, когда кривая т задана параметрическими уравнениями х = ьо(ь), у = ф(1), г = т(г), и ( 1 ( б, при выполнении всех условий теоремы имеем (3) В частном случае, когда кривая т в ьи~ представлена в виде ьь(х) = х,,ьз(х) = г(х), и ( х ( Ь, где ь" ь [а, Ь] и, ь" Е СП1[а, 6], формула (2) принимает вид ь (4) Если же кривая т в Б! задана в полярной системе координат, т.
е. параметрическими з уравнениями х = р(р) сов Вь, у = р(ьр) гйв ьр, гы < Ьо < ьрь, р: [ьро, гьь] — К~, р б СЬО[гьв, ьрь]ь то формула (2) принимает вид Уг = /,'з ь.ь + .ь.ьь. фь В частном случае, когда кривая в полярной системе координат задана в виде ьр = Ьо(р), рь ( р < рг, то в интеграле (5) следует произвести замену переменной., После замены получим следующую формулу: Рз (й) 1+ (ррЪ ))' др Гл. 4. Определенный интеграл 316 6.2. Вычисление площадей плоских фигур. Определение 1. Криволинейной трапецией называется плоская фигура Ф, ограниченная снизу сегмеппьозь [а, Ьь ьоги Ох, сверху — графиком непрерывной неотрицательной функции ь" ь [а, Ь] В, с боков " отрпкими ььрямых х = и н х = Ь (рис. 62). Теорема 1, Кривплинейпия трапеция квадрируезьая фигура, а ее площадь Р аычисляепься ио формуле ь Р = / ь'(~) дх.
ь Если непрерывная функция 1: [а, Ь] В меняет знак на [а, 6], то [ у(х) дх равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью Ох и под ней. Если плоская фигура Ф ограничена снизу графиком непрерывной функции ~ь, [а, 1ь] х!, сверху — графиком непрерывной функции уз . [а, 6] 66, с боков — отрезками прямых х = и и х = 6 (рис. 63), то ее площадь можно вычислить по формуле ь (2) Гпс.
63 Рнс. 62 Определение 2. Криволииеаным сектором пизыпают ьыоскую фигуру, ограниченную двумя лучами, составляющими е тьляриой осью углы ьв = п, ьп = ьь', и пепрерььвпой кривой т, задаипои уравнением р = р(р), р ) О, о < уь < д. Теорема х. Криволипейпыи еекьпор — хводрируеипя плоская фигура, площадь Р коьпоПой МОЖно вы пьслппьь ььо формуле и (3) Пусть Ф вЂ” односяязная область а Из, ограниченная гладкой замкнутой кривой т, заданной параметрическими уравнениями х = х(1), у = у(1), 1в < 1 < 1ь (кривая т называется гладкой, если и каждой точке 1 сегмента [1в, 1ь] функции х и у непрерывно дифференцируемы и х (1) + у'з(1) ф О). Предположим, что Ф --- выпуклая ориентированная плоская фигура, обход границы которой совершается протип хода часовой стрелки при изменении параметра 1 от 1в до 1ь.
Тогда площадь Р фигуры Ф может быть яычислена по льобой из следующих формул: Р = — [' у (1) х (1) 31, ьв (4) 1 С. Приложение определенного интеграла Р = — (х(1)у'(1) — у(1) х'(1)) 41. (6) оо Если фигура Ф не выпукла, но се можно с помощью прямых, параллельных оси Оу, разбить на выпуклые части, то к каждой такой части применимы формулы (4) — (6). Складывая полученные результаты, опять придем к формулан (4) — (6), справедливым для вычисления площади воен фигуры Ф. С.З.
Вычисление объемов тел. Определение. Пусть У: [а, 6] В, Х Е С[а, 6]. Тело Т, образованное вращением вокруг оси Ох кривозивсбной гаропгчпи Ф, ограниченной графиком функции у, опзрвзками пРямых з: = а, з' = 6 и ссгмснзлом [и, 6] оси Ох, будем назьзвозль озалом вращения. Теоремсз з.
Тгт ьршцсиия Т ьубирусмо и гго объем можно оьтислинзь ео формуле В=к/Т (х)с1х. Рассмотрим тело Т, содержащееся между плоскостями х = а и х ж 6. Предположим, что всякое сечение Ф(з.) тела Т плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х Е [а, 6], есть квадрируемах плоская фигура, площадь которой Р(х) нам известна. Теорема 2.
Е ли звсло Т кубиругмо, сз функция Р з х ьь Р(х), а ~( х < 6, интвгрируема на [а, 6], то объсзз Р тела Т .аозсно выьиспипзь ло формуле (2) Р(х) с(х. Найти длины дуг кривых т, .заданных в пространстве К: 113. т = ((г, у) Е К : д = 2рх, О < х < хо, р > О). Применим формулу (4), п. 6.1, приняв во внимание симметрию множества точек (М(х, у) Е Кз: (З < зз: го., уг = трх) относительно оси Озч о "'о . о ото г и Т~/~ -~+И )з 1=2 ~т( + — с(г.=2 .
дх = 2/ р-1-(ь2х)зд(ь2х) =2 /,/р+Пй= --/ 'зх о о о о 1з/зоо / РЗ Ъзхо + г/хо + з = (гзгсрз+гз +у 1в(1+ зггрз+ р))~ = 2 хо [хо + -) +р 1п — Ы /г 11г1. т = (з', у) Е В': х = — — т1п у, 1 < у < в уз 1 М В качестве переменной интегрирования возьмем у. Формула (4), п. 6.1, принимает вид Следоватепьно, + (1 + з) 2] 4 115.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
