Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 64
Текст из файла (страница 64)
ь ь ь Поскольку йш Ут, = гх] х7(х)3х, йш Ут, = гх/х~(х)йх, то У = гх/хг(х)«х. М цп1-э ' цп>-о 135. Доказать, что объем У тела Т, образованного вращением вокруг полярной оси Фигуры Ф = ((р, р) Е м'; 0 ( а ( р <» 16 ( х, р ш р(р), р ) О), р Е С[а, б], равен л У вЂ” — р (1э)вар4о. г Гз 3 / а Гл. 4. Определенный интеграл 326 я Пусть П = (!оо = а, грг, ..., !о = гг) — произвольное разбиение сегмента [а, г1], а Ф, — плоская фигура, ограниченная отрезками лучей р = Ог,, го = Зг,о! и куском кривои гр г-г р(!о), Ог! < !р < оо,о! (рис. 66). Обозначим М; = гоах (р(гр)), гпг = шгп (р(ог)) и 6г~ г оХт<т,о! э,<г<юо! рассмотрим два тела Т! и Тэ, образованных вращением вокруг з полярной оси двух плоских фигур, составленных нз круговых сек- торов, имеющих соответственно радиусы М! и нц и центральный Рис.
66 угол гагр! = !р,о! — Ог„! = О, и — 1. Из определения тел Т, Т! и Тэ следуют включения Тэ С Т С Тг. Вычислим объемы тел Т! и Тэ, используя для этого известную нз геометрии формулу для вычисления объема шарового сектора, имеющую вид Ъ' = -яЯ й, где л — высота шарового 2 2 з сегмента, А — радиус шара. Имеем и — ! о-! ч-~ 2 з 4 т-~ э вг +ог+! г3ог Ъгт! = гу -ггМ; (сов!о, — сов!р.о!) = -з хз М, вгв ' ' вш г ' =о =о -! 4 ч-' з . ог. + о!!+! . х3ог ~гтг = -ггхг нг; вш ып —, 2 =о Обозначим — ' — -'х-'- = рг, ып Д = шах (вш я), яв !о = ппп (гйл го) н рассмотрим я<э<э.+! г*<т<т.о! разность объемов 4 т о э .. !1рг Ът Ът = -х~ (М, — ш,)вшог,яп —, 3~ ' ' ' г' шо Из неравенств (М, — т,)ялф, < М! яп го, — нг; вшфо„ып — д~ь < ~к следует неравенство о-! Ът, — )гтэ < — ~г (М,'вшоз, — ш,'в!ар,)г3р, = Яп(У) — ~п(~), 3 =о где г: !р г — р (Гг) вш Ог, а <~ !р ~< гт, — непрерывная на сегменте [а, !3] функция, Так как г е п[а, р], то !гв > О Вп: О < оп(у) — оп(у) < в, следовательно, !гт! — ът, < в.
таким образом, тело Т кубнруемо, а его объем Ъг можно вычислить по формуле (1), так как р йш Ът, = 1гш Ътг = -гг р (го)в!по!!ггр. г э в1п1 о ' цп1 о ' 3 / а Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 136. Параболоида врюцения, площадь основания которого равна Н, а высота равна Н. я Воспользуемся формулой (2), п. 6.3. Поверхность параболоида вращения задана уравнением х = х + уэ, а в любом ортогональном сечении тела плоскостью в = с, О < с < Н, получим круг х + у < с.
Таким образом, множество сечений тела, ограниченного поверхно- 2 э стью в = хо + у, является множеством кругов радиуса в, площади Р(х) которых равны хх. Согласно формуле (2), п. 6.3, получим тнэ НН Ъ =з /х!гх= — =— 2 2 о так как, согласно условию, з'Н = Я. и г 1ВТ. — *+ —" — '— , =1, =~с. лз Оэ сз ц Тело ограничено однополостным гиперболоидом н кускамн плоскостей х = жс. В силу симметрии точек тела относительно плоскости х06, достаточно вычислить объем части тела, лежащей в полупространстве х В О, н удвоить результат, 16. Приложение определенного интеграла Поскольку г) = 8тэа, то 1) = 7тэа .
В 141. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной петлей кривой 7 = (х = 21 — 2, у = 42 — Ф, ! Е К), вокруг: 1) оси Ок: 2) оси Оу. < 1) Поскольку т = у = О лрн 2 = 0 и лрн ! = 2, то 0 < ! < 2. При возрастании параметра Г от О до 1 переменная х также возрастает от 0 до 1, анри возрастании 1 от 1 до 2 переменная х убывает от 1 до О,поэтому г 1 2 г И = —;г у а)х — з. у )1х = -)г у Вз = 2)г (1 — 1)(164 — 81 +1 )В! = — )г. 2 2 2 2 4 О 35 1 о о о 2) Для вычисления объема воспользуемся формулой примера 134 и примем во внимание соображения, высказанные лри рассмотрении случая 1). Тогда получим г -! ! 4* !+44 =-! ! „4 4=-! !)4~ ))4~ )211 )а= э 64 106 142.
Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной графиком неявно заданной функции (х + уэ) = а (кэ — уэ), вокруг: 1) оси Ох! 2) оси Оу; 3) прямой у = эъ м 1) Перейдем к полярным координатам з = р сову, у = р гйл у. Уравнение кривой имеут вид р = аз)гсоз 2)2, ) р — Ьг! < -,, А = О, 1. Принимая во внимание'симметрию точек крэ(р))й относительно полярной осн и прямой р соз Эг = О, воспользуемся решением лримеэраь'133. При этом получим 4 о 4 / э . 42 а э э э Г = -!г а совы 2!р з)л )р о!!р = — / (2 осе 2) — 1) 2 Ы(соз ээ) = 3 / о оу )) !ч' / (42 1) 2 )74 (12 1) 2 4, /~г 1 4 — 1л(1 +,,(ф~ 1) 8 1 .) 4)га !г 3 Я! таэ Р ' ч'"'"2'У ' = — ~- 1л(1 + ~!г) — — ~ = — ('Л 1в(1 + эГг) -' -/~ . Зэ)2 [ 8 8 ~ 4 3/ 2) Возьмем луч )р = -" з качестве полярной осн системы (р', В) (рис. 67), тогда р'(В) = р()р), В = — (- — )о) = э) — —.
Применим теперь формулу, доказанную в примере 135, приняв прн этом зо внимание, что плоская фигура симметрична и что ив В < О. Имеем Рис. 67 4 4 4)г !', э . 42'а э ! И = — ( р (В) ) ) з) л В ~ Ю = — / (соэ 222) 2 ~ пл ( )р — — / ~ Ы)р = 3 / 3 / 2/ 42 аэ г э 4таэ э — созэ 222 соз)од!р = — / (1 — 2 з!и р)2 В(э/2 яп)э) = 3 / 3;/2 1 2 4та ) 2 э 4яа Г 4 4ла ЗИ л х а — / (1 — ! )2 444 = — / соз э!Юз = — — ° — ж —, 3Л / 3Л/ 3Л 4В 2 4Л' Гл.4.Определенный интеграл 330 а 4 з р з — (р (В)) )зшд! 1СВ = — созй 214 яп ~1« — — ) ( 1С22, 3 / 3 / 4) Произведем в интеграле подстановку 42 — -' = — С. При «том имеем 2 4яоз С И = — / 6!из 3 / з 2С з!пг1СС = ~ созе С Япз С11(зшС) = — ти 22(1 — з )4 412. Оч'2та С -' ..
8ч'2 з 3 / 3 6 о что р = — та 1, где 16'/2 3 з После замены —, — 1 = и находим, 1 (1 ! п4)з 1Сп з 4 У (1+.64)з а (согласно решению примера 133). Интегрируя по частям, получаем + «« „з 6 3 / „злп 3 )' „2 С„ 8 ' (1+ е4)2 8 / (1+ п4)2 8 / (14 в4)2' Рис. 08 6 «« «з 6 При решении примера 133 показано, что ) —,-«тт ш -«з. Слез з««2«З довательно, 1 = ' , Ьг = — , н 64О2 ' Упражнении длл самостоятельном работы Вычислить длину кривой т, если: 106.
'Г = ((л, у) Е Кз: у ш !и х, 4/3 ( х ( ч48). 106. С = ((к, у) Е К~ 1 у = ос!4-', 0 ~( к ( лз, и > О) . 107. т = ((я, у) Е К~ 1 с = а !и — +ЗС: —" — 11462 - уз, Ь ( у ( а~ . 2 2 2 108. 'Г = (е, у) Е Кз ", кз + уз = аз, !х~ ( а 109, т=((я,у) ЕК:х=асоз С, у=аззп С, 0(С((2т). 110. 'у = ((л, .у, 2) Е К 1 л = а соз С, у = а з!и С, з = ЬС, 0 ( С ( Сз) .
111. у=((л,у, 2) ЕК 1'с =Зу, 2яу=92, 0(~х(хз) 112. т=((л,у,з) Ерз:у=аа1сзи1-*, з= —,!и — „+, 0((х((хз). 113. 'у = ((л, у, 2) Е Кз .' л = аг, у = ч ЗаЬ Сз, з = 2ЬС~, 0 ( С ( Сз) . 114. НайтИ дЛИНу КрИВОй, ЗадаиИОй ураВНЕНИЕМ зуя+ Ч1у ш,ра, От ТОЧКИ (О, а) дО тОЧ- ки (а, 0). 116. Парабола; = ((с, у) Е Кз: 4ау = х~, с Е К) катится по оси От. Доказать, что ее фокус описыва т и пиую леплю у = ((т, у) Е Кз: у = ос!4 —, л Е К) . Найти площадь плоской Фигуры Ф„ограниченной: 2 2 2 110. Графиком астроиды лз Ф уз = аз, 3) Возьмем луч 1р = «в качестве полярной оси системы (р', д) (рис. 68).
При этом имеем р'(д) =р(р), дш р- д, Принимая во внимание симметрию фигуры и неравенство япд ( О, согласно формуле примера 136,получим Ь б. Приложение определенного интеграла 331 117. Графиком функции, заданной уравнением х + уз = хо + у . 118. Графиком подзры эллипса (х + уз)з = а хо + Ьзу . 119. Графиками функций у = 4ах, х + уз = 2ах, 2х — у = 4а и лежащей над осью Ох. 120.
Петлей стробюиды (а — х)уз = (а+ х)х . 121. Графиком функции, заданной уравнением (у — х)з = х и отрезком оси Ох. 122. Графиком функции, заданной уравнением . /2 +,Л ы 1, и отрезками осей коорднч з наг. 123. Эллипсом —,з + — ", = 1 и лежащей вне круга хо+ у = аЬ. 124. Графиком кривой, заданной уравнением р = а созлоз. 123. Графиком равнобочной гиперболы р сов 2у = а, -~оо ~ (у ~ ~эзо. 120.
Графикамн функций, заданных уравнениями р сов 2оз = 4а соз у и р сов 2зз ж а . з з з 127. Петлей кривой, определяемой уравнением х + у = аз уз. г з з 128. 1 рафиком функции, заданной уравнением х уз = 4(т — 1) и прямой, проходящей через точку перегиба графика. 129. Вычислить площадь криволинейного квадрата, принадлежащего обоим эллипсам — + — '<1, з' э' Ьз аз хз уз — + — <1, аз Ьз Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными в результате вращения следующих кривых: 130. 7 = ((х, у) Е И~: у = вш х, 0 ~( х ( зг) вокруг оси Ох. 131. т = ((х, у) Е зз~: (2а — х)у = хз, 0 ( х < а ~( 2) вокруг оси Ох, 132.
7 = ((х, у) Е Н~: х = а(à — вш Г), у = а(1 — сов Г), 0 < Г ( 2з а) вокруг пересекающей ее прямой у = йа, 0 < й < 2 (вычислить объемы получающихся двух тел вращения). з з 133.7 = ) (к, у) Е Н: у = з з, х Е Й) вокруг своей асимптоты. 134. Кривая, заданная уравнением рз = а сов ЗЗз, вращается вокруг полярной осн. Опре. делить объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной петлей, лежа- щей в третьем квадранте. 13б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
