Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определенный интеграл 288 я Согласно определению, имеем вг р1' г /1+в у М(р) —— ж — агс18 ~/ — 18 — + 2я [ 1 — всову 2л ~~/) — е~ ~~)1 — в 2) о эо + ~ — ~ ) = (см, пример 20). Д:, [гх)у[ чГ1 в о ь' Из аналитической геометрии известно, что в = ~~, р = —, где и — большая полуось эллипса, 6 — его малая полуось. Подставив вместо в и р их значения, получим М(р) = 6. я 'ь' 6.
1: х оо в1л х ял(х + у), 0 ( х ( гх. л Исходя из определения среднего значения функции, имеем 2 то 1 Г. М(1) = — ~ ядхял(х+ у) йх = — ~ (сову — сов(2х+ у)) 4х = 2х/ 4т / о о 1 ь' 1 схн у = — (хсову — — ял(2х+ у)~ ~ 4 (, 2 l !о 2 77. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна во. я Скорость свободно падающего тела в момент времени 1 выражается формулой о(1) = во+ ус, где д — ускорение свободного падения. Согласно определению, получим ( = — г ° +Ф«= ° + — = дТ в(Т) + оо Т/ 2 2 о 78.
Сила переменного тока изменяется по закону ггтг ь=ьов1л < — +у), (,т где ьо — амплитуда, 1 — время, Т вЂ” период, у — начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока. я Поскольку ьа = 16 в1лв (++ ) = ф (1 — сол [+ + 2 )), то т ;г 4 1 <4хг ~) „ьо о 79. Пусть Т Е Я [и, 6) и д Е Я [а, 6). Доказать неравенство Коши — Буняковского < ь ь ь / Х(х) (*) "* ( / Х'(*) йх / д'(х) 4* а я Так как Х Е А [и, 6) и д Е А [а, 6], то Хдб п[а, 6), ь ЕЛ[а,6), д ЕЛ[а,Ь). ь ь Ь Обозначим о = ) ~ (х) Ых, Р = 1 [(х) д(х) йх, т = ) д (х) йх и рассмотрим два возможных случая: 12. Основные теоремы н формулы 289 1) о = 7 = О; 2) хотя бы одно нз чисел о или 7 отлично от нуля.
1) Пусть о = 7 = О. Интегрируя неравенство Щх)д(х)( < -(~~(х) + дз(х)), а ( х ( Ь, получаем ф < / Щх)д(х)( ах < — (а+ 7), откуда 8 = О и доказываемое неравенство выполняется. 2) Пусть, например, 7 > О. Тогда при всех 1 Е 66 выполияетсл неравенство (у(х) + 1д(х)) ) О,интегрируя которое получаем 71 + 2;Ух+ а > О, 1 Е Ьс. Следовательно, дискрнмннант квадратного трехчлеиа у = 71~ + 281+ о неположителен, т. е.
8~ — о7 ( О. Таким образом, 8~ ( о7. и 80. Пусть 1 б СО1(а, Ь) и ((а) = О. Доказать неравенство ь Из ( (Ь вЂ” а) ( у~(х) Их, где М = зар ()г(х)0. «цз(ь и Запишем неравенство Коши — Буняковского в виде дз(Г) 11 и < Угз(1),11 П1) д(1) 11 / а где д(1) = 1'(1), 1(1) = 1, а ( 1 < х, а ( х ( 6. Оно принимает вид ~'(1)11 /81> откуда получим неравенство уо(1) ад ~/х — а ) )1(х)~ l а(х(Ь, М'<(Ь-,) у (х)дх, и а Упражнения для самостоятельной работы Вычислить интегралы, построив первообразные подынтегральных функций на всем промежутке интегрирования н применив формулу Ньютона — Лейбница: (принимая во внимание, что 1(а) = О), Левая часть последнего неравенства лишь усилится, если в ней положить х ж 6, а в правой части можно взять и то значение х Е (а, 6), при котором непрерывнал функция х ь-~ Щх)), а ( х ( Ь, достигает своей точной верхней грани М.
Следовательно, справедливо неравенство Гл. 4. Онредеценный интеграл 290 100,2 20,0 120,2 ,/гт;Б 13. ~ ( ]х'йх. 10. ]' („-*) йх, 20. ( (.*-)йх. 21. )" [х']их. 1,0 2,1 1,2 »/уд 100,2 га 23. ] (х] ] нп лх] ах. 24. ] шак(1, хг) ах. 0,20 -10 Вычислить определенные интегралы: го г»/г 1» О 1 з ~ 1~ ~ ~„* 1~ 1 а 1 г 1 20. ( е *эштхвх. 30. ], ", 1(х. 31. ] ]соз (1п -) ~ 1(х, и Е 1Ч. о о 22. ( Ц В*. ](агсзгп х) вх. о »» 1 32 ]' го»»»1»» 11 -1 1 о г 34. ( +, 4х.
о 2 35. ] е ~*соо~"+'хйх. 1 2» 2 а а о * а 40 ( — ' в» 1 вх, Е = (О, л]~ ( — ], и Е Й. Решить уравнении: /2 1» 2 43. Найти абсолготные экстремумы функции /1 х 1 (,г, аг, — 1 < х < 1. о 44. Исследовать на экстремум и найти точки перегиба графика функции ~:х ](1 — 1)(г — 2) 1Й, хай.
а *»»» гоо 1ОО юо 55. 0 < ( — '»(х < О)01. 56. 1 < о 1 58. 1 — -<(о * Ых<1,н>1. о 45. Доказать тождество ) агсзьч ь/г 41 + ] агссоз г/г 112 = —. о о — 1 » — 1» — » »41 г.„„, . ~ »,»- 1=0* =.1 0=1 47. Вычислить среднее значение функции /: х 1 —,, О ( х ( 2. 43. При каком а среднее значение функции х»» 1п х, 1 ( х ( а, равно средней скорости измененил функции? Показать, что: 1 о,о о ч~ о 1 51. О 78 < ] — * < О 93.
/)0» Доказать равенства: 200 — Я-„О < В < 1. шо Показать, что: 1 1» 1 1 2» о и'+ о га 1О Гл. 4. Определенный интеграл 292 Если вектор — функции г" н л интегрируемы иа [э, 6] вместе со своими производными г' и и', то справедливы формулы интегрирования по частям для скалярного и векторного произведений этих функций: ь ь (г(х), и (х)) дх = (г(х), б(х)) ~ — (т (х), б(х)) йх, (з) 1а ь ь — "/ [1(х), б'(х)] де = [г(х), о(х)]~ — [г'(х), о(х)] де.
2.2. Интеграл Римана комплексиозиачиой функции. Определение. Для функции з 1 [э, 6] с, где з(х) = а(х)+ге(х), образуем при лроизеольиом разбиении П сегмеильа [а, 6] и любом отборе глочек бз б [х, х,.ь1] интегральную сумму (4) п-1 Яп(У) = ~~ и(бз) г."ах>+1 ~ е(~,) 1ах,. з=г з э А(х) дх = Йп Зп(А), цп) о если этот предел существует. Теорема. 3 йп Ьп(А) Сь Б )пп Яп(а> ), 1 = 1, а, у = 1, пь, причем «п)-э «п>-э >пп Яп(А) = Йп Яп(э11) цп)-о >,цп)-э ь тогда ] У(х) дх = йпь Яп(з), если зглот предел существует.
г г г1п) э Множество всех интегрируемых по Риману комплекснозначных функций у будем обозначать У б зг [а, 6]. Теорема. 3 йш Яп(у) сь 3 йш Яп(и) л Э )пп бп(е), прочем «п>-о цп)-э гоп)-э ))ш бп(У) = )пп 8п(о) йьп оьг(э) «и) э >,«п) о цп) э Таким образом, комплекснозначная функция з интегрируема по Риману на сегменте [а, 6] тогда и только тогда, когда о б Я[а, 6], э б В[а, 6] и при этом ь ь ь У(х) дх = / и(х) дх + 1 / э(х) дх.
(1) Если комплекснозначная функция У интегрируема на сегменте [а, 6], то комплексно- сопряженная ей функция у интегрируема на этом сегменте. тогда и произведение у у1 = ]у]~ лвляетсл интегрируемой числовой фуикцнеи, причем Ях)Х(х) дх т (и'(х) + и'(х)) дх. (2) а З.З. Интеграл Римана функциональной матрицы. Если х ь-а А(х) = (а11(х)), а ( х ( 6, — функциональная матрица размера и х пь, элементами которой являются ограниченные на сегменте [е, 6] функции, то оиа является элементом векторного пространства 9>) иад полем )й, црнчем в этом пространстве определена интегральная сумма Яп(А) = (Яп(э,з)) при произвольном разбиении П сегмента [а, 6] и любом выборе точек с, б [хп х;.11]. Полагаем 3 3.
Интегрирование вектор-функций 293 0 0 )ь„,ь,ьь,.), Класс всех интегрируемых на сегменте [о, Ь] функциональнык матриц А будем обозначать А Е /Ь[о, Ь]. ьо 81. Вычислить 1 = [ [ь/хь 2') ь)х, рассматривая его как предел интегральной суммы. а М Поскольку ь/х Е /Ь [О, 1О] и 2" Е ььг[0, 10], то [ь/х, 2 ) б 2 [0, 10] и при любом разбиении П сегмента [О, 10] н произвольном выборе точек б, б [зь„лье!] получим 0-! -! ь= ! ь! ), Ь» Ь)Ь!), Ь!'*)=с '00,, Яь!) ь' !'0 ! ип)-о з)п)-а =а ь=о Разбивая сегмент [О, 1О] на о равных частей н полагая Ь, = х; = ь — „, получим ,ьа 10 10 ~-~! ьь 3 -! рп[э'х) = ( — ) ~~~ э/01 ь=о [приняв во внимание, что Ьх! = — ). ьо \ь о 1 з Рассмотрим числовую последовательность [-„) = [ — "1), где х„м ~ т/ьгь у„= нз.
Так (""/ ' ь=а как существует Х +! Зо з/ьнь 1пп 1ьп! Уо+! з [я + 1) з — ьь 3 то, согласно теореме Штольца, существует 1!и!,уп[ь/х) = 100 1пп х„= — ть)0. 20 цп)-о 3 ьо гш-г гьо — 1 = —, то 1л 2 2 — 1 10 Поскольку )!в[20) = — „и Еш— ь -! ь к гьо [г*) = 1ьш Вп э)п)-о ь 20 зьо ! Следовательно, 1 = ( — ь/003, — ) . )ь '10 ' !э)' ! 82. Вычислить 1 = ~Г[х) ь)х, где — ! г[х)— хэ — 2х соя о+ 1 0<о<т, [а)<1, [Ь)<1, оЬ)0. М Согласно формуле [2), и. 3.1, имеем ! ! ь)х /хз гх..з.+, ~ — ! — ! ) [1 — г *+о!)[1 — гьх+Ь') Таким образом, функциональная матрица А[х) интегрируема на сегменте [а, Ь] тогда и только тогда, когда на этом сегменте ннтегрируемы все ее элементы а;! и при этом' Гл. 4. Определенный интеграл 294 поэтому интегрирование вектор — Функции у на сегменте (-1, 1] сводится к вычислению двух определенных интегралов числовых функций.
Очевидно, ! ! г(х / г1(х — созе) 1 ( х созе ) /' с, = („,19 ( . ) хг — 2х соз о + 1 ) (х — соз о)2 -1- япг о яв о яка / -! — ! = — (агссд + агсзд ) = (ассад(сд — ) + агссд ~ссд — )) =, В интеграле ! 1 ) !(х Бг о!!- !$о- !' ! Гг= / — ! а 1 где А= — + —, В=— 2а' 2 1 + —, произведем замену, полагая (А — х)( — х) = 1(А — х). Тогда 2Ь' ! — '',~ 7 1 1ГчГаЬ4+ 1 ] 1 1+ ъ'аЬ 2чсаЬ (з;/аЬ Ь— 12) „ГаЬ 1 — 'ГаЬ ]Ы] Т 1 1' гИ 1 1 — 1 = — 1а 1 2чуаЬ Ь1+ 1 ! Окончательно имеем 12х —,, — 1п я х 1 1+ чГЯЬ'] 2 яп о ' чгаЬ Ь1 — чгаЬ Ь/ ! 83. Вычислить 1 = / (г(х), д(х)) оГх, где о К(~) — — У 1 + г ) ' о '* "), Г'(х) = < Поскольку В(х) = ч'(х), где ч(х) = (чГГ+ хг то, согласно формуле (3), и. 3.1, получим о = (г!*!..!.!!~'.
- /!!'!* !, ! !! ! = (от + * з (* + ч + ) + " ', )— / о о ! -~( ' .) с!З з е4 Г ""!з * — + ) гЬ~ = чГ2 1в(1 + чГ2) + — — 1 — / (1 ! х2)2 Полагая в последнем интеграле агссд х = 1 и интегрируя по частям, находим ! ! з !1х = / е' созг!И = — (сок г+ з1в Г) о (1+х ) 2 Окончательно получаем Г = чГ2!п (1 + ч'2) — —, й ! 84. Вычислить 1= ~[г(х), д(х)]!Гх, где 1'(х) = (х, х', х ), -! е! 1 Я 2 В(х) = (е, е, е ).
3 3. Интегрирование вектор — функций / оо оа < Так как д(х) = ч'(х), где «(х) = ( е*, —, — ), то согласно формуле (4), п. 3.1, имеем 1 1= (У(х), (х)П'- — /(1'(х), «( )) 3х = (1(1), ч(1)) — (У(-1), ч(-1))- — 1 1 1 1 1 хе' !1х — —,' ! х е г/х + 3 3 ! х е'!1х — — ! е !1х + 31 2) / 3/ -1 — ! — 1 — 1 ,о( 1."!.—,1' .. !.)) Вычисляя интегралы и принимая во внимание, что [!(1), ч(1)] — (Г( — 1), ч( — 1)) = 1 ~ — зЬ 3 — сЬ2) +3 ~2сЬ 1 — — сЬ3) + ЦсЬ2 — 2 ей 1), . /2 . / 2 — ~3 -) ~- 3 окончательно получим , /22 4 , 3 3 21 1=1~ — вЬЗ вЂ” — сЬЗ вЂ” сй2+ — вЬ2 — — е ) + ~21' б 4 2 ./2 2 +З (-зЬ 3 — — сЬ3+2сЬ 1 — бзЬ1+ 12е ) + Ь ~сЬ 2 — — ой 2+ 4сЬ1 — бвЬ 1), (3' ' 3 ) где 1, 3, и — - орты осей координат.
85. Вычислить 1 = а~ з(х) 11х, где з(х) = е*(соз х + ! яп х). о м Применив формулу (1), и. 3.2, получим (*1+- *1* + и-- 1*). о о Интегрируя по частям, находим 1= -(ео(1+соз2х+1(1 — сов2х)) +2(1 — !) ~е" яп2хг1х) = ео — 1+(1 — !)( е яп2хдх. 2 о о о Поскольку 1142 )* о е в!и 2х!/х =1пг~ е г/х = 1т . = 1т = — — (е — 1), <1+м1* е ' е — 1 2 1+2! 1+2! 5 а а 2 е — 1 то 1 = е — 1 + (! — 1)(ее — 1) — = (3 — 21) 5 5 2 86. Доказать, что 1 = ~ е' е ' 11х = I,, ( О, еслипгфо, ) 2х, если т=п.
о М Применяя формулу Эйлера, получим е™ме '"' = ец" т1з = соз(п — т)х+гяп(п — т)х. Если и! = е, то е'"хе оев = 1, следовательно, 1= /!1х=2т. а Гл. 4, Определенный интеграл Если т ф и, то )2 ,о 1 = / сов(п — т)х (1х + ! / мп(п — т)х(1х = в!и(!ь — пь)х) + !сов(а — ль)х) = О. о 2 ( "(х) .(х) ') аг!(х) аш(х) ( ' " ( ) (хг + 1)(хг + 2)' " ( ) хь + 3хг + 2 Зз/ 2 сов х (*) = * ) ' (.", ' (*) = М Согласно Формуле (1), и. З.З, имеем и решение примера сводится к вычислению четырех интегралов. 1 1 Интегрируя тождество ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
