Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, 1" ф,, а> — 1, йер>О. Г(а+ 1) (1) Полученный результат можно распространить и на случай, ко~да а < — ! л а ~ -и, и Е И, и > 1, Для этого воспользуемся известным свойством Г-функции, вырюкенным формулой: Г(и+а) =(и+а — !)(п+а — 2) ... аГ(а), а > О, которая позволяет продолжить ее на отрицательную полуось с вмброшенными точками х„= -и (и Е РВ, полагая 327 и 1. Преобразование Лапласа.
Основные понятия и свойства Пол>чаем Г(п+ 2) = (п+ — ) Г(п+ 2~) =, „, гт С вЂ” „„г ' З ! > (2п+ 1)! „(2п+ 1)!ъгв В частности, ггС =: 2 т . Ь. м Рг 684. С(с) = —,. м Применим формулу (2) из примера 682. Поя>чим 1 Г(2) ( 1)" >гя2" 3 ! ( и ч .2) ( и+ з),, ( ! )р "" (2п — !)лр' "'г В частности, — =' '-'. Ь ч'С ' Ч Р ' если О<С<а, 685. С(С) = 2а — С, если а < С < 2а, О, если С>2а,С<0.
М Применим формулу (1), и. 1.1. Получив>, интегрируя по частям.' 2 Р(р) = / Р(С)е 2'2(С = ) Се ~ 2(С + /(2а — С)е г~гСС = о Таким образом, (-1)" >/я 2'"п! г (2п)!р ' — е '2 = — (1 — е '") 2 Р2 1 Р(С)=: —,( — е") . 686. а) )(С) = йпС; б) ~(С) = з)21; в) С(С) =сов!; г) 1(С) =с)>С. ° В Воспачьзуемся решением примера 680: е" =', если Кар > Ке а. 1 р — а а) ми С = —, (е' — е ' ! Ф вЂ” ~ — — ) = 22 22 (р — 2 РЬС) !>г+!' в) созС = — (е' + е ) =; — ( + —.) = 2 ' 2 (~р — 2 р+г) р'+1' )у ! ! > р г) с)>С = — (е -Ь е ) Ф вЂ” ~ — Ч- — ~ = 2 2(,р-1 Р+1) р -1 При решении примера применяли свойство линейности преобразования Лапласа. Ь 687. а) С(С) = з(па!; б) у(С) = з)2 а!; в) у(С) = сова!; г) С(С) = с)2 а!.
м Воспользуемся теоремой подобия и предыдушим примером. Имеем 1 1 а а) ппаС =;— а дг+1 р'+аг га а б) гзйа( = з)п(аС =;,, айаС =' 2 ! (а)2' 2 22* Р р 2 (к)2 2 1„22' г) сиаС = соз(аС =',, с)гаС =; Р . Р . Ь ' рг+(Са)' Рг — аг Гл. 7. Метод иитяральиых преобразований Лапласа 328 688.
а) 7(С) = сов'аС; б) 7(С = сЛ'аС; в) 7(С) =яп'аС; г) у(С) =зЛ'аг; д) 3(С) = япа(соз)3С; е) 3(С) = япйгсЛ131; ж) С(С) = соя агзЛ)3С. и а) представим функцию у в виде 7(с) = т(1+ соз2ос) и воспользуемся изображениями 1 функций ~1(С) = 1 (см. пример 679), функции 72(С) = сот 2аС (в примере 687, в) вместо а берем 2а), а также свойством яинейности преобразояания Лапласа.
Получим: 1 (! р ) р'+2а' соз аг =' — — + 2 ',р рг+ «йг/ р(рг+ 4а') б) Запишем функцию 7 в виде Я) = соз'гй( и воспользуемся решением примера а). Находим р'+ 2(га) рг — 2а сЛ а(ф ' р(рг+ 4((а)2) р(рг 4аг) ' в) Поскольку згп йг = 2(1 — воз 2й(), то 1 г . 1/1 Р 2 (,р р'+«аг/ р(р'+ 4а') г) Воспользуемся равенством 1 зЛ аг = яп гаг и решением примера в) Имеем 2 2 2 ° 2 2 2 гд П) й 2 21" 2 г 2 2 2 11Л аг=яп гага =1, 5Л йггр . Р()гг ««(га)2) р(р' — 4аг)' ' р(рг — 4аг)' д) Представим функцию !' в виде 7(С) = 2 (з!п(а —,3)С «- яп(а + )3)С) и воспользуемся решением примера 687, а).
Получим 1 ( а — (3 а-Ь;3 ) й(Р +а — р) 2 (Рг+(а — 23)2 Р','-(а+23)2./ (р'+(а — С))2) (Р'+(а+)3)2) е) запишем функцию 7 в виде япа( ел(31 = яп а( сов гсзс. тогда, согласно д), имеем а (р'+ а'+ 23) а (р'+ а'+)3) 5!пй(сЛ/31 ф (рг+ (а — 1)3)2) (рг + (а + 1(3)г) (112 1. а2 )32) 1 «йг)32 ж) представим функцию 7 в виде созасзл)гс = -гяпссуссозас. Решение примера сводится к случаю д).
Получаем 1( 1)3 — а 1С)+ а сова(зЛ)3С ф — — + ) г р 2 + ( 1 р + а ) г у 1 ( д + Са )3 — га '1 (3(р' — а' — 23') 2 (,рг + аг — (32 — 12аг3 рг «аг — 232 + 12а)3! (рг + аг — )32) + «аг(32 689. а) !'(С) = з(п(ыС вЂ” ре); б) 7(С) = зй(ы( — ре); в) 7(С) = соз(ыг — 121); г) г(С) = сЛ(ыг — уге); д) г(С) = (аС вЂ” Ь)'. < Применим теоремы подобия и запаздывагня дпя нахаждсина ИЗОбражения оригинала вида 7(аг — Се), Гдс Се ) 0 и а — комплексное число. Пусть 7 Ф Р„тогда по теореме подобия ,7(аС) Ф а!" („) . По теореме запатаывания имеем 1 ~(ог — Се) = «(а(С вЂ” ад)) =; — Р ~-) е а, а) Воспользуемся решением примера 687, а) и формулой (1), Подучим Свг ю Яп(ы( — угг) =; е р2,1 ы2 51.
Преобразованяе Лапласа. Освовнме вошпня н саойспа 329 ! Г(п+ П ь о'Г(а+ 1) еь (Ш вЂ” Ь) =' — — „„е е о (г)" Р "' (а! бп0 у(1) = О(1 — (ь) '= ( О' 1 ' — обобшеннач единичная функция Хевисайда. ( 1, 1>(ь, О, 1<(ь и Согласно решению примера 679 и формуле (1) из примера 689, получаем; -рьь О(1 — (ь) Ф— р 691 1' а, если 0(1( т, О, если 1( Оияи(> т.
и Представььм функцию ьг в виде т'(1) = (ь)(() — О(1 — т))а. 'Тогда 7(т) ьг! е' ть 1 — е' 1'(1) Фа~ — — — ( =ар Р Р ( 1 — 2а, если 2а <1< а+Ь, б9о. 7(1) = ~ 2Ь вЂ” 1, если а+Ь <1< 2Ь, (рис.96). О, если 1> 2Ь или 1(2а О 2и и Поскатьку функцию У можно нрелставить в виде 1'(1) = (1 — 2а)ь)(1 — 2а) — (( — 2а)г)(1 — а — Ь) + (2Ь вЂ” 1)г)(1 — а — Ь) + (1 — 2Ь)зр(1 — 2Ь) = = (1 — 2а)О(1 — 2а) — 2(1 — а — Ь)ь)(1 — а — Ь) + (1 — 2Ь)ь!(1 — 2Ь), -2ат 2е-(аьььт -зьл ( — Р -ьт)2 И): + Рз )ьз )ьз 2 (см.
решение примера 689,д)). > И Записав функцию 7 в виде Я) = О(1 — 1) — О(1 — 2) + 29(1 — 2) — 2О(( — 3) + 39(1 — 3)— — 3ь((1 — ч)+... +(и — 1)ь)(1-(и-1)) — (и — 1)О(1-и)+пО(1 — и)+ ... = = Ч(1 — 1) 4- г)(1 — 2)+ П(1 — 3)+ ...
+О(1 — и)+ ..., О 1 2 3 получаем 1 " ь ! /(1) =' — ~ е ' р,, р(ет 1)' б) Аналогично, принимая во внимание решение примера 687, б), имеем ящ аь зй(ььт — Рь) Ф е ье — ьь в) Согласно 687, в), созьь( Ф -гр — т. По формуле (1) накопим: -~- ьь сгл соз(ьь( — рь) Ф е р' т ьь' г) Воспользуемсьг решением 687, г) и формулой (!). Получим Рта Р с)ь(ьь( — ус) = е Р ьь д) Пршгнмая во внимание формулу (1) нз примера 682, а также формулу (1) из настояшего примера, имеем Гл. 7.
Метод ивтмрааьвых преобразований Лапласа ЗЗО если В < а, если ! Ъ а (рис. 98). / можно представить в виде — е ) 9(! — а). б94. /(!) = ~,', и, .? ! О, М Очевидно, что функцию У(!) = (! Следовательно, ЕР' ЕР' Ье«' /(!) =; — — — = . а р р+ь р(р+ь)' 0 а Р .РВ (рис. 99). пЕУо Найти изображения периодических оригиналов.
® / яп(, если 2пгг <! < (2п+1)а, ) О, если (2п+1)а <! ((2п92)л, М Воспользуемся следствием из теорелгм 5 и. 1.2: если / яш?яется Т-г?ериодической функцией, то г р(р) = — я)е Р Ж. 1 — е Ртl 1 о В рассматриваемом случае получаем: ? 0 Е(р) = — / е " яп(Ж = / е ' з(п(?й = е-2«Р / 1-е-2« / й о 1 ! 2 Р о, е Р'(соз(+рып!)! 1 — е "Р (! — е "«)(р?+1) о 1+е "" 1 (1 — е 2 Р)(р? О Н (р' О Н(1 — е «Р) )л а л а Таким образом, 1 Я) ф —— (р? "!.
1)(1 — е «Р) 696. /(!) = )Р?паЦ (рис.100). М Функции / — — -периодическая, следовательно о « Е(р) = —,/ е "в!па(г(! =, 1пт / е~ Р г(!— — — .иа? 1 — е Р« 1 — е Р« о 1 о 1 е Рг(аспас!+рипа!) р?+ а' -Р- — Е о а 1+Е Р«а ЕР?«+Е Р?о а к р2+а2 1 -?- р?+а2 2 -Р Р2 ! а2 г сгйр л а ?à — )о!па!!ф с?йр —. М 2а' р?+ а? 2а о!п! / 1, если 2пл < ! ( (2п+ 1)а, 697. Р(!) = ~ЯпЦ 1 -1„если(2п+1)я <В < (2п+2)л, ибро(Рис 001) О, если!<О и Сужение функции / на положительную полуось есть 2?г-периодическая функция, поэтомУ 2« 2 Р(р) = / е " аап(в)ив) г(! = ~ / е Р йь — / е М и! 1 —.-"/ 1- е-?.Р,/ о о !/,о,?1 1 (1-е«)2 1 — е' е? — е «1 рл —.
- ?Ь вЂ”. Р 2 ~« ~ / 1 — е4 Р(1 — е-?Р ) Р(1+ е-2 ) р еет + е"7) р $ !. Преобразование Лапласа. Осыовиые попятив и свойства ЗЗ1 Следовательно, топ С 1 рог — = — СЛ вЂ”. М !2)пЦ ' р г' О 2а 4а ба 8а гоо. цц тьи. Сег — — 422, если 4па < С < (4п+ 1)а, — „— + 4п+ 2, ес22и (4п+ 1)а < С < (4п+ 2)а, 698.
У(С) = 7(С + 4а) = п Е Уо если (4п+ 2)а < С < (4п+ 4)а, С < О, О, (рис. 102). <о Функция 7 4а-периодическая, и ее изображение найдем по форм)ле Р(р) = / е " У(С) 2(С = 1 1 — е аар 1 а 2» '-.4'-'"")" (--') "> = о + 2 р2 о р р' р , арз(! — е »ар) (1 — е 'Р)' 1 еао ар'(1 — е зр)(1+е "Р) арз(1+е 'Р)(1+е "Р) арз(1+е ' Р) Таким образом, (Л -"8 У(С) . ар2(1+ е-2ар) ' Пользуясь теоремой смещения, найти изображения функций.
699. а) 1(С) = е "' з(пь21; б) 1'(С) = е "2 оЛ»21; в) у(С) = е "сох ь21; С» г) ЯС) = е "спор!; д) 7(С) = С ео'1 е) 7(С) = С'о!п))С; ж) 7(С) = „ео бпаС; з) 1(С) = -„-гопаС; и) Я) = -„теглзйа(; к) ЯС) = С'соо(ЗС; л) 1(С) = -„-те"'сора(; м) 1(С) = -пт оп а(; н) Я) = -„-тел' сЛ аС. и В случаях а)-д) можно непосредственно применять теорему смещения. В общем же случае, если требуется найти изображение функции (о, следует, если зто возможно, представить ее в виде у2(С) = е""РГ(С), ро — — сопи и применить теорему смещения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
