Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Обозначим )'(р) Ф у(С), Р(р) ив У(С). Г!о правилу дифференцирования и свойству линейности вместо дифференциалыюго уравнения (!) с начальными условиями (2) получаем операторное уравнение (аоР '- а,Р + ... + а„) У(Р) = = Р(Р) + уо(аор" ' + а?Р" ' + " . + а. ?) + Уо(аор" ' + а?Р" ' + " . ь а -?) е " е Уо" 'ао, или 347 $4. Лияейиые дафферевииальиые урноиеиия и системы Если уравнение (!) при начальных условиях (2) допускает решение у(!), удовлетворяющее условиям, нала,кенным на оригиналы, то это решение является оригиналом лля г (р). 4.2. Решение сметем лпнейнык дифференциальных уравнений с настоянными ноэффнниентамн.
Аналогично применяется операционный метод к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется решить систему и дифференциальных уравнений второго порядка аы —, + Ьы — + с,кдк = У (!) (и = 1, и) кы г, с начальными условиями 4.3. Решение уравнений с пулевыми пачяльнымн условиями прн помощи интеграла Дюамеля. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения АУ=У'"'+а,У'" "4 ... Ч-ак,д'+акр=-У(!) с начальными условиями д(о) = у'(о) = ...
= у'" п(о) = о. (2) Рассмотрим задачу д(0) = д'(О) = ... = ди к(0) = О, (3) где бд — левки часть уравнения (1). Поскольку операторные уравнения, соогветствуююцие задачам (1), (2) и (3), имеют вна 1 А(р)У~(р) = —, р если известно решение задачи (3), то„сот!иск!о А(р)Р(Р) = Р(р) где Р ф (, то г (р) = РУ~(р)Г(р).
Таким образом формуле Дюамекш, имеем д(!) = ~У(т)у',(! — т)йт о (приняли во внимание, что у,(0) = 0 согласно начальным условиям). Формула (4) принимает вид у(!) = у,(!)У(О)+ ~у,(!)У'(! — г) 4 . (5) о Решить слелующие дифференциальные задачи. 733. у" +а'у =Ьз!пас; у(0) = уо, уо(0) =)4. ° Операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид (р +а)У= +уор+уо.
аЬ рк+ ак Аук(О) д,(0) = ак = 0». А! Если ук(!) и 7,(!) — оригиналы, а Ук(р) и Г,(р) — их изображения, то система (1) с начальными условиями (2) заменится операторной системой (аккР Ч-Ь„ку+с„к) Ук(Р) = г,(Р) + ~ ((а,кР-> Ь„к)ах 4-а,к!ук!. (3) к.—.
~ к.—.! Решая се как алгебраическую линейную систему уравнений, найдем Ък(р), а потом и их оригиналы д (!) Изображение Оригинал 1 р ГО,есппг < 0 ч1!) = ~ 1,', 1 > о У!д Ь 1) рьы 1» !д > -1) С, Д = СОП5! и! 1р — д) 1"с", и Е И, гг = сопь! 5!пи!, и Е К, и = сопь! р2 ! яг (р — д) 2 -1- а! 1ю(р -1- ьд)" и! ! 2 ь 2) ьч р — гг !р — а)2 -1- аг КС!Р 1-ИО)ьы и! —— ! 2 + „2)ь.» 10 ьпьгг, а Е И, а =- сппь! р р2 2,22 с)!ыг, я Е И, а = сопя 12 *)п аг —, Я ЕЖ, ы=сопы 1 гг р — — ьгсга— 2 ы дг гг)г сю— рг Ьи! 252 1Япьгь(, и Е И а = ссп5! ег 2бгт( ) 222 с, ОЕЙ, а=сопя 15 с —, аЕРО а=соль! ч'и! ' 1 ьра+ а 16 с -д р 1 — е Тг, ОЕИ, а=соль! ьгюь 17 1 1 — ь!ив Я гь — е " ы)п игр 1 р чр 1 — соь— сгпг 21 — е ср усов 5/р 1 ч'р — длр р /а т бгт~ — ), ОЕИ, а=сапы )ьг г,)' 20 Таблица оригиналов и их изображений 5' япыг, ы Е И, д = спп52, м = сппь! 1" япы), и Е И, я Е И, дг = сопи ссьыг, и Е Рь Я = сОп5! е сщаг, Я ЕЖ, а=-соль!, а=сопя ! сп5а!, и Е И, а Е И, Я =.
сдп5! Приводим таблицу изобрюкеиий для некоторых функций и соответствующие указания для пользования ею. Если требуется по заданному оригиналу найти соответствующее ему изображение, щ таблицу читают слева направо; если известно изображение и требуется найти соответствующий ему оригинал — справа царево. Таблицы более подробные, чем предложенная здесь, приводятся в специальной литературе по операционному исчислению.
349 и 4. Линейные диффереицвазииые ураииеиив и системы Решив его, находим аЬ Р Уо У(р) = +Ус + — (Рз.„аз)з Рз щ,з Из таблицы изобрщкений функций находим: Уо Р . Уо . Уо ф уосоза(, ф — з!п ай орз4аз . о ' РзЧ аз а Поскольку — т — т-г — — 2 — г — р-гт —, то по формуле 7 таблицы и теореме об интегрировании аЬ Ь 2а ! (р +а ) (р +а ) Р' оригинала имеем аЬ Ь г Ь Ф / т з!и агат = — (з|п а( — а( соа а!).
(уз+аз)з ' 2 l 2аз о Окончательно получасов Ь Ь о|па| 7 Ы'г у(Г) =- ( у'„+ - - ) — + ! Уо — — ) севан и. 2а) а г, 2а) 734. У" 4 4У'+ 4у = е а(соз | + 2 з|п |); у(0) = — 1, у (О) = 1. а Перейдем к изображениям: УФУ, у ФРУ+1, у =, 'РУ-|-р — 1, Р -|- 2 сщ( 4 2з|п| Ф 2,„| ' у(Г) = е (| — сщ! — 2з|п(). » 735. Ув т зу" + зд'+ д = 1; у(о) = У'(о) = у" (о) = о. «( Пусть у(() Ф У(р).
Переходя д взобркжег!иям, получим операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче: (р4|)'У = —. Р Ею решение— 1 1 1 1 1 У(р)— в(рщ Пз,,+1 ( Ь Пз (ощ |)з' Оригинал изображения У находим по формулам 1, 3 и 4 таблицы: у(|)=1 — е — (е — — е =1 — е 11+!+ — ). » 2 ~ 2) 736. Уи+ у = 1; у(о) = д'(о) = у"(о) = о.
М Дифференциальной задаче соответствует операторное уравнение, решением которого является функция У, где 1 р(Р' + 1)' По теореме смещения получим -н Р+4 е (соз!+ 2з|пг) =; (р+ 2)з+ 1 Дифференциальной задаче соответствует опсраюрное уравнение Р У+Р— 1+ 4РУ+ 4+ 4У = г р4 4 (р -|- 2)' -|- 1 решение которого имеет вид 7 Р 4 7Р + 16Р 4 11 ((Р + 2)' + 1)(Р + 2)' 1'азлагая правую часть этого равенства на простые дроби, находим: Р44 1 У(р) = —— + (у+2)о+1 (Р42)з' Перейдем к оригиналу, воспользовавшись свойством линейности, теоремой смещения и таблицей изображений. Имеем Гл. 7.
Метод пвтпгралапых преобразований Лапласа 350 Оригинал найдем с помощью второй теоремы разложения: д(С) = 2. шз(емУ(р)). Функция У Рг имеет простые полюсы в точках р, = О, р, = — 1 и рг = 7 — — 2 —, рг = 7 + -'-2-. Вычисляя вычеты функции р еиУ(р) в указанных точках, находим 1, 1, ег е' шзе =1!шег =1, газе" У(р)= 1гш и р(рг+1) г о рг+1 ' и г -гр(р' — р+1) 3 ехд((г+ — ', )С) 2 г Д гез егу(р) О гез ему(р) = 2 Ке — = — — е г соз — С. и и :3 3 2 Окончательно имеем е ' 2 г г/3 д(С) = 1 — — — — е г соз — С, и 3 3 2 737. д'" + 2д" + д =- з!и С! д(О) = д'(О) = д" (О) = д'"(О) = О.
П Решение операторного уравнения, соответствующего дифференциальной задаче, находим после перехода от функции, ее производных и правой части уравнения к изображениям. Оно имеет вид 1 У(р) = (р' о 1)' Ори~инва д(с) находим как вычет функпии р еиУ(р) в точке р = г': д(С) = Ке — ~ )' = — (3 — С')зшг — — Ссозг. и г(Рг '1(Р+ 1)') 8 8 738. д' — д' =- 8 Мп С; д(О) = д'(О) = д" (О) = д"'(О) =. О, дге(0) = 1 П Поскольку д(С) Ф У(р), д'(С) Ф рУ(р1, д (С) ф р'У(р) — 1, з)пг ф -г —, то операторное р -1-1 ' уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид 5 8 р У вЂ” 1-РУ= —, рг!' откуда „г ! 9 ! (Р) = !)г г+ !гг' Орипгиал будем находить с помощью второй теоремы разложения.
Функция У имеет простые полюсы р, = О, ргл —— Ы и комплексно сопряженные полюсы второго порядка рк, = Ы. Обозначим Р + 9 = Рг(Р), (Р 1)(Р О 1) = Рз(Р). Тогда рг(р) Ррг(р) Найдем вычеты функции ег'У(р) в ее полюсах. Имеем Рг(0) г Рг(рг)егг' !Ое' 5, „г Рг(рг)еги 5 гезеиУ(р) = — = -9, гезег У(р) =, = — = — е', гезеМУ(р) = „, = — е Рг(0) ' и РгРг(Рг) 8 4 ' гг РгРг(Рз) 4 гезег'У(р) о гезег'У(р) = 2Ке11ш —, = 2Ке г( /г(р — г)г(р + 9)емг) (г (р 49)ег' гч и г г г(р 1 р(рг -1- 1)(рг — 1)г / ( р(рг — 1)(рг -1- г)г = 2Ке ~ з ~ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ! ~ ~ с -Зр' — 44рг + 27р — р~! — 28ргг'+ 9г (рг+ 9)С + ) ег р (рг !)г(р+ С) ,( г Н( 1;)г) г =\ /13 Сд е 13 = 2 Ке ( — + г) ее = — сох С + 2С з)п С. 4 г) 2 Окончательно находим: 5 13 д(с) = -9+ — сьс+ — созе + 2сппс.
и 2 2 $4. Лииейиые диффереивиальвме уравнения и системы 739. Уо+ ы'У = а(О(1) — г)(! - Ы); д(О) = д'(О) = О. м Перейдем к изобрикениям, Имеем у =' у, уо ='рзУ, г)(1) ф Р, О(1-Ы ф р (по теореме запаздывания). Дифферегз циазьггой задаче соответствует операторное уравнение ( о+о,г)У а ~! — е ор) Р 351 решением которою является функция У, тле а -ор У = — —.— (1 — е ). Р(р'+ о) По второй теореме разложения получаем а а а 2а гог( = — — — возы( = - 3!и Р(Р'+ы') ' ыз ыз ыз 2 ' а по теореме запаздывания находим: ае " 2а з ы(1 — Ь) 2 з — — — у згп — — гг(1 — Ь).
р(рз -1- ого) Гаким образом 2а г',, ю(, ог(1 — Ы у(г) = — (пп — г)(1) — з(п' — г)(1 — Ь)) . > 2 2 740. до + 4у = 2(1); у(О) = д'(О) = О, где à — 2ггк, если 2пя <1( (2п+ 1)я, 2(1) = -1+ 2(и+ 1)Я, если (2п+ 1)л < 1 » ((2п-1-2)Я, О, если 1 < О, и 6 Жо откуда 1 яр У(р) = — гй —. Р3рз+ 4) Оригинал изображения У(Р) найдем по теореме умножения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
