Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 74
Текст из файла (страница 74)
7. Метод интегральных преобразований Лапласа 342 Теорема 2. Если изображение Р есть меромарфнан фунниия на комплексной пласкаопи р и аналитическая на нарунлагкасти )(ер > а и если существует последовательность екрузкностей С„= (р Е С: 1р~ = А„), Вь < Вь < ..., Н вЂ” +со, на которой Р(р) стремится к нулю равномерна относительно агйр, а также»уа > о интеграл )' Р(р)йр абсолютно сходится, та оригиналам изображения Р(р) яеляетгл функция О(1)У(() = ',), юз(е "Р(р)). (4) Если для точки зь можно указать такую б-окрестность, что при однократном обходе точки з«по любому замкнуюму контуру, целиком лежащему в этой б-окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка з« называется точкой разветвления данной мно- гозначной ф ункции.
Если среди особых точек функции ер'Р(р) кроме полюсов и существенно особых точек рь (й = 1, 22) имеются точки разветвления р,' (ь' = 1, гп), то « ! « Г(() = ~ гез(емР(р)) — — ~ / ер Р(р) йр, (5) Рь 22гь ., 2«1, » где у,' — контуры, состоящие из окружностей С,' малого радиуса с цен- трами в точках 'разветвления, верхнего и нижнего края разрезов плос- кости по лучам, проведенным из этих точек (рис. 104). Рве. ьае Найти оригинады данных функций Р.
Е Е"«Р 722. Р(р) = —, а > О. а 2»Р ' т Функция.Р— аналитическая на плоскости р с разрезом по отри- С, цательной полуоси. На верхнем крае разреза р = ре" и р = ьзрр, а на нижнем его крае р = ре '" и „р = -2 рр. Поскольку р = 0 — точка 0 разветвлении функции Р, то, согласью формуле (5), имеем 1 г е'"" у(1) = — — / ер йр, 2хь Р' чРР 7« где у« — контур, изобрюкенный на рис. 105, ориентированный против хода часовой стрелки, состоящий из двух лучей и окрухгности радиуса е > О. Оценим г .ьез р,е 'ЧРР ~ е-«»р / ер — йр < / 1еи) ~ — ~йр) ,р .
~,р Полагая р = ееь", получим е 'ЧРР— «чт~х 2 (е 1 — 1йр~ = е' «Р .гй»р < ем,ре2я — »0 при г-»0. Поэтому Р Р«Е -«чрр»««р о ,„е и д +м / ь«,рр -2«.рр) — (е — йр = — ~ е —, йр — ~ йр = — ~ е М ! йр '4 + « +«« ! Г юсова РР 2 Р У(П=-'~'е- йр = — / е " созаийи р 343 03. Обратвое преобразование Лапласа Г гг (после подстановки гр = и). Обозначим 1(а) = / е "'сазана(и. Интегрируя по частям, нахоо з(п аи аг,1+ 21 Г „г, 21 а(1 1(о) = — е а ~~ 4 — / ие " з(пои г(и = — — —. л о а а г(а о Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
решая его, получаем г 1(о) = Се аг. Постоянную С находим из условия угя 1 рг С = 1(0) = / е " ' Ни = — / е '"' аг(иЛ) =— у71,/ Д 2 2)/1 о о Следовательно, ! гя а 1 аг 1(а) = -)/ — е а, 1(1) = — е 2 )/1 ' ггяг 723. г(р) = е ав, о > О. а Пусть 1(1) =' е '"о. Тогда по теореме днфференшарования изображения получим ,,у 2 е'' -1~(1) ф (е ' г/, илн — ГГ(1) Ф вЂ” — —. о ' гр ,1 Согласно решению предыдущего примера — 11(1) = — е аа . Позтому тяг аг а аг я)= е а, е что=; е ац,м 2чтя(з ' 2(ъ'яг е '"у 724. р(р) = —, о > 0.
р ' а Воспользуемся решениеагапредыдуще~о примера н теоремой интегрирования оригинала. Получим р ' 2чгя,/,ггтз' о Произведя замену 4- —— и, находим: а г а /,е ц г(т = — / е ' би = Ег( ® . о а г гт( Имеем — =' Ег((-ф) . М г+ 725. р(р) = (р — 2)(рг — р — 20) м Поскольку (р — 2)(р~ — р — 20) = (р- 2)(р+ 4)(р — 5), то функция р имеет простые полюсы в точках р, = 2, р, = — 4, рз = 5. Эти же полюсы имеет и функция ег'Р(р). Для нахождения оригинала функции Г воспользуемся формулой (4), п.
3.3. Вычеты функдии р а-а еие.(р) найдем с помощью формулы (8), и.3.2. Имеем еи(рг бр — 1) 5е гез е~р(р) = о=г 3(рг — 2р — 6) 18 ' 344 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа е'(рз+р-1) П и геь ег Р(р) = = — е ь=-ь 3(р' — 2р — 6) 54 еьь(р~+р — 1) ~ 29 геь сир(С) = = — е 3(рз — 2р — б) ) 27 Подставив полученное в формулу (4), и.
З.З, находим: 7(С) = — (1!е 458е — 15е ). и 54 726. р(р) = о -р+2 (р' 4 4)(рз + 1) ° Фунюгия емр(р) имеет простые полюсы в точках р = ж2( и р = ж(. По формуле (8), п. 3.2, находим ем(р'-р+2) (1+ь) „ "р(.) =— 2р(2рз 4 5), б ем(р'-рч-2) 1 — ь „, геь е" Е(р) = — = е ' . г.=з1 2р(2рз + 5) 6 В точках р = — ь и р = 2ь получим комплексно сопряженные выражения. Следовательно, г'! — ь е !+ь „'ь 1 С(С) = 2Ке ( — е ' — е' ) = — (соь2С+ ып2( — соьС+ ь!пС). и 6 6 ) 3 ! 727. р(р) =— (р — 1)'(рг + 1)(р — 2) м Функция е'~е (р) имеет простые полюсы в точках р = 2, р = жь и полюс 3-го порядка в точке р = !.
Согласно формуле (4), п. 3.3, имеем у(С) = геьеь Р(р)+ геьеир(р)+ геь еие(р) Ч- геье"у(р). ь=г ь=! Р= г 1 Вычислим вычеты по формулам (6) и (7), п. 3.2, получим: р! а геье Е(р) = — —, = — е, (р — 1) (рз+ 1) еи 1 геьгзьр(р) 4 геь еь'р(р) = 2Ке (гезеМР(р) ~ = 2Ке ( ) = — (соьС вЂ” Зал(), / ь,(р — 1)з(р+ ь)(р — 2) 7 =; 20 1( еь' е"р(р)=-( г р=' 2 1,(р'+ П(р — 2) ) 1 (2(бр~ — 16р + 15р — 3), Зрг — 4р+ 1, С~си ь~ е' 2 1, (рз + 1)'(р — 2)ь (р 4 1)ь(р — 2)' (рь 4 1)(р — 2)/ 4 Таким образом, еь 1 е С(С) = — + — (соьС вЂ” Зь!п() — — (С 4!).
М 5 20 4 728. р(р) =— рейр чс Поскольку ей р = сов ьр, то функция еир(р) имеет бесконечное множество простых полюсов рз = О, р„= ж( (й — р ) ьг, )ь 6 Я. Согласно второй теореме разложения имеем !ь гч=( — ) ~ь.т ( — ' е ( 7) ~ „соь()ь — 1) кС = 1+2Ке2 ',, = 1+ 2~ (-1) ь(к — -') кь)гь((ь — -') к = (Сь — !) к б 3. Обратное преобразование Лапласа 2 г Йл! ак — — — / У(!)соз — 4! (й Е Уо). о 4, цозтому 1 г — / 2 !22 = 2, ! В рассматриваемом случае 1 = 1 Йкг С05 -2 51п — 4- ! вл ° лл ак = — / соз — ! ой = 2 2 4 1 ао = — / К(!) !(г = 2./ о ! — 1) Таккак со5-"2 51п-4- =( — 1) при п=4й — 2(ЙЕЩ, то а =2 2, и Гй — 2~ л 2! соз й — 1 !+2с 12 ~1 2)~ )О, если 4й — 1<!<4Й4-1, (й 11 '(2, если 4й+ ! < 5 < 4Й+3. к=! !й — 2!2г с помощью единичной функпии 2) можем представить функцию ( в виде у(!) = 2 ) ( — 1) 2)(! — 2й — 1).
Таким образом, к=о 1 — Ф 22 ( — 1) О(! — 2й — 1). М рсйр =о Найти изображения функций. 729. ((1) = йп256. м Воспользуемся теоремой 1, п. 3.3. Разлагая функци!о 1 в степенной Ряд, получаем 5!п252! = 2 (-!)" !"'! ='Р(р). .—.о (2п+ 1) Согласно решению примера 683, имеем (2п 4 1)152л ! 2Ф и!22 к!р"+т Следовательно, ~Ф) = Е(-1)" »=о п)р" к ! 1Р— -~',(-1)" —,— =- -е к, и р »=о и' р р 730.
у(!) = —. со5252! 2! < Из разложения к мк-1 со5222! (-!)222»!к ! (2Й)! и соотношении 1! ! Г (Й+ 2) (2Й вЂ” 1)112/л (2Й)!2!»л 2 — ' к -' ькй р 2 2 р 2 Й!225 2 находим о получено разложение в ряд Фурье на сегменте [О, 4) функции (О, если 4й — ! < ! < 4Й+1, ,( 2, если 4й+ 1 < С < 4Й+ 3, по косинусам кратных дуг. действительно, коэффициенты Фурье ак,оля функции 1 вычисляются по формулам Гл.
7. Метод ннтегралыная преобразований Лапласа 731 У(С) = С?2«(2ч?С), где 2„(х) = ~ (-1)~(-~ «о лева) функция 1-и? рода и-го порядка. н Подставляя в формулу для 2„(х) вместо х аргумент (?С)"+?« ((с) = ст 2„(2чС) = С ? ~ (-!)' й!Г(и+ у+ ! Принимая во ю?имание решение примера 682, имеем Г(а + й + 1) р «««? 1 — цилиндрическая (бессей!(и+ й)! 2??гС, получим ( 1)«С«ы ) -Е,,(„„,1) Следовательно, )« ? 7!1 «(И Г(С)=~ ( !) = — 2 ( — 1) — = — е У, пЕ??.о.м — Р ? «=о "' Р"+ 734. ° Г'(С) = м Воспользуемся решением предыдущего примера, полагая там и = 1.
Получаем ! ! Ст,7,(2«?С) =' — е о. р? По формуле интегрирования изобрахгеиия (теорема 1О, и. 1.2) находим ? «ы Г !ту (2ч?С) Г е о ?Сд 11+'« ф/ — =еГ~=! — ер. / (Г? г Таким образом, ? Г(С)=,! — е У и. 4 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы 4.1. Интегрирование уравнений е постоянными коэффициентами. Пусть дано дифференциш?ьное уравнение 4"у 4"-'у Ау Ьу = ао — -Ьа? — „+ ... + а„-? — + а у = Г(С) «СС" АС"-' ''' " 4С и начальные условия А(р))г(р) = Р(р) + В(р), (3) где А(р) н В(р) — известные многочлены. Решая зто уравнение, найдем операторное решение Р(р) + В(р) А(р) д(О) = у„й?(О) = у, ..., Уи '(О) = у' (2) Считаем, что ао ~ О и функция г", а также решение у(С) вместе с его производными до п-«о порядка являются оригиналами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
