Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 73
Текст из файла (страница 73)
а Левые части соотношений (2) и (3) называют интегралами Дюамеля. 711. Найзн р а 1, где 52(!) = !', 1(!) =соаас!. м Согласно определению, (2) (3) 713. Найти изображение функции 1(!) = С(!) цп! — 8(!) соз !. < Поскольку 1(!) = 1 зш(! — 1) ~-- ЛТ, то по теореме Бореля 1 1 1 1(!) =; Р(р)Ф(р), Р(р) = ='5!п(, Ф(р) = !+р' ' ',Г2р ' 222а!' Итак, 1 ! 1(!) Ф вЂ” — м ~!2Р Р1+рз 714. Найти свертку )а а 1, где ус(!) = !', 1(!) = !л, о > О, !3 > О, и ее ижгбражение. < Согласно примеру 6В2 имеем Г(а + 1) р +' ГО)+ 1) раас По теореме Борелл получаем р:с рд+с .
Г(о+1) ГО)+1) 1 р'"л+' ' Г(а+ 1)Г(73+1) ус а 1 = / (! — т) СО5астЛт. О Поскольку созас! ~ — 2 — т, ! ~ -2-, то по теореме Бореля получаем ас 2. 2 Рем Р 2ас )а а 1 Ф РЗ(рз !.„,2)' 712. Найти изображение функции 1(!) = С(!) соз!+о(!) 5!и!, где С(!) и 8(!) соответственно косинус-интеграл и синус-интеграл Френела (см.
пример 707). < Функция 1 имеет вид Г СОИ 1 Г 51П1 Г 1 1(!) = соз ! / Лт -1- яо ! / — ЛТ = / соз(! — 1) — ЛТ. ъ 2агг ус2аг с/2аг а Таким обРазом, 1 = Р а ср, где сР(!) = со51, с(с(!) = ч —. По теоРеме БоРесгл 1(!) Ф Р(Р)Ф(Р), гпе ! 725! ' г (р) = -2Р— =' со51, Ф(р) = — - =' .
Таким образом, р .С- ! ' ' сс2р ' Ъ'2Ф 1 р 1Н) Ф вЂ” — —. м зсзр Р2+ 1 или /! х' (1 — х)д йх =- = В(а, !3). М д ! Г(а)2(г3) дгг Г(а + )3) о ! г! Функция егг! = — - ! е ' Лт называегси яищегролом аероящиосми. Ряд е ' = Я ( — 1)" — г равномерно ,л/ =о 'а смодящийся, воэтому еш можно лочлеиио интегрировать, Инеем г! -г! егГ ! = — 2 '( — 1)" — Лг = — 2, (-1)"— /л д =а и' чгя =а "!(2!' " 1) Очевидно, егГ(-1) = — егГ1, (ем!1) =- — е > О, егГ(О) = О, егГ(+оо) =- 2- = 1.
Следовательно, 2 функция егг — исчстивя, непрерывная, возрастаю!чая. При большим значениям аргумента ! рассматривают функцию Егт! = 1 — егг! а — ! е ' дг — — = ! е ' Лг = — ! е ' Лт. Фуикиия Егà — убывающая, непрерывная. 715. Найти изображение функции /(1) = еН( И Воспользуемся соотношениями е =' ! р /Г).
— ф .~- и теоремой Бореля. Получим: ! 1 л! Р гг! — / е * дгх, ф е егГ '(чг(). м/л (р — 1) /р о ! 1 /ггг(т 2е' — — /1 е — = — /1 е г((ч/т) = Р— 1 огР ' г/лт игл а а По теореме смешения имеем егГЯ =; 71б. Найти изображение функции /(1) = ЕгГ ( /Г) . М Согласно определению, ЕгГ ( /Г) = 1 — егГ (м/1) . Следовательно, 1 1 1 ЕгГ(г/(); ' р р.,/р+! р+1+,/р+!' 717. Найти изображение функции /(1) = е ' . и Применим преобразование Лапласа.
Получим: а 0 ага ~2/' в о 338 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа гаг!т.|-! )агда! 1 аа д Поскольку агату Г(а Гин-г-д' чо 7(г ~-ии —,2) Гагату)Г(р~ПГ а( ' откуда 1*1= Г(а+ 1)Г(!3+ 1),дщ + Г(а ф 13 ф 2) Полученный результат позволяет установить связь между Г- и В-функциями Эйлера. Лействительно, согласно определению свертки, имеем Г(а+ 1)Г()3+ 1) „„„, г'(1 — т)" г(т = — 1" 'д ".
1'(а+ )3+ 2) Полагая в интеграле т = Гх, получаем йт = Гг(х, т" = 1 х', (1 — т)д == 1д(! — х)" „ ! т (1 — ) йт =1 ~ х (1 — х) Ь =1 и .,д,! / .,! .,дщ Г(а+ 1)Г(/3+1) е 'г Г(гг-г)3+2) д Г(а + 1)Г(!3+ 1) х"(! — х) г(х = Г(а + /3 ф 2) я % 3. Обратиее вреебразоваиве Лапласа 339 718. Найти изобрюкешае ф ии г(С) = е(С. < Босполшуемся решением примера 717 и теоремой об интегрировании оригинала: если С =.
Р то 7' У(т) "т ф -(Р-. Находим: Р а 2 ег( С =' — е 4 Ег( ( — ) . м 'р |2) Окончательно имеем С(С) = е — (1 + С)е . Ь 72а.н, .с и а .г,...са>- (Р 49)(Р -С-4) < Записав Г(р) в зиле р(р) = -ср — -тр — и приняв во внимание, что р +9 р -с-4 =' сот 21, по теореме Бореля получаем: с 1 Г 7(С) = / созЗ(С вЂ” т)соъ2гйт = — / (сов(5т — ЗС)+ соз(ЗС вЂ” т)) йт = 24 о а 1 уяп(5т — ЗС) )!' ' 1 /з(п21 япЗС вЂ” — яп(ЭС вЂ” т)) ~ =- — !( + — яп21+ з|пЗС) 2~, 5 !=а 2 5 5 — ту — ='созЗС, — — СР— ф и -с- 9 ' ' р -|- 4 1 = -(3 з|п ЗС -2 яп 21).
я 5 721. Найти оригинал функции Р, где й(р) = -з — ! †. Р (Р + !> < Запишем функцию р в виде Г(р) = р — г. — ! — — — р|а(р) ф(р), где р(р) = — г, ф(р) = — ! — -, 1 ! ! Р Р Р Р+! Из соотношений — т =' .б- — — С(С), =' з|пС = д(С), по формуле (2), п.2.4, получаем (записав ! Р -С- 1 ее в виде л(~1(т) Р(С вЂ” т) с(г ф р(р)Ф(р) ): о 1 й Г(С вЂ” т)' ! Г =; — у! яптйт = — у! (С вЂ” т) з|птйт = — +созС вЂ” 1. я р'(р'~Н ' лl ~./ о о 5 3.
Обратное преобразование Лапласа 3.1. Формула обрацеиии Римана — Меллииа, Теореме (формула обращения Римана — Меллина). Или функция у яолиетея ориеииолои, т. е. удовлетворяет услоишии 1), 2), 3) и. 1.1, о р слуисит ее изоброакеииеи, то в любой 719. найти оригинал функции г, гле Р(р) = 1 (Р и !)(Р -с- 2) < Разлагая функцию р на простые дроби, получаем: 1 1 ! р(р) = — — — —- р-1-1 р+ 2 (р+ 2)з Поскольку — 1 ф е — 2 =' е, то решение примера сводится к отысканию оригинала 1 аь — с 1 зь -зс Р+ ' ' Р+ функции зс(р) = — — т — — — -2 — -2. По теореме Боре!и ! ! 1 (Р42) Р-с- Ре с ус(р)=' /е е йт=е / йт=е С. о о Гл.
7. Метод иитегравьвмх щтобразоааивй Лвпваса 340 точке ггепрерыаносеи функции у выполняется равенство ьн г (С) = — / сир(р) др, ! (1) где интеграл берется вдаль любой прямой (р Е С ! Кер = а > а) и понимается в смысле главного значении по Коши. В точках разрыва функции г' вместо г (С) н левой части формулы (1) следует взять 2(у(С+ 0) 4 у(С вЂ” О)). 3.2. Сведеппи из теории функций комплексного переменного. Напомним читателю, что функция у; С вЂ” С, диффсренцируемая в каждой точке некоторой области 2), называется аналитической (иначе, регулярной или моноггнной) в этой области. Если функция у аналитическая в кольце К = (г Е С ~ г < ,'г — го! < Л), то она может быть представлена своим рядом Лорана гг(г) = ,), сь(г — го), =- о равномерно сходящимся в любой замкнутой области, приналдежащей кольцу К.
Ряд (1) можно записать в виде (3) геа Г' = с,. (5) с„ У(г) = Е с.(г — го)" + к — , ,=о „=1 (х — го)" 7 ь - о При этом ряд 2; с„(х — го)" называется правильной частью ряла Лорана, а ряд 2: — -=а г— л.—.о ,ю (г — го) главной Ега частью. Если функция у дифференцируема в некоторой окрестности точки го, за исключением, быль может, самой точки го, то го называется особой точкой однозначного характера. Если главная часть ряда Лорана тождественно равна нулю, то го называется усеранимой особой точкой. Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, то точка го называется полюсом.
Число пз называется порядком полюса, если с и' О, а с, = 0 ЗСЗ Е )4, Теорема А Точка го являееся полюсом т -го порядка еогда и только тогда, когда существует такая непрерывна диффгргнциругмая функция уо, что Зо( ) Т(х) = чг Е О*о 1(го) и зо(го) и О, (з г)м где О„= (г Е С: )г — го! < б). Если с „и' 0 для бесконечного множества значений и Е г(, то точка го называется суще- ственно особой. Например, функции г ь е*, г ь пп —, г ь соз — имеют в начале координат ! ! существенно особую точку. Функция у называется целой или голоморфной, если она вовсе не имеет особых точек.
Напри- мер, функгти г ьч е', г ьч илг, г ь созг являются целыми. Функция !' называетсн дробной или мгроморфной, если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Согласно определению, мероморфная функция есть частное двух анзлитических на комгглекс- ной плоскости С функций, причем функция в знаменателе имеет хотя бы один изолированный нуль на плоскости С, а если нулей бесконечное множество, то оно не имеет предельных точек. Вычетом функции У в изолированной особой точке а называется число 1 гезу = —, / у(г) йг, (4) 2кг,/ где т — достаточно малая окружность П = (х Е С: !г — а! = б). Если функцию у можно представить рядом Лорана (2) в окрестности изолированной особой точки а, то зй! 5 3.
Обратив,б гие Лапласа В устранимой особой точке вычет все .да раасн нулю. В попике порядка гп вычет вычисляется по формуле й' ! юз1= — Ьп — „(( -а)"У( )) (6) (и 1)! ««йз" Для полюсов первого порядка формуда (б) принимает вид гез7 = !!ш(х — а)У(х). « Если при этом в окрестности точки а у(х) = фц, где )«и ф — анвлнтические функции в точке а, причем р(а) ~ О, а ф(х) имеет в точке а нуль первого порядка (т. е, ф(а) = 0 и ф'(а) Ф О), то вместо формулы (7) можно пользоваться формулой р(х) (в(х) р(а) гез 7 = Ош — (х — а) = Огп - „ (8) --' ф(х) -" х( ):Е(а) ф'(а)' (7) З.З, Теоремы разложении. Непосредственное применение формулы (!), п.3.1, затруднительно.
Мы рассмотрим здесь так назьтаемые лервую и вторую теорены раможенил, которые значительно упрощают процесс восстановления оригинала по его изображени!о. Теорема Е Если изображение Р донускает в окрестности точки рч — — 0 раможение в сходящийся ряд Парана ло стеленям— ! р Р(р) = ~', — '„"„ «=о р то ему оютветствует функция-оригинал !« О(!)у(!) =',) а„— с ««о (2) Прежле чел! формулировать вторую теорему разложения, приведем нааодяшие сообрюкения. Если у — аналитическая функция внутри области Ю всюду, кроме конечного числа особых точек а! (3 = 1, и) и непрерывна на границе С этой области, то справедлива формула Коти о вычетах 7(з) йз = 2я! ~ гезу.
(3) с г=! Подынтегральнал функция Р(р)е' в формуле (1), п.3.1, аналитическая и ее особые точки находятся на плоскости р слева от прямой, уравнение которой У = а = а. Справа от этой прямой функция Р(р)е' аналитическая, поскольку оба сомножителя — аналитические функции. Если применить теорему о вычетах к интегралу «аи ~е~Р(р) йр = / е~Р(р)йр+ / емР(р) йр с -и сл по контуру С = С, ы Сл (рис. 103) и перейти к пределу при Ь -! со, то оказываетсн, что е"Р(р)йр -! О, / е~Р(р) йр — ! 7"(!)2я! = 2н(~ гез(е~Р(р)), св «-и ! т.е О(!)У(!) = ~ геа(е" Р(р)). У! Этот результат известен в теории операционного исчисления как вторая теорема развахгвния. Сформз пируем эту теорему. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
