Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Аналогично, полагая в (з) и = = — 1 + (, у = О, получаем укороченную систему: 4=0 6= 44 — 57) характеристический определитель которой имеет нули Л,=-1, Л7=-4. Следовательно, особая точка (-1, 0) — узеа. Из уравне- ( -4 — 5 — Л|) (е,) находим, что все интегральные кривые, проходящие через узел, касаются прямой у = — х — 1, а из уравнения ( -4 -5 — Л~) (ег) следует, по все указанные кривые пересекаются интегральной кривой, проходящей через узел и имеющей в нем касатезшную у = -4х — 4.
Окрестности особых точек изображены на рис. 75. Наконец, учитывая все полученные данные, строим полную фазовую картину (рис. 76). ~ 661. х = 4 — 4х — 2у, у = ху. и Из системы Гас. 76 4 — 4х — 2У=О, ау=О находим особые точки: (1, 0), (О, 2). Известным способом (см. выше) устанавливаем, что (1, 0) — седло, а точка (О, 2) — вырожденный узел; Гас. 77 т причем в седло входят интегральные кривые под углом о = — 4-. Далее, ось Оу интегральные кривые пересекают горизонтально, а прямую 4-4х-2У = 0 — вертикально.
Решая неравенства хр >О 4 — 4х — 2у устанавливаем области монотонности интегральных кривых (рис. 77). Для более четкою представления о поведении интегральных кривых рассмотрим знак второй производной 4У(у — У1)(У вЂ” Уз) (4 — 4х — 2У)з з з где у, = 2 — х+ от, уз = 2 — х — х 7 (х > 0). если х ( О, то 4У (у + у(2х — 4)+(1 — х)(4+ х )) (4 4х гу)з Решая неравенства зО прях>0 (4 — 4х — 2и)з и ++++ ++++ ++++ ++ ч+ ++++ 2 +++++ +++++ +++в+ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ — — — +++ ./. + Ъ~ — — — // + + ++ — 'к т+ ++++ 1 ++++ ><О при х< 0, (4 4 2У)з находим области выпуклости интегральных кривых (Рис.78). Заметим, что на прямой 4 — 4х — 2у = 0 и на кривых У = Уг, у = уг часть траекторий меняет направление выпуклости.
Теперь проследим за интегральными кривыми, проходящими через особые точки. Через седло проходит прямая у = О и кривая, пересекающая ось Ох лод углом а = — а/с!8 з. Эта кривзя на параболе у = у, имеет точку перегиба и пересекает ось Оу горизонтально, а прямую 4 — 4х — 2У = 0 — вертикально. Наконец, под углом 135' к оси Ох она входит в узел. Нижняя часп, ее (при у < 0) проходит под параболой у = у„поскольку; +++ +++ + + .~- +е+ +++ +++ +++ + ++ сг Ъ е+ х+ г +++ +++ м — а ш Р х 3 1) У - — 2 при у — -со, а уг - -чхт; 2) попасть в обласп, между кривыми у = у, и 4 — 4х — 2У = 0 при у < 0 рассматриваемзя кривая не может, ибо в противном случае, имея выпуклостгч направленную вниз, ей бы припшось либо пересечь прямую 4 — 4х — 2У = О, что невозможно, либо остаться в этой области, что в силу 1) также невозможно (рис.
79). Рассмотрим узел, Выйдя из угловой точки по касательной к кривым у = у, и у = уг, траектория (а) может попасть лишь в область 1П, поскольку в области 1 выпуклость направлена вверх, что для этой траектории невозможно, а в области П выпуклость направлена вниз и поэтому траектория ло/окна пересечь интегральную кривую (а), что также невозможно. Таким образом, попав в обласп, Ш, фазовая траектория пересекает прямую 4-4х — 2У = О вертикально, затем ось Оу — горизонтально и, имея выпуклость, направленную вниз, уйдет налево вверх. Теперь рассмотрим траекгории, выходящие из узловой точки и идущие иверх налево.
Здесь имеется две возможности. Первая состоит в том, что фазовая траектория (б) сначала попадает в область 1, затем в области П, П1 и, наконец, уходит налево вверх. Вторая возможность: фазовая траектория ( 1) попадает в область (У, затем пересекает прямую 4 — 4х— — 2У = 0 вертикально, ось Оу — горизонтально, меняет направление выпуклости на кривой у = у, и, наконец, асимптотически стремится к оси Ох. Возможные выходы фазовых траекторий из узловой точки представлены на рис.
80. Покажем наконец, что все выхолящие из узла интегральные кривые, за исключением кривой (а), асимптотически стремятся к оси Ох при х — +со. Очевидно, д/и этого достаточно показать, что Уе > 0 Зх такое, что интегральная кривая (/3) обязательно пересечет прямую 4 — 4х — 2У = О. С этой целью, заменив в дифференциальном уравнении ху у = 4 — 4х — 2У х на -х (ради удобства), перейдем к интегральному уравне- нию кривой (/у): у(х) = е + / (у(1) <й (х ) )0).
(1) ,/ 4+ 4( — 2У(1) о Очевилно, у(х) > е > 0 при х > О. Пусть у(х) < 2(1+ х) при Гл. б. Устойчивость н фажиоые траекторви 3!4 х > О. Тогда из (1) следует оценка: Г !ой Г х 1 у(х) ) е+ — / — = е ~ 1+ — — — 1п(1+ а)) . 4./ !+С- ~ 4 4 о С учетом последнего неравенства нз (!) получаем более точную оценку: 1 г 41+ С вЂ” 11п(1+ 1) 1 С 1 с' 41+С~ — С1п(!+С) у(х) >е 1+ — / < й )е!+ — / о(С 16/ С+1 ) ~ 16/ С+4 о о х' ! *гС!п(!+С) ~ / х' ! *г = е 1+ — — — / оС ) е 1+ — — — / )п(1+1)пС 32 16,/ 1+4 ) ~ 32 !6,/ о о х' х !+х = е 1+ — -~- — — — )п(1+ х), х ) О.
32 16 16 Следовательно .2 . 1+ 0 < е 1 + — + — — — )п(1 + х) < у(х) < 2(1 + х). 32 16 16 Отсюда уже нетрудно видеть, что ое > 0 Эхо такое, что кривая (13) пересечет указанную прямую. Действительное, такое хо удовлетворяет неравенству 0 < хо < х, где х есть решение уравнения: х х 1+х е 1+ — + — — — 1п(1+ х) = 2(1+ х), х > О. 32 1б 16 Далее, при х -+ +па и ограниченном у издифференциального уравнения (*) следует, что у (х) — — =о у(х) Се 4 4 т. е. при х — +аа все интегральные кривые асимптотически стремятся к оси Ох.
Поведение интегральных кривых при у < 0 не требует детального исследования. Примерный вид фаювых траекторий изображен на рис. 81. а 662. й = 2х+ у' — 1, у = бх — у~+ 1. М Из неравенств бх — у +1 80 2х+ уз — 1 определяем области монотонности фазовых траекторий (рис. 82). Отметим при этом, что за исключением двух особых точек (О, 1) и (О, -1) параболу 2х+у'-1 = 0 траектории пересекают Рис. аг вертикально, а параболу бх — уз+ ! = 0 гори- зонтально. Далее, известным способом нетрудно установить, что точка (О, — 1) — неустойчивый фокус, а точка (О, 1) — седло, причем прямые у = 1 — Зх и у = 1 + а являются касательными к интегральным кривым в этой точке (рис.
83). Покажем теперь, что любая траектории, проходяшая через точку (хо, 0), обязательно пересечет параболу 2х+ у — 1 = 0 (хо < 0). Поменяв, ради удабсзва, в уравнении б, з+! 2х+ уз — 1 г .вз в .вг х на — х, а у на -у, запишем интегральное уравнение указанной траектории: у(х) = бг — 1+ у (г) 21+! — уэ(Г) ((г. Поскольку у'(Г) > О, то из (1) следует неравенство: г бг-! 2х+ 1 у(х) ) / ог = 3(х + хь) — 0 1п 21+1 1 — 2хе указывающее на возрастание ординаты исследуеиой кривой. Поскольку это возрастание происходит быстрее, чем по прямолинейному закону, то обязательно найдется такое х,, что у(х,) = ьг!+2хь Далее, нз выра:кения дяя второй производной (уг - 1- 2хуу') = ((уг — 1)(2х+ уг — 1+ 2ху) - 12хгу) (2х+ уг — !)г (2х+ уг — 1)з видно, что между параболами бх — у + 1 = 0 и 2х+у — 1 = 0 при у ( 0 все траектории имеют выпуклость, направленную вниз.
Поэтому интегральные кривые пересекуг параболу бх — уз+1 = 0 и далее уйауг вверх направо. Таким образом, учитывая все приведенное, строим семейство фазовых траекторий (рис. 84). > 663. х = 1 — *' — у', у = 2ху. м Поскольку дифференциальное уравнение «х 1 - хг - уг при замене х на — х, у на — у вида не меняет, то картина фазовых траекторий симметрична как относительно оси Ох, так и оси Оу. Далее, легко найти, что особые точки (О, х!) — центры, а точки (х1, О) — седла, через которые проходит эллиптическая траектория х + — =1.
г у 3 Гл. б. Устойчивость и фвзовые траектории 31б Далее, решив неравенства ху г уз< находим участки монотонного убывания (возрастания) фазовых траекторий (рис. 85). м 664. х = (х+ у)' — 1, у = -у' - х О !. М Как и в предыдуших примерах, сначала находим области монотонности интегральных кривых (рис. 8б), а затем выявляем особые точки и их характер; (О, — 1) — седло, (1, 0)— неустойчивый фокус, (-3, 2) — узел, (О, 1)— седло.
Из укороченной системы диффереггциальных уравнений следует, что в точку (О, — 1) интегральные кривые входят„касаясь прямых Рсс. аз у= -!+ — х-1 и у=- 1+ — х-1; в точку (О, 1) — прямых 1 ! ( 2) ( 2) ьг2 тг2 В узловой точке траектории касаются прямой ! — тгЗ у = — (х + 3) + 2. 2 Через эту точку проходит также интегральная кривая с каса- тельной 1+ ьгЗ у= (х+3)+2. 2 Особые точки и их малые окрестности представлены на рис, 87. Наконец, представляется интересным выяснить поведение интегральных кривых, проходяших через особые точки.
В частности, покажем, шо кривая (а) перейдет в одну из спиралей полюса (1, 0), а кривая (6) обойдет полюс и в полосе (х + у)' < 1 пройдет ниже кривой (а). Записав интегральное уравнение кривой (6) при х > О, у>О: (!) с Рсс, ат и приняв во вниманиенеравенства 0 < у(С) < 1 и С+у(С) > 1, из (1) имеем оценку: г ! — (с+ у(с)) т 61 г61 х у(х) > 1 — э! г ( >1- ~' — =1- -. / 1 — (С+у(С))' l !+!+у(И с с с Отсюда следует, что кривая (6) пересечет ось Ох в точке хс > 2, Далее, в полосе (х + у)' < 1 производная у' > О, значит, ордината кривой (а) возрастасг и поэтому последняя может пересечь прямую я+ у = 1 в точке (х„у,), где х, < 2. Таким образом, траектории (а) и (6) "разминутся": траектория (а), как видно из рис.
88, превратится в спираль, а траектория (6), обопгув полюс и совершив вертикальное пересечение прямых х+ у = 1 и х + у = -1, станет асимптотически сближаться с кривой (е). 317 Изучить поведение других из указанных выше интегральных кривых, примерный внд которых изображен на рис. 88, предоставляем читателю. Таким образом, исходя из проведенных исследований, строим эскизный портрет фазовых траекторий (рис. 89). и Рас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
