Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Предположим, что один из корней имеет нулевую действительную часть: Л = (а. Тогда должно быль: х — 2(ы' — Зы'+ 7гы + 2 = О, или ы~ — Зы'+ 2 = 0 л — 2ы'+ 7м = О. Последнее соотношение показывает, что зто невозможно. Следовательно, хотя бы один корень имеет положительную действительную часть. Значит, нулевое решение неустойчиво. М 623. х + 5х + !5х" + 48х" + 44х'+ 74х = О. м Пользуемся критерием Михайлова. Здесь р(0 = 74- 486+ 56', д(О) = 44 — 15О+ О, а„= 74 > О, а„! = 44 > О.
Кроме того, корни уравнений р(~) = О, д(О) = О, имеющие вид: 290 Гл. б. Устойчивость и $азоаые траеатарин 625. ахп+х"'+х" +х'+Ьх = О. м Как и в предыдущем примере, составляем матрицу Гурвица 1 а 0 0 1 1 1 а 0 Ь 1 1 О 0 О Ь и вычисляем ее главные лиагональные миноры: 1 а 0 Д,=1>О; Д,= ' '! =1,; Д,=~ 1 1 1 =1- -Ь; Д,=Ь(1- -Ь). Согласно критерию Рауса — Гураица, для асимптотической устойчивости необходимо и достаточ- но, чтобы выполнялось соотношение: 1 — а>0 Л 1 — а — Ь>0 л Ь(1 — а — Ь)>0 л а>0. Решив эту систему неравенств, получим требуемые условия: а > О, Ь > О, а + Ь < 1, м 626. хи +ах"'+4х" +2х'+ Ьх = О.
и Применяя критерий Льеиара — Шипара, получаем: а ! 0 д,=а>0, Ь>0, дз= 2 4 а =8а — аЬ вЂ” 4>0. 0 Ь 2 Отсюда находим, что асимгпотическая устойчивость наблюдается при вьлюлнении неравенств: а1<а<ан 0<Ь<4; а~з=(4~2ъ~4 — Ь)Ь '.!ь 627. х" + ах'" + 4х" + Ьх' + х = О. М Аналогично предыдущему примеру имеем: а 1 0 ! д! — -а~>0, Ь>0, дз — — Ь 4 а =4аЬ вЂ” а — Ь >О. 0 1 Ь Отсюда находим условия асимптотической устойчимкти: 2 — з/3 « — 2+ згЗ (а > О, Ь > О). М 628.
ха + х" + а х' + 5ах = О. Найти область устойчивости. м Применяем критерий Льенара — Шипара. Поскольку 1 1 а>0, Дз=~ 5 з )=а(а — 5)>0, 5а а го нулевое решение асимптотически устойчиво, если а > 5. Далее, пусть 0 < а < 5. Тогда, предположив, что адин из корней уравнения У(Л) = Л + Л + а Л + 5а = 0 чисто мнимый, приходим к противоречию, так как Яы) = -!ы — ы + га ы+ 5 = О чз ы = 5а Л ы = а .
Значит при а < 5 устойчивости нет. Если а = 5, из последних соотношений слелует, что Л, з = = х5!. Нетрудно найти, что Лз —— -1. Таким образом, при а = 5 нулевое решение устойчиво (асимптотической устойчивости нет, так как 1лп е(!) не существует, где е(!) — возмущенное Ф +а решение). м 291 б 1. Устойчивость б29.
Маятник состоит из жесткого стержня длины ! и массы гп на конце в! (рис. 30). К стержню прикреплены две пружины с жесткостью й на расстоянии а от точки крепления. Определить условие равновесия мюпника в верхнем положении. м Пусть )з — угол отклонения стержня от вертикали. Тогда, считая угол р 1 о малым, легко составить функцию Лагранжа Ь = К вЂ” П, где К, П вЂ” кинетическая н потенциальная энергия системы соответственно. Имеем К = — т! р, П = да~у~+ ту!совр, Х = — т(~(а — йа (е — тд!соз(е 2 2 (кинетической энергией пружин пренебрегаем).
Далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составляем дифференциальное уравнение, описывающее малые колебания стержня окшю вертикального положения: о !'ВЬ~ дЬ вЂ” ~ —.) — — = т!'(3+ 2йа'и — тд(яп)з = О, А! ~хдр) ду! или (ввиду малости угла <р): у)+ Азз =О, где А = — т-~. Очевидно, при А < О устойчивости не будет (угол (е увеличивается неогра2аа — т ! го! ннченно). При А > О стержень совершает малые колебания около асртикалн. Следовательно, если 2йа' > тд(, то вертикальное положение «гержня устойчиво. )и 63().
Механическая система, изображенная на рис. 31, вращается с постоянной угловой скоростью х вокруг оси АВ. Тело массы М может двигаться вдоль вертикальной А осн АВ. Определить положение равновесия этой системы (массами стержней пренебречь). м Дзш составления функции Лагранжа вьгчислим кинетическую и потец- т т циальную энергию системы. Имеем: < х! =хм хз = ( — 2 — а(п2х! —. уо (М+ т) япх, — Мат зт 2х!т! (гп + 2Мяп х ) г тат 2 т -! (2) К.=то у + +Т 2! М~ 2 2 где Т = та' з!п' О, х = !СТ)! = 2а сох В Поэтому вх.
3! К = то В +2Ма~у~з!п~д+ та~ы~з!и В. Потенциальную энергию системы рассматриваем относительно точки В ()СВ! = 2а), поскольку ниже точки В система расположиться не сможет. Легко видеть, что П = 2тд(КВ!+ Мд!)3В! = 2ту(2а — а сох В) + Мд(2о — 2а сот 0). Таким образом, функция Лагранжа Ь = (т+ 2Мяп В)а В +та ы яп В+2да(т+М)созд — 2ад(2т+М). Составляем уравнение Лагранжа: А (ВЬ1 ВЬ 2 2 '2 з з. А! 'гдВ/ д — ( —.1 — — = 2а 0(т+ 2Мз!и О)+ 2а МВ яп20+2да(М+ т)яп0 — та ы яп20 = О. (!) Поскольку в положении равновесия 0 = О, В = О, то из (1) можно найти угол равновесия Ве, удовлетворяющий соотношению йп Вс(д(М + т) — том соа Ве) = О. Отсюда следуют физически возможные значения угла Ве.
д(М+ т) Ве = О, сов Ве ы < 1. таха Вводя обозначения х! = О, хз — — О, уравнение (1) представляем в виде сисшмы: 292 Гл. б. Устойчивость и фазааые траеатарии Рассмотрим устойчивость точки равновесия (О, 0). Ставя в соответствие системе (2) линеаризо- ванную систему уравнений хг = хн хг = (ог — — ( — + 1) ) х, и вычисляя корни ее характеристического уравнения г =+~~ -'-("— ~~) видим, что при условии тамг > д(М+ т), согласно первой теореме Ляпунова, точка равновесия (О, 0) неустойчива. пусть тазг~ < у(м 4 т). тогда, подобрав функцию ляпунова е = хг(т + 2М ип х,) + 2(1 — сов х,) г — (М + т) — тог соз — ), г г /у г г х!~г а 2(г удовлетворяюпбто условиям: и(0, 0) = О, е(хн хг) > 0 при 0 < х, + хг < —, 4' е(х„хг) = 0 (в силу теоремы (2)), заключаем, что точка равновесия (О, 0) устойчива.
Рассмотрим теперь устойчивость равновесия точки (до, 0). Сделан замену переменных х, = = до+ у,, хг = уг выражении для функции Ляпунова из предыдушего случая, а также потребовав, чтобы е(0, 0) = О, получаем е(ун уг) = уг~ т+2Мяп (Во+уг))+(соо(до+уг) — созда) (тог (соз(до+уг)+согде! — — (М+пг)). г/ г т/ г/ 2д Поскольку производная /(уг) = тог ( (М+по) — соо(В, +уг)) яп(до+ уг), г/ В ггг ~г где /(уП = (соо(В, + у,) — соз Во) ( тог (соз(до + уП + согде) — — (М + т)), г 20 а удовлетворяет условиям: /'(0) = О, /'(уг) > 0 при д > у, > 0 и /'(у,) < 0 при — 6 < у, < О, то функция / имеет строгий минимум в начале координат. Слеловательно, Функция е = е(у„уг) также имеет строгий минимум в точке (О, 0).
Далее, поскольку е(у„уг) ал 0 в силу системы уг = В~ / ппог В уг = яп2(Во + уг) (М + т)яп(до + уг) Муг от 2(Во + уг) 2 а ! т + 2М Япг(до + Уг) то цо теореме Ляпунова точка (О, 0) на плоскости угОуг устойчива, т. е. устойчива точка (до, 0) (на плоскости хгОхг). и $2. Особые точки 2.1. Определение особых точек и ик классификация. Пусть в системе дифференциальных уравнений Их Фу — =М(х, у), — =К(х, у) ВЕ ' Вс функции М, )г/ непрерывно дифферегщируемы в некоторой окрестности то~ки (хо, уо), где они одновременно обрацаютсв в нуль, т.е.
М(хо, уо) = О, гг/(хо, уо) = О. 293 „ЬЛ ~=О. (2) Если корни действительные, Л,Лз > 0 и Л«ф Лз, то особая точка называется узлом (картина интегральных кривых в окреспюсти начала координат напоминает собой семейство парабол, вершины которых совпадают с точкой (О, 0)). Если корни имеют разные знаки, то особая точка называется седлом, а интегральные кривые представляют собой несколько деформированные гиперболы. Далее, если корни комплексные, но Ке Л, з ф О, то особая точка называется фокусом, а интегральные кривые имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координат. Если же Ке Л«д —— О, ио 1гп Л,, ф О, то особая точка — центр. Интегральные кривые в этом случае замкнуты и охватывают начало координат.
Кроме этих (основных) особых точек различают еще точки: вырожденный узел (Л, = Лз ф 0), динритичесний узел (имеет место лишь в случае, когда система имеет вш«дТ вЂ” — ах; ду = ау, дх йч а зо 0). В случае особых точек узла и седла система уравнений (1) имеет решения, изобрахшемые прямыми, проходящими через начало координат. Направлении прямых определяются собственными векторами матрицы (: ') причем в случае узла интегральные кривые касаются собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине Л. Для выяснения направления движения по траектории достаточно построить в какой-нибудь точке (х, у) вектор скорости (х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
