Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 64

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 64 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 642013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

2.2. Практические приемы пееледовапив особык точек. Предположим, что в некоторой окреспюсти особой точки (хо, уо) системы (1), где введена декартова система координат Ох,у, по формулам х = хо .+ х„у = уз + у,, правые части можно представить в виде М(х, у) гл М(хо +хи уо+ уф = ах«+ Ьу, + о(х«, у«), )«((х, У) ш 11(хо +х«, Уо+ У«) = сх«+ ЙУ«+13(х«, У«), где а, Ь, с, д — постоянные, а функции а, 13 таковы, что справедливы следующие оценки: «г(хн у«) Р(х««у«) г«ы О, г«ы 0 при г-~0 (е > 0), г = фз«+у«.

з з Тогда, если Ке Л ф О, где Л опрелеляется из уравнения (2), то особая точка (хо, уо) системы (1) будет того же типа, по особая точка (О, 0) системы дх« ду« — = ах«+Ьу«, — — — сх«+ду«. д( ' д( Если лля системы (3) особал точка — центр, то для системы дх« йу« — = ах«+Ьу«+а(х«, у«), — = се«+ду«+)у(х«, у«) (4) она может быть центром или фокусом.

Если траектории системы (4) имеют ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку, то последняя будет центром и для системы (4). Перейля от системы (4) к уравнению ду Ф(х, у) дх М(х, у)' (5) Оиреяелеиие. Точка (хо, уо), в окрестности которой функции М, )т' непрерывно диффвренцируг- мы иМ(хо, уо) = Ф(хо, уо) = О, назывветсв особой точкой системы (1) иа плоскости Оху. В просгейшем случае, когда М, ««г линейны, т.е. М(х, у) = ах + Ьу, р«(х, у) = сх + ду, гле а, Ь, с, д — постоянные, исследование особых точек проводится по следующей схеме.

Сначала находят корни Л, з характеристического уравнения Гл. 6. Усгойчваосп и фамюые траекторви лепсо обнарухппь ось симметрии. Если уравнение (5) не меняет своего вида при замене х на -х шш у на — у, то центр сиситемы (3) будет центром системы (4). Фокус имеется тогда и только тогда, когда нулевое решение системы (1) (после параллельного переноса системы координат в особую точку) будет асимптотически устойчиво при 2 - +оо или при 2 -с -оо. В задачах 631 — 640 исследовать особые точки и изобразить графически семейство интеграланых кривых в окрестности особой точки.

631. х = к+ Зу, у = -бх — 5у. М Составляем и решаем характеристическое уравнение 1 — Л 3 Л ~=0; Л~2=-2х32. Поскольку КеЛ, 2 < О, то точка (О, 0) является устойчивым фокусом (рис. 32). Для выяснения направления закручивания интегральных кривых (спиралей) построим вектор скорости в точке (1, 0): Рвс. 32 й=!, у= -б. м 632.

й = — 2х — 5у, у' = 2*+ 2У М Харакгернстическое уравнение ! -2-Л -5 ~ О имеет корни Л,, = х( 6. Следовательно, особая точка — центр. Направление движения по траекториям определяем по вектору скорости: (х(0, 1); у(0, 1)) = (-5; 2) Рас. 33 (рис. 33). Далее, юш установления уравнений прямых у = Ух, на которых расположены оси эллипсов, найдем экстремумы функции у = г(х, у) = х +у при условии, что Ух = й и*' = -2х — 5У, у = 2х+2У. Из необходимого условия экстремума получаем уравнение ф — = 2хх+ 2уу = О, с(2 подставив в которое значения х, у, у = Ух, после сокращения на х' приходим к уравнению 2(с — 3(с — 2 = О. Следователыю, на прямых у = 2х, у = — у располохсены оси всех эллипсов. м х у 633.

х = Эх — 4У, у = х — 2у. М Из уравнения ~3 — Л -4 находим Льз = -2 —. Так как корни Лгд действительны 1хз и имеют разные знаки, то особая точка — седло. В этом случае семейство интегральных кривых (гипербол) имеет две прямые, 77 проходящие через начало координат х = 2, у = хг (2 — параметр). Для нахождения углового коэффициента У подставим параметрические уравнения прямых в систему лифференциальных уравнений.

После исключения параметра 2 получим уравнение для Ул 4йз — 5(с+1 = О, Гл. б. Успгйчивесть и фазовые траектории следует, что Л, = Л, = О. Это значит, что коэффициенты данных уравнений пропорциональны. Следовательно, прямая у = 2х состо- ит из особых точек. Семейство интегральных кривых лепко найти из уравнения — =2 ~ у=2х+С С~О.

бу бх Физически семейство кривых, изобрюкенных на рис. 37, можно интерпретировать как картину ламинарного течения двух противоположно направленных потоков жидкости, причем скорость течения в обоих случаях растет по абсолютной величине по мере удаления от линии их раздела (у = 2х), где она равна нулю. м 637. й=х, у=у. < Составив и решив характеристическое уравнение, найдем его корни рве.

37 л,=л Значит, точка (О, 0) — дикритический узел. Разделив почленно одно уравнение на другое и проинтегрировав результат, получим семейство прямых у=ух, х=О (рис. 38). Поскольку Ке Л, з > О, то узел неустойчив. м 638. й=о, у=о. м Очевидно, вся плоскость Оху состоит нз особых точек. Семейспю же интегральных кривых на плоскости Оху не существует. м Прмиечвиие. В пространстве Охре интегральные кривые нредетзвдякгг собой прямые, параллельные оси ОГ. 63Д у, 4х-У Зх — 2у М Из характеристического уравнения — ! 0 находим корни Льз=!х2й Следовательно, особая точка — фокус. Для вьиснения вопроса о направвении закручивания интегральных кривых (спиралей) положим х = 1, у = 0 в системе уравнений: х = Зх — 2у, у =4х — у. Прямечмме.

Об устойчивости особой точки исходного уравнения ничего сказать нельзя, твк квк при замене 1 ив — Г уравнение вида не меняет, траекгорин движения (интегральные кривые) не замкнуты и устойчивость в данном случае зависят ст направления двииеиия по траекториям. 648. „= 'х+У. Зх+ 4у м Составив и решив уравнение 3 — Л 4 Л )=0; Лг=5, Лз=-1, Тогда, приняв во внимание, что для этой системы фокус будет неустойчивым, а также направле- ние вектора скорости и(1, 0) = (3, 4), заключаем, что при удалении от начала координат движение по спирали осущеспияется против хода часовой стрелки (рис.

39). 1ь 297 в2, Особые тачка видим, что особая точка — седло. Путем подстановки у = йх в дифференциальное уравнение находим интегральные прямые (асимптоты семейства деформированных гипербол). Имеем 2+й 1 й= ~ й~= —, 3+ 4й 2' Таким образом, две прямые )гг = — 1 ° у= — у=-х 2' — искомые. Далее, ясно, что особая точка неустойчива (в данном случае, в отличие от предыдущего примера, характер тривиального решения не зависит от направления движения по траекториям). Примерный вид семейства изображен на рис. 40. М В задачах 641-647 найти и исследовать особые точки данных уравнений и систем. (141, 2х+ у ° у = х — 2у — 5 м Из системы уравнений 2х+ у = О, х — 2у — 5 = 0 находим координаты особой точки: х = 1, у = -2.

Далее делаем перенос начала координат в эту точку: 0 х=!+6, у=-2+и. В результате приходим к уравнению: 49 Ц+О и( 6 — 20 Поскольку корни уравнения 1 — Л -2 гсы 2 1Л=О имеют вид: Льз = 1 х 21, то утверждаем, что особая точка — фокус. Положив в системе 6=6-29, 9=26+9 6 = 1, О = О, получим вектор скорости и(1, 0) = (1, 2). Если принять еще во внимьэгие, что для этой системы точка (О, 0) — неустойчивый фокус, то легко видеть, что при движении по спиралям от начала координат О,69 будет происходить вращение щютив хода часовой стрелки (рис. 41). Заметим, что, как в примере 639, об устойчивости фокуса ничего сказать нельзя. м гу хз — уз — 1 м Из системы 2у=О, х — у †1 2 2 находим координаты особых точек (-1, 0); (1, 0). Сделав замену х = -1 + 6, у = О, приведем данное уравнение к виду ОО 20 пч ч~ — Оз — 26 Нарялу с уравнением (1) рассматриваем "укороченное" уравнение ог) йб -6' 298 Гл.

б. Устойчивость и фазавме траеатории полученное, очевидно, путем отбрасывания нелинейных членов из уравнения (1). Поскольку действительные части корней характеристического уравнения, соответствующего последнему дифференциальному, отличны от нуля (Л,, = ф2), а также функция 2 — +» (у» О)»-» 8 — »1 = о ((б + О )у+») при б' + От 0 (е > 0), то согласно п. 2.2 особая точка уравнении (1) будет того х»е типа, что особая точка укороченного уравнения. Более того, картины расположения интегральных кривых уравнения (1) и укороченного уравнения в малой окрестности особой точки булут примерно одинаковы (точнее, чем меньше окрестность, тем больше совпадение картин). Таким образом, точка (-1, 0) — седло для исходного уравнения.

Далее, сделав замену а = 1+ с, у = гг, приходим к уравнению »»О 20 ,Ц ь»г, т + 2ь» и соответствующему ему укороченному О К б Укороченное уравнение имеет особую точку (О, 0), которая, как следует из уравнения О 2 — Л ( является дикритическим узлом. По причине, изложенной выше, точка (1, О) будет дикритическим узлом и для исходного уравнения.

М у+ г)+20*' ° у = *+ у+1 м Из системы уравнений у+ ь»1+20аз = О, х+ у+ 1 = 0 находим особые точки: (О, -!); (2, — 3). Исследуем каждую из них. С помощью замены х = б, у = -! + О данное уравнение приводим к вцлу: ! »(О 0 — 1.1. (1+ 20О»»1+ 5Г»збз + о(бз) 4б (+0 б+») Укороченное уравнение г(0 О+ 58 б+ как следует из соответствующего ему характеристического 5 1 — Л ! имеет седло (Л»,з — — 1 ~ »/5). Далее, функция 4 — — б + о(Г ) = о(г ), » = )((~+ г!', е > 0; 75 з т»»-» поэтому, согласно п. 2.2, точка (О, — ! ) является седлом и для исходного дифференциального уравнения.

Положив я = 2+ б, у = — 3 +»1, из данного уравнения аналогично предыдущему получаем: »»О Ч+ 27с+0(с ) »!( б+ 0 Составив и решив характеристическое уравнение /20 20 =О; Л»з=)~ Г 1-Л ' у 27' 27 убежзцемся в том, что (О, 0) — узел.' учитъпая еше соотношение ОКз) = о(г'~), соп»асио п, 2,2 заключаем, что точка (2, -3) является узлом и для данного диф»реренциального уравнения, м 299 у 2. Особые точки 644. х = 1п(2 — уз), у м е' — е". ~ Сначала находим действительные решения системы уравнений 1п(2 — у') = О и е* — е" = О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее