Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 66

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 66 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 662013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

о Аналогично, Ряс. 48 у х д(х) < 2 ~1 пмх — й =— у о<тяп И+у 2 о и т, д. На и-ом шаге получаем неравенспю д(х) < — „. Следовательно, у(х) ( 0 — противоречие. Учитывая все замечания, строим картину интегральных кривых в третьем приближении (рис. 48), м 650. у' = з м Аналогично предыдущим примерам из неравенств Ряс.

4Ф ху у х находим области монотонного возрастания и убывания интегральных кривых, а затем строим грубую картину повеления нх на плоскости Оху (рис. 49). Далее, из выражения юи второй производной д(д' -2х") д (д- ')' видим, что на графиках функций у = хзг'2х интегральные кривые меняют направление выпуклости. Области знакопостоянства второй производной изображены на рис.

Я. Проследим за интегральной кривой, цлущей из области х<0 Л у>0 Лу<х. 304 Гл. б. Устойчивость и фвзовые траектории Поскольку в этой области у' > 0 и у" > О, то ордината кривой растет при увеличении х, а выпуклость кривой направлена вниз (рис. 51). Ясно, что !нп у =+ос, с сс-0 а Ряс. 53 (ах + Ьу) г(х + (тх + Ьу) г(у = 0 не является уравнением в полных дифференциалах; 2) особая точка (О, 0) этого уравнения — седло, то оно имеет непрерывный в окрестности начала координат интегрирующий множитель. м Интегрируюпгий множитель (с = (г(х, у), удовлетворяющий в данном случае уравнению др др (пгх+ пу) — — (ах+ Ьу) — = р(Ь вЂ” т), дх ду будем искать в виде р = сг(ы), где ы = ах+ )уу, а, )5 — постоянные, поллежашие определению.

Подставив значение (с в (1), получим (г (ы)((та — о!У)х + (па — Ь!5) у) = (Ь вЂ” т)(с(сг). (2) Йп у = — со, с сс+С поэтому кривая пойдет вверх и левее точки х = хс. В точке М перегиба нет, однако, как следует из рис. 5 1, кривая поменяет направление выпуклости. Далее, в точке гсс она должна иметь перегиб, поскольку зта Рсс. 51 точка лежит на кривой перегибов интегральных кривых у = тг2х . На- г конец, поменяв еще раз направление выпуклости, интегральная кривая в силу отрицательности производной уйдет налево вверх (к +со). Теперь проследим за интегральной кривой, выходящей из точки г (О, у) и идущей в сторону * < О. Поскольку у' < 0 при у > х, то ордината кривой будет возрастать (рис.

52). Однако, в силу того, по парабола у = Тх является решением данного дифференциальною урав- 3 г пения, наблюдаемая нами интегральная кривая не может ее пересечь, а значит, и уйти из области у > эх . 3 Х Следовательно, пространство межау параболами — г у=.2 и у=- 2 у будет заполнено гиперболообразными кривыми, одна из ко( торых рассмотрена выше.

Парабола же у = ч х служит раз- 3 г делителем указанных кривых. Далее, поскольку при фиксированном у < хг будет ху !пп =О, г ! Х то все интегральные кривые в области у < х приближаются к оси Ох и ее не пересекают (в силу того, гго у = 0 есть решение и при у = * выполншотся условия теоремы о един- г ! ственности интегральной кривой). При у < -чг2х' все ин! тегральные кривые выпуклы вниз, поэтому попасть в точку (О, 0) не могут. Таким образом, в начало координат заходит только две интегральные кривые: Рсс.

53 у=О и у= хг. 7 Итак, принимая во внимание проведенное исследование, строим окончательную картину интегральных кривых (рис. 53), м 651. Доказать, что если !) уравнение 305 Положим (гаа — а)3)х+ (иа — ЬВ)у = Л(ах+ )уу), где Л вЂ” некоторая постоянная. Тогда из последнего тождества найдем: (ги — Л)а — ар = 0 иа -(Ь4Л)13 = О.

1 (3) Поскольку а ф 0 л Д Ф О, то в силу однородности системы (3) приходим к условию: пь — Л -а ! / = 0 ~ Л, з = — ~т — Ь х (га — Ь) — 4(аи — Ьги)) . и — Ь вЂ” Л 2 ~, Далее, так как особая точка (О, 0) — седла, то корни Ли Лз действительные. Следовательно, числа а, 1) также действительны, н мы имеем, вообще говоря, два интегрирующих множителя, получающихся путем интегрирования уравнения (2): ь- р~ = С,)в,! ц, рз — — Сз!ыз! "2, (4) где ы, = а,я+ фу, и, = азх+ 1)зу, С„Сз — постоянные интегрирования.

Заметим, что так как Ь Ф ги (это следует из условия 1) теоремы), то множители (4) отличны от постоянных. Поскольку Л,Лз < О, то независимо от знака Ь вЂ” ги один из показателей в (4) является положительным. Последнее означает, что один из множителей непрерывен. м $ 3. Фазовая плоскость 3.1. Основные понятия.

Система дифференциальных уравнений йхг йг — = уг(х„хн ..., х„), ь = 1, и, в которую переменная Г (время) явно не входит, а функции у, непрерывно дифференцируемы в некоторой области, называется авгвааамиай. Каждому решению хг — — р,(1), ь = 1, и системы (1) поставим в соответствие движение точки в и-мерном пространстве (х„х„..., х„). Кривая, описываемая точкой в процессе движения, называется юравхюаривй. Таким образом, х; = р;(1), 1 = 1, и суть параметрические уравнения этой траектории. Пространство размерности и, в котором решения системы (1) изображаются в виде траекторий, называется фазовых прастраастваи. В частности, если и = 2, то фазовое пространство называется фазавай плоскостью. Вектор у = (~и Уп..., у„) называется фазавай скарасюью.

Положения равновесия автономной системы находятся из условия У = О, т.е. как решения системы конечных уравнений: Д(хи хз, ...,х„) = О, 1 = 1, и. 3.2. Построение фазового портрета. Для того, чтобы начертить на фазовой плоскости картину траекторий автономной системы х= У(х, у), у=д(х, у), (2) нужно, во-первых, исследовать особые точки этой системы, а во-вторых, с помощью производных ую у~~г изучить поведение интегральных кривых уравнения йу д(х, у) йх у(х, у) (заметим, что иногда решения этого уравнения находятся в замкнутом вице).

В том случае, когда требуется построить траектории уравнения У = д(х, х), нужно ввести переменную у = х и от этого уравнения перейти к системе х= у, у=д(х, у), которая юишется частным слу шем системы (2). 306 Гл. 6. Уетойчивоегь и фвэовме траектории 3.4. Признаки отсутствия предельиык циклов. Признак бендиксана.

Если правые части уравнений(2) имеют непрерывные частные првизводныв первою порядка в односвнэнай области Р и выражение д/ дд — +— (3) дх дд нигде нг меняет знак и нв равно тоэкдгстввиному нута„тв в области Р нет предельных циклов. Признак Пуанкаре. Пусть о(х, 9) = С вЂ” семейства гладких замкнутых кривых, покрывающих плоскость Охд. Тогда всви выражение дв до 1+ 9 дх дд в некоторой области Р сохраняет постоянный знак, то в нгй нгт предельных циклов. Односвязная область Р на плоскости Оху не содержит предельных циклов„если в этой области нет особых точек системы (2).

(4) 3.5. Призяаки наличия пределъвык циклов. Теорема Левинсона — Смажи. Пусть в дифференциальном уравнении х+ ху(х) + 9(х) = О, (5) функции Г' и д непрерывны при есвх х и обеспечивают единственное решение задачи Коши, непрерывно зависящее от начальных условий. Пусть, кроме того, выполняются следующие условия: 1) хд(х)>0 дчн хФО; 2) Т, д — дифференцируемые функции; 3) Г (х) < 0 на ( — х„хг), где хг, хг полахситвльны, Г (х) > 0 двя всех остальных значений х, причем Р(ос) = со, гдв Р(х) = ~Г (в) двг е 4) О(~со) = оо; 5) 6( хг) = 6(хг), где О(х) = /9(в) йв. о Тогда уравнение (5) имеет едшгственный устойчивый предельный цикл на фаювой плоскости (х, х). Теорема Рейссига.

Рассмотрии уравнение х+ ((х) + д(х) = О, (6) где у, д — непрерывные функции, у(0) = О, хд(х) > 0 при х ф О. Пусть функции У, д дгя всех их аргументов непрерывны и обеспечивают существование единственного решения уравнения (6), удовлетворяющего заданным пачавъным усвовиям и непрерывно зависящею от этих условий. Пусть, кроме 3.3.

Предельиые циклы, Предельным циклом системы (1) называется замкнутая изолированная траектория этой системы, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, по которым фазовая точка неограниченно приближается к этой замкнутой кривой при ( -+ +ос или при à — -оо. Если траектории системы (1) приближаются к предельному циклу только при б — +ос, то последний называется устойчивым. Если же траектории системы (!) приближаются к предельному циклу только при ( — оо, то он называется неустойчивым. В случае и = 2 (фазанья плоскость) рассматривают так называемые полуустойчивые предельные циклы.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее