Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1.3), пулевое решение устойчиво, ° 609. х! — — х! — Хг — х!х'„хг — — 2Х, — хг — х,. з м Проверим, что днфференцируемая функция е = е(х„х,) = х, — х,х, + 2хг удовлетворяет г ! г условиям второй теоремы Ляпунова (п.!.3). Действительно, е(х„хг) > 0 при х', + х, Ф 0 (2е = = (х, — хг) + хз > 0) и е(0, 0) = 0; 4(С . 22 2 2! — = (2Х! — хг)х! + (хг — х !)х2 — — -х2 ~(ХЗ вЂ” х2) + х1) (~ О. З(! Таким образом, нулевое решение устойчиво. М 610. й, =-ипх„х, =х,.
и В данном случае можно подобрать функцию Ляпунова в виде: ! е(х„х,) = — х, + 1 — созх,. 2 Очевидно, в некоторой малой окрестности точки (О, 0), исключая саму зту точку, будет е(х„х,) > > О. Далее, полная производная 2Г в силу данной системы имеет внд: зго = ХЗХЗ + 51ПХ2 Хг = Х1( — 51П»2) + г! 5!ПХЗ = О. зй Следовательно, нулевое решение устойчиво. и 611 х! = /!(Х1) /2(хг), хг =/з(ХЗ) — /4(хг), где зап/з(») = Збп», з'= 1, 2, 3,4. м Возьмем функцию Ляпунова е в виде 42 Е(Х1 »2) / /3(»)1!»+ / /2(»)1!»' о о Очевидно, е(О, О) = О. Далее, в силу условия збп/,(») = орп», инте!ралы 4! *2 /з(») 4(»з / /2(») з(» о о положительны при х, ~ 0 у хг ~ 0 соотве!огненно (считаем, что функции /, непрерывны).
Наконец, полная производная аге = /З(ХЗ)ХЗ+ /2(Х1)Х1 /З(Х1)(/1(ХЗ) + /2(Х2)) + /2(хз)!/З(ХЗ) /4(Х2)) зй = — (/з(хз)/1(х!) + /2(хз)/4(хз)) < О (произведение функций, имеющих один и тот же знак, неотрицательно). Следовательно, нулевое решение устойчиво.
м 3 3 612, х, =х, — х„йз =х, +хг. м Функция н = е(хп х,) = х, + хг удовлетворяет условиям: г а) е(хз, хз) > 0 в области У: хг+хз ~ О. На границе области 12 (в точке (О, 0)) «(О, 0) = О. б) ~д =2Х!х!+2хгйг =2Х!(Хз!-хг)+2хг(х!+хгз) =2(хо!+хо) >0 при (ХЗ, хз) Е У.
Следовательно, согласно теореме Четаева (см. п. 1.3) нулевое решение неустойчиво (заметим„что в качестве функции го = зи(х) здесь можно взять выражение зи = 2(хо! + хо) ), м з г з 613. й, = х!хг — х', + хг, хг = а ! — Хг, м В качестве функции ляпунова возьмем функцию е(ХЗ, хг) = х!хз в области У: х!>О д 0<хг<1. 287 В задачах 616 — 623 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь условиями отрицательности действительных частей всех корней многочлена с действительными коэффициентами.
616. хит+ 2'х +4х+ Зх + 2х = О. М Для исследования устойчивости нулевого решении военояьзусмся КРитерием Рауса — Гурвица. Матрица Гурвица в данном случае имеет вид: Поскольку ее главные миноры 2 ! 0 2 1 0 0 Ьз= 3 4 2 =-7>0, Ь4= 0 2 3 4 =14>0, 3 4 2 1 023 0002 Аз=аз=2>0, 752 / 3 4 ~ 5>0 2 ! то, согласно указанному критерию, действительные части всех корней характеристического многочлена Ла+ 2Л' + 4Л + ЗЛ + 2 отрицателызы.
Следовательно, нулевое решение асимптотически устойчиво, ° 617. х" + 2х'"+ 5хм+ бха+ 5х'+ 2х = О, ч Как н в предыдушем примере, применим критерий Рауса — Гурвица, Матрица Гурвица 2 1 0 О 0 б 5 2 1 0 2 5 б 5 2 0 0 2 5 6 0 0 0 0 2 Очевидно, е(О,хг) = е(хп О) = 0 и точка покоя (О, 0) принадлежит границе области )г. Палее, е > О в области !' (при всех 1).Полная производная 2 2 4 — = х,(1 — х,)(х, + хг) + х, = ю(х„хг) > 0 в )г. Ж Следовательно, по теореме Четаева, нулевое решение неустойчиво. ~ з з 614. х, = -х, - х,х„*', = х, - х,, м Рассмотрим функцию е = е(хг, хг) = хг г— хг в области !'г хг < 1 л хг > (хг). на части границы этой области (при )Щ < гз = 1) е = О, причем точка (О, 0) згрнгзадлежит границе )г.
Палее, в )г функция е = е(х„х,) > О. Полная производная в силу системы 2 4 — = 2(хз+ хг+(1 — х~)х хг) > 0 в И гй Таким образом, поскольку все условия теоремы Чеиева здесь выполнены, то нулевое решение данной системы неустойчиво. > 615. При каких значениях а система уравнений х, = х, + ахз — х„хг = -х, — хг имеет 5 ° С усгОЙчнвузо точк! покоя аз — 0 хз О . м Отбросив нелинейные члены в правых частях уравнений, применим теорему Ляпунова об исследовании на устойчиыкть по первому приближению.
Характеристическое уравнение Л г о Г' — аЛ+ 1 = О линейной системы х! --- хз + ахн хг — — — хз имеет корни Льг = Т х (( 4 — 1. Отсюда следует, ч:.ю ВеЛ < О, если а < О. При этом, согласно теореме Ляпунова, ззулевое решение устойчиво асимптотически. Гели же а > О, то по указанной теореме решение х~ —— О, хг = 0 будет неустойчиво.
Наконец, прн а = 0 об устойчивости ничего сказать нельзя, если пользоваться только этой теоремой. Итак, пусть а = О. Возьмем функцию е = е(х„х,) = х', + хг в области )г: х', + х, '54 О. Поскольку е(хн хг) > О в !', е(0, 0) = 0 и ~~ — — -х4 — х, '< -)3 < 0 вне некоторой окрестности начала координат, то, согласно второй теореме Ляпунова (п. 1.3), нулевое решение асимптотичес- ки устойчиво. Таким образом, при а < О тривиальное решение асимптотически устойчиво, а при а > 0 оно будет неустойчивым, м Гл.
6. Устой'швасть и фазовме траектории 288 имеет главные миноры 2 1 0 зЛз — — 2>0, Ьз=~б 5(=4>0, Ьз= 6 5 2 =8>0, 2 5 6 2 1 0 0 6 5 2 1 2 5 6 5 0 0 2 5 =1б>0, г1гз— - 2зЛз=32>0. Поэтому согласно критерию действительные части всех корней многочлена Л + 2Л + 5Л +6Л + + 5Л+ 2 отрицательны. Значит, нулевое решение асимптотически устойчиво.
М 618. х + 4хзт+ 1бхм+ 25х" +!Зх'+9х = О. л Применяем критерий Льенара — Шипара. Поскольку нужные нам главные дишональные миноры матрицы Гурвица 4 1 0 0 0 25 16 4 1 0 9 13 25 16 4 0 0 9 13 25 0 О 0 О 9 все положительны: 4 1 0 О 4 ! 25 !б 4 ! ззз = ~ 25 Гб ~ х 39 > О~ ззз — — 9 ГЗ 25 !б —— 5210 > О, 0 0 9 13 и, кроме того, все коэффициенты характеристического уравнения Л + 4Л +!6Л + 25Л'+ 13Л+ 9 = 0 м Матрица Гурвица имеет положительные главные диагональные миноры 2 1 0 гЛз=2>0, гЛз= 5 6 2 =11>0.
0 6 5 Поскольку, кроме того, все коэффициенты характеристического уравнения Л +2Л +6Л +5Л+б= 0 положительны, то по критерию Льенара — Шипара действительные части всех корней этого уравнения отрицательны. Таким образом, мы имеем асимпготическую устойчивосп. ° . 15 б20. х + хм+ 4хм+ Зх" + — х'+2х = О. 4 м Для исследования на устойчивостыкюпользуемся критерием Михайлова. В данном случае корни многочленов рЯ = 2 — 36+6, 902! = 9 — 49+— !5 4 имеют вид; бзд — — 1, 2; дз з =, 2. Следовательно, 0 ( бз < гд < бз ( Чз.
Как видим, здесь 3 5 выполнены условия критерия Йихайлова !см. п. !.4), поэтому нулевое решение асимптотически устойчиво. М положительны, то согласно указанному критерию действительные части всех корней отрицательны. Сззедовательно, нулевое решение асимптотически устойчиво. м б19.
хм + 2х"' + бх" + 5х' + бх = О. 289 $1. Устайчвиос~ь 621. х"'+ х" + х'+ 2х = О. М Испытаем здесь уже рассмотренные критерии. Так как аа = 1, а, = 1, а, = 1, аз = 2, то главные диагональные миноры матрицы Гурвица 2(|=1>0, Ьз — — ~ 2 1 ~=-1<0, !уз= 2 1 1 =-2<0. 0 0 2 Следовательно, по критерию Рауса — Гурвица, нс все действительные части корней уравнения 7(Л) = Л' 4 Л + Л+ 2 = 0 отрицательны. Значит, асимптотической устойчивости нулевого решения нет. Далее, поскольку корни многочленов р(0=2 — (, 9(О)=1 — О не удовлетворяют неравенству 0 < 6 < Оп то по критерию Михайлова можем утверждать, что не все корни уравнения 7(Л) = 0 имеют отрицательные действительные гасти.
Предположим теперь, что хотя бы один из корней уравнения У(Л) = О чисто мнимый. Тогда, очевидно, оба уравнения 2 — ы = 0 и м(! -ы') = О должны иметь общие действительные корни. 1 Однако, поскольку общих корней нет, то мы пришли к противоречию. Таким образом, уравнение Г(Л) = 0 обяза~ельно имеет корень с положительной действительной частью. Последнее означает, что нулевое решение неустойчиво. ° 622. х'"+ 2х"'+ Зля+ 7х'+ 2х = О. м Состашия и вычло(ия первые главные диагональные миноры матрицы Гурвица 2 ! 2(! — — 2, 11~ —— ~ 7 З вЂ” — — 1, замечаем, что не все корни уравнения Г(Л) = Л + 2Л + ЗЛ + 7Л+ 2 = 0 24 ж у'206 сьз 5 ю 1 9; 5,7; Оьт — — 4; 11, удовлетворяют неравенствам: 0 < (, < гй < бз < гд.
Следовательно, нулевое решение асимптоти- чески устойчиво. М В следующих примерах (624 — 628) выяснить, при каких значениях параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 624. ха+ Зх" + ах'+ Ьх = О. м Составив матрицу Гурвица видим, что все ее главные диагональные миноры положительны, если За — Ь > 0 и ЦЗа — Ь) > О. Следовательно, если За > Ь > О, то нулевое решение асимптотически устойчиво. ~ имеют отрицательные действительные части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
