Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Именно, предельный цикл на фаэовой плоскости называется погуустэйчивым, если траектории системы (2) с одной стороны приближаются к нему при ( - +со, а с другой — при 1 — -со. Следовательно, возможны полуустойчивые циклы двух типов. Теорема. Пусть К вЂ” предельный цикл система (2), правая часть которой непрерывна вместе со своими частными производнььяи по х и по у. Тогда всв внутренние травюнарии, начинающиеся вблизи К, наматываются на него, как спиравц либо при Г +со, либо при à — ос.
Высказанное утагрждение справедливо и сля внешних относительно предельного цикла траекторий. 302 в 3. Фазоаая нлвскветь 1) УЗ(У) < 0 пРи (У( < Ог, гй > 0; 2) 1(у)ндпу > в > 0 пуи (У( > Ог > г),; 3) гпах Т'(у) = М > 0; ь!ят 4) у(х) звп х > М -1- е при (х( > д > О. Тогда на фазовой плоскости система *=У У= У(х) Т(У) сущесгпвует по меньшей мере один устойчивый предельный ишт.
В задачах 652 — ббб для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. 652. х — х+ х' = о. м Полагая х = у, переходим к системе у =х — х, х=у, из которой почленным делением ее уравнений получаем ду х — х з дх (ч) нли (при у ~ 0) уду = (х — х ) дх. Обцгий иггтеграл уравнения (*) имеет вид: 3(у хз)+2х С Поскольку при замене у на -у интегральные кривые вида своих уравнений не меняют, то все они симметричны относительно оси Ох. Давая параметру С конкретные значения и используя обычные средсгна математического анализа, строим картину траекторий на фазовой плоскости (рис.
54). Заметим, что кривым, охватывающим точку (1, О), соответствугот значения С, уловлетворяющие неравенству — 1 < С < О. Далее, уравценне (*) имеет две особые точки: (О, 0) и (1, 0), Отбрасывая х' а указанном уравнении, получаем укороченное уравнение ду и с(х у — Л 1 1 Поскольку его характеристическое уравнение ~ ! Л ~ = Л вЂ” 1 = 0 имеет корни с отличными от нуля действитедьными частями, то со~ласно и. 2.2, особая точка (О, 0), являющаяся седлом для укороченного уравнения, будет седлолг и для уравнения (*).
Д.и исследования особой точки (1, 0), как обычно, сначала перенесем начюю системы координат в зту точку: х = 1 4 д, и = О. Отбрасывая в полученном уравнении нелинейные члены, приходим к укороченному уравнению до дб 0' лля которого особая точка (О, 0) являезся центром. Таким образом, точка (1, 0) для исходной системы может быть фокусом или центром. В силу симметрии интегральных кривых относительно оси Ох (см. п.2.2), точка (1, 0) — центр. М 653. х х+2хз=о. ° Переходя к системе Оху, положив х = у, получаем 3 а=у, у= -2х.
Отсюда почленным делением уравнений, а затем интегрированием находим Рис. 55 семейство траекторий на фазовой плоскости: у'+ х = С. Каждая траектория представляет собой леформированную окружность (рис. 55). Очевидно, точка (О, 0) — центр, м ЗО8 Гл. б. Устойчивость и 4сазовые траепории 654. й+2хз — 2х = О.
И Полагая х = у, приходим к уравнению г(у 2(х хз) с(х общее решение которого имеет вид: г = сс'сгг -*'г. Рвс. 57 Ряс. 5Ь Поскольку траектории симметричны относительно обеих координатных осей, то далее считаем х > О, у > О. Если в (1) положим х = у = О, то получим С = О. Следовательно, кривая =г гг- г проходит через начало координат (рис. 56).
При С > 0 все траектории проходят выше этой кривой (рис. 57); причем в точке х = 0 производная у' = О, а при у = 0 она не ограничена (точнее, у' — -оо при у +0). Далее, при С < 0 из неравенства х(2-х»-С г г следует, что Ряс. 59 с С ~ +~~ гс г -с. Значит, при уменьшении С область существования семейства траекторий сужается и при С = — 1 траектории вырождаются в точку (1, 0) (рис, 58). Наконец, зеркально отобразив кривые, изображенные на рис. 58, относительно оси Ох, а затем полученную картину — относительно оси Оу, будем иметь полную картину траекторий (рис. 59).
Очевидно, точки (1, 0) и (-1, 0) — центры, а точка (О, 0) — селло. и 655. х — 2*+ х + 1 = О. и Перейдя на фазовую плоскость, имеем г(у 2с — х — 1 х=у, у=2* — х — 1 (1) с(х у Интегрируя уравнение (1), получаем семейство траекторий: 2*ы у = — — х' — 2х+С. 1п2 (2) Далее, используя обычные методы математического анализа, строим картину интегральных кривых (2) (рис. бО). Отметим, что кривой, проходящей через точку (1, 0), соответствует значение ф С = 3 — —. 1п2 309 Замкнутым кривым, охватывающим начало координат, соответствуют значения С, определяемые неравенством 2 4 — — < С < 3 — —. 1п2 1п2 » "зо )»(о Зл 7л з з' 0 з Т 7л За Рлс.
Ог Значения С для остальных кривых указаны на рис. 60. и 3 Рас. Оз 656. х+ 2созх — 1 = О. М Из системы х = у, у = 1 — 2 соз х получаем Цу 1 — 2созх з уз = 2х — 4йпх+ С. с(х у р(х) = 2х — 4з(пх (рис. 62), а затем картину семейства ОЗ(х) = 2х — 4мпа+ С путем параллельного переноса графика функции р (рис.63). Теперь построим семейство кривых (5»(х) = 2х — 4з(па+ С > 0 (рис. 64). Далее строим семейство кривых у = ~)/ф»(х) (рис. 65) (точнее, на рис.
65 изобралсена только часть зтопз семейства в окрестности двух особых точек ( — $, 0) и (О, ~т) — центра и седла соответственно). Для получения всей картины семейства траекторий на фазовой плоскости Оху следует картину, изображенную на рис. 65, периодически (с периодом 2»г) продолжить как влево, так и вправо относительно ее первоначального положения. Тогда получим следующую картину (рис. 66). 1ь Решив конечную систему у = О, 1 — 2созх = О, находим особые точки: М» Я+2йа.,О), л» (-~у+ 2йзг, О), где (с б х.
далее, нетрудно установить, что 1»х» — седла, а 117» — центры (рис. 61). Для построения картины семейства (1) сначала строим кривую Гл. 6. Устейчнвесп и фазовые траектории 657. х + 2х+ 5х = О. м Сделав замену х = у, приходим к линейной системе х=у, у=-2у — 5х с особой точкой (О, О). Поскольку корни характеристического уравнения этой системы равны -1З:26 то особая точка — устойчивый фокус. Положив в системе х = 1, у = О, находим вектор фазовой скорости е = (О; — 5), с помощью которого мы, учитывая устойчивость фокуса, устанавливаем направление закручивания траекторий на фазовой плоскости (рис.67).
и 658. й+*+2х- '=О. м Полагая в данном уравнении х = у, получаем систему дифференциальных уравнений: 2 в=у, у=в — 2х — у, из которой следует, по точки (О, 0), (2, 0) — особые. Обычное исследование их показывает, по точка (О, 0) — устойчивый фокус, а точка (2, 0) — седло, причем прямые у2 = х — 2, уг = -2х+ 4 Ряс.
42 являются касательными к интегральным кривым, входящим в него (рис,бе). Далее, судя по знаку производной х — 2х — у 2 у = у устанавливаем грубую картину интегральных кривых (рис. 69). Заметим, что на параболе у= а — 2х интегральные кривые достигают экстремальных значений; ось Ох они пересекают под прямым углом, а ось Оу — под углом 45'. Используя эти данные, строим картину интеграяьных кривых (рис.70). и 659. х + хз — х + 1 = О.
м Из уравнения * — у — 1 = О 2 2 2 2 Ну х — у — 1 Рве. бв у (е) находим области возрастания и убывания интегральных кривых на фазовой плоскости Оху (рис.71). Кривые 311 $3.Фазоваа плоскость служат касательными к интегральным кривым, входящим в него. Р .го Особые точки показаны на рис. 72. Таким образом, исходя из сказанного н рисунков 71, 72, строим фазовый портрет (рис. 73). )ь Рас. 71 Ряс.
72 Ра . тЗ 660. х+5х — 41п = О. х +1 2 < Исключив параметр ! из системы дифференциальных уравнений х +1 *=У~ у=4)п 5у 2 придем к уравнению г(у 4!и — * — 2+ — — 5у (1) г!х у с особыми точками: (-1, 0) н (1, 0). Решая неравенства 4 1п — *+- — 5р сО, у устанавливаем области монотонности интегральных кривых уравнения (1) на фазовой плоскости (рис. 74).
Кривую Рас. 74 4 х+1 5 2 интегральные кривые пересекают под нулевым углом, а кривую у = 0 — под прямым. Теперь исследуем особые точки. пересекаются интегральными кривыми под нулевым, а ось Ох — под прямым углом. Далее, известным способом находим две особые точки: ( — 1, 0), (О, 1). Поскольку корни характеристического уравнения, соответствующего укороченной линейной системе Р'=О, й=-24, у мнимы, то особая точка (-1, 0) мотает быть для системы г х=у, у=х — у — 1 либо фокусом, либо центром.
Принимая во внимание то, что прн замене у на -у уравнение (4) вида не меняет, Убеждаемся, что х рассматриваемая особая точка является центром для указанной системы. Точка (1, 0) является седлом, а прямые дг — — ьг2(х — 1)г уг = -ггг2(х — 1) Гл. б. Устойчивость и базовые траеаторви 2!г Полагая в системе (е) х = 1+1, у = 0 и отбрасывая нелинейные члены, получаем укороченную систему: ь=б, 6=4ч — 50. Поскольку корни характеристического уравнения -5 х т/41 Л, 7 — (Л, ге 0,70; Лг м -5,7), то особая точка (1, 0) — седло. Прямые у = Л,(х — 1), у = Л,(х — 1) тис 75 являются касательными к интегральным кривым, входящим в эту точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
