Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Однако колебания от различных щелей являготая когерентиыми; поэтому для нахождения результирующей интенсивности нужно найти фазовые соотношения между этими колебаниями. Разобьем открываемую щелями часть волновой поверхности на очень узкие параллельные щелям зоны. Вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р. экрана Ь-й' зоной; обозначим ЬАе Тогда вектор амплитуды результирующего колебания можно представить следу1ощим образом: А = ~~.", ЛА,= ~~'.'„ЛА;+ Х ЬА~+ ... + ~~~ ЛАг= пп всем пе ьп пе и и..
пе В-и щелям щелп щеля щели А+А+ ... +Аю где А; — вентер амплитуды колебания, создаваемого в точке Р 1-й щелью. Ь4одулм всех этих векторов одинаковы и зависят ов угла гг 1ем. формулу (24.1)1. Каждый следующий вектор повернут спгносительно предыдущего на один и тот же угол, равный разности фаз Ь колебаний, возбуждаемых соседними щелями.
Для направлений, удовлетворяющих условию: Ьз(пф= ч- М (й=1, 2, 3, ...), (25.1) все А; равны нулю 1см. формулу (24.2)). Поэтому и амплитуда результирующего колебании в соответствующей точке экрана будет равна нулю. Таким образом, условие (25Л) минимума для одной щели является также условием минимума для решетки. 135 Из рис. 87 видно, что разность хода лучей от соседних щелей равна й = д з(п ~р. Следовательно, разность фаз Ь 2я 6 = 2п — = — Ы з1п (р, л л где Л вЂ” длина волны в данной среде. Для тех направлений. для которых Ь = ч-2пгп, т. е.
дз(п~р= -~- лтЛ (т=О, 1, 2, ...), (25.2) колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна А,„)т'Ач, (25.3) где Ач — амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом ~р. Формула (25.2) определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число т дает так называемый порядок главного максимума.
Максимум нулевого порядка только один, максимумов первого, второго и т. д. порядков бывает по два. Возведя (25.3) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов У~х пропорциональна интенсивности (е, создаваемой в направлении ~р одной щелью: 7 = ~'т7. (25А) Кроме минимумов, определяемых условием (25.1), в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (Ж вЂ” 1)-му дббавочнору минимуму. Эти минимумы возникают в тех напрайлениях, для которых колебания от отдельных щелей вааимно погашают друг друга.
Направления добавочных Минимумов определяются условием: а' г1з!п~р= ~- — ~ Ж (25.5) (й'= 1, 2,..., И вЂ” 1, У+ 1, ..., 2Л/ — 1, 2%+ 1,... ) [й' принимает все целочисленные значения, кроме О, У, 2У, ..., т. е. кроме тех, при которых условие (25.5) переходит в (25.2)). Докажем справедливость этого условия на примерах 1У = 5 (й( нечетное) и У = 8 (1У четное). Если )У = 5, !36 определяемая (25.5) разность фаз для соседних щелей равна б= — А т / 8 (А'= 1, 2, 3, 4, 6, 7,...). На рис. 88 показано взаимное расположение векторов амплитуды колебаний от всех пяти щелей, получающееся прн различных А' (начала векторов совмещены Аа А„ Аа ар Я, А, Аа А'= ~771...
Аа Л'=и А'Д- Аа АьФУ,УА... Рас. 88. в одной точке). Очевидно, что во всех изображенных на рисунке случаях сумма векторов равна нулю (если начало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, они образуют замкнутую фигуру — пяти- угольник). Векторная диаграмма для Ф = 6 приведена а д а (~"'~л, д, а, а, д,а, ар д1 а, а, «атхц... «-гам..., аьухт... азама... а'-Апгв- Ряс 89.
~зг на рис. 89. Сумма векторов в этом случае, как легко видеть, также равна нулю. Аналогичный результат получается при любом числе щелей И. Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно Ф вЂ” 2. Соответствующий расчет дает, что интенсивность вторичных максимумов не превышает '/м интенсивности ближайшего главного максимумаа. Таким образом, дифракционная картина, получающаяся от решетки, имеет вид, показанный на рис. 90 (рисунок выполнен для /У = 4 и д/Ь = 3).
Пунктирная кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на Жз тем. формулу (25.4)). При взятом на рисунке отошении периода решетки к ширине щели (Ы/Ь = 3) главые максимумы З-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие / а/ а~ ад ~т ~Ь(~и/э Ы ~($ (" э/ Рис 90. Найдем угловую ширину центрального (нулевого) максимума.
Положение примыкающих к нему дополни!за чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (25.!] и (25.2) вытекает, что главный максимум т-го порядка придется на й-й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство: гл/0 = й/Ь, или тл/А = = ц/Ь. Это возможно, если с(/Ь равно отношению двух целых чисел г и з (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный максимум г-го порядка наложится на з-й минимум от одной щели, максимум 2г-го порядка — на 2з-й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков г, 2г, Зг н т. д.
будут отсутствовать. Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки д к длине волны Х. Модуль яп ~у ие может превысить единицу. Поэтому из (25.2) вытекает, что ш ~~ —. А ' тельных минимумов определяется условием |см. (25.5)): с(з|пф = -~Ц|у (рис. 90). Следовательно, этим минимумам соответствуют значения ф = -~агсз|п(й//Уг(), откуда угловая ширина максимума Х 2Х йр~ = 2 агсз|п — =— |И ИЫ (25.7) (при больших Ф величина Ц/Уд значительно меньшеединнцы). Положение дополнительных минимумов, примыкающих к главному максимуму гп-го порядка, определяется условием: д з|п <р = (т -ь 1/|У)Х.
Отсюда для угловой ширины т-го максимума получается выражение: Ьр, = агсып ( гп + — / — — агсз|п | пг — — / †. (25.8) ч/л ~ и/ л' Обозначив тЦН = к, а Ц|Уд = Лх, формулу (25.8) можно записать следующим образом: Ьр = агсз|п (х+ Лх) — агсз|п (х — Лх). (25.9) При большом числе щелей Ьх = Х/Жд будет очень мало. Поэтому можно положить агсз|п (х +. /ъх) = = агсз|п х -~- (агсз|п х)'Лх.
Подстановка этих значений в формулу (25.9) дает для ЬЧ~ приближенное значение: Ьр 2Ь Ш4'Л*- — —. (25.10) г! — и $ ~ — '(ю~) и При т = 0 эта формула переходит в (25.7). Произведение /УИ дает длину дифракционной решетки. Следовательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна длине решетки. С увеличением порядка максимума и 6Ч~ возрастает. Положение главных максимумов зависит от длины волны Х.
Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракцнонной картины, красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. Заметим, что в то время как стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.
На рис. 91 показаны 139 схематически спектры разных порядков, даваемые решеткой при пропускании через нее белого света. В центре лежит узкий максимум нулевого порядка; у него окрашены только края (Ьрс зависит от ), см. формулу (25.7)1 По обе стороны от центрального максимума рас юложены два спектра 1-го порядка, затем два спектра 2-го порядка и т. д. Положения красного конца спектра рп-го Л' Ф Ю и лцз -.ф ° и ~ БГЙ~ Ф и сри тр гр «и асс Рис. в!. порядка и фиолетового конца спектра (и + 1)-го порядка определяются соотношениями: 0,7Б зш ч)кр = ш ° л ° з(п срф„„= (7п + 1) — ' О,4О где б~р — угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 57..
Чтобы найти угловую дисперсию дифракциониой решетки, продифференцируем условие (25.2) главного ио где с! нужно брать в микронах. При условии, что 0,76л7>0,40(рл+ 1), спектры т-го и (т +!)-го порядков частично перекрываютса. Из неРавенства полУчаетсЯ т ) 'с7р. СлеДовательно, частичное перекрывание начинается со спектров 2-го и 3-го порядков (см. рис. 91, на котором для наглядности спектры разных порядков смещены друг относительно друга по вертикали). Основными характеристиками любого спектрального прибора являются его дисяер си я и р аз реша ющ а я с н л а. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 1 А.
Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн 57„при которой две линии воспринимаются иа спектре раздельно. Угловой дисперсией называется величина: '7= Бх (25.11) максимума слева по Ч~, а справа по Х. Опуская знак минус, получим: дсоз~рбу=тЬЛ, откуда Ье м О= — = —. ах лсоз~р ' (25.12) В пределах небольших углов соз ~р = 1 и (25.13) Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки б.
Чем выше порядок спект- ра, тем больше дисперсия. Линейной дисперсией называют величину: ш Л лпн,р ю где Й вЂ” линейное расстояние на экране или на фотопластинке между Для дифракционпой решетки (при небольших <р) (25.14) Возможность разрешения (т. е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
