Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В случае, если, как это имеет место для света, длина волны значительно меньше размеров препятствия, дифракция выражена слабо и обнаруживается с трудом. Явление дифракции .волн может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса (см. т. 1, 5 83). Однако принцип Гюйгепса не дает никаких указаний об амплитуде, а следовательно и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн.
Учет амплитуд и фаз вторичных воли позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. С помощью усовершенствованП6 ного им принципа Френелю удалось дать удовлетворительное объяснение ряда дифракционных явлений, а также устранить одно из основных затруднений волновой теории света — показать, как согласуется волновая природа с наблюдающимся на опыте прямолинейным распространением света. Пусть 5 на рис. 58 представляет собой одну из волновых поверхностей света, распространяющегося от некоторого источника. Амплитуда светового колебания в точке Р, лежащей перед этой поверхностью, Р может быть согласно Френелю найдена из следующих соображений. Каждый элемент поверхности слу- Р гкнт источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента д5.
Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием г от источника по закону 1/г 1см. т. 1, Рис 58. формулу (78.9)). Следовательно, от каждого участка д5 волновой поверхности в точку Р. приходит колебание с(э=7( ' соз(в1 — йг+ао). (21 1) В этом выражении (ы1 + а~) — фаза колебания в месте расположения волновой поверхности 5, й — волновое число, г — расстояние от элемента поверхности И5 до точки Р.
Величина ао определяется аьшлитудой светового колебания в том месте, где находится г(5. Коэффициент пропорциональности К Френель считал убывающим при увеличении угла ~р между нормалью и к п5 и направлением от И5 к точке Р н обращающимся в нуль при ~р = я/2. Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (21.1), взятых для всей волновой поверхности 5: й= ( К(ф — 'соз(вг — яг+ ва)Ю.
(21.2) з Формулу (21.2) можно рассматривать как аналити-. ческое выражение принципа Гюйгенса — Френеля, Вычисления по формуле (21.2) представляют собой и общем случае чрезвычайно трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего ко'лебания может быть осуществлено простым алгебраи,ческим или геометрическим суммированием. Различают два случая дифракцни. Если источник света и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и .пучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифр акции Фраунгофера или о дифракции в параллельных Рис.
59. лучах. В противном случае говорят о ди фракции Ф р е н е л я. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света 3 н перед точкой наблюдения Р по линзе так, чтобы точки 5 и Р оказались в фекальной плоскости соответствующей линзы (рис. 59). й 22. Зоны Френеля Применим принцип Гюйгенса — Френеля для нахождения амплитуды светового колебания. возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника 5 (рис. 60).
Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой БР. Воспользовавшись этим, Френель разбил волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличаются на Х)2 (й — длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Легко ви- 108 деть, что расстояние Ь„от внешнего края и-й зоны до точки Р можно представить следующим образом: Ь =Ь+и —, х где Ь вЂ” расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р.
Рис. 60. Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е. от точек, лежащих у внешних краев зон, или в середине зон и т. д.), будут находиться в противофазе. Поэтому и результирующие Рис. 6!. колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на и. Для оценки амплитуд колебаний нужно найти площади зон. Внешняя граница и-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты Ь (рис.
61). Обозначим площадь этого сегмента 5 . Тогда площадь т-й зоны можно представить в виде: Ь5 =Я вЂ” Я где Я ~ — площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (т — 1)-й зоны. Из рис. 61 следует, что ге = аз — (а — Ь )т = ~Ь + т — ) — (Ь + Ь ) ЛЬз 3 ГВ 2) О3 (а — радиус волновой поверхности, г — радиус внешней границы т-й зови).
Возведя скобки в квадрат, получим г~ =2аЬ вЂ” Ь' =Ьтй+из( — ~ — 2БЬ вЂ” Ь~, (22.2) г Л 12 откуда ЬтЛ+ и'Й 2(а+ Ь) (22.3) Ограничиваясь рассмотрением не слишком больших и, можно ввиду малости Х пренебречь слагаемым, содержащим Х'. В этом приближении Ьих /и 2( +Ь) Площадь сферического сегмента равна 8 = 2яйЬ ()т — радиус сферы, Ь вЂ” высота сегмента).
Следовательно, 5 = 2яаЬ = — тЛ, яаЬ "' а+Ь а плошадь и-й зоны Френеля а+Ь Полученное нами выражение не зависит от т. Это означает, что прн не слишком больших т площади зои Френеля примерно одинаковы. Произведем оценку радиусов зон. Согласно (22.2) г' =2аЬ вЂ” Ьз. При не слишком больших т высотасегмента Ь « а, поэтому можно считать, что г' =2аЬ . Подставив сюда значение (22.4) для Ь, найдем радиус внешней границы т-й зоны Френеля; 110 / аЬ гм= ~~ — тЛ ° а+Ь (22.5) Если положить а = Ь = 1 м и Х = 0,5 мк, то для радиуса первой (центральной) зоны получается значение: г, = 0,5 ми. Радиусы последующих зон возрастают как )/т.
Выше мы нашли, что площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние Ь от зоны до точки Р медленно растет с и по линейному закону [см. (22.1)). Угол ~р между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с номером зоны ьь Все это приводит к тому, что амплитуда А,„колебания, возбуждаемого т-й зоной в точке Р„монотонно убывает с ростом гп (см.
(21.1)). Даже при очень больших щ, когда, как можно заключить из (22.3), площадь зоны начинаетзаметно расти с т, убывание множителя К(~р) перевешивает рост 65 (напомним, что К(ф) стремится к нулю при Ч~-э-и/2), так что А продолжает убывать. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р, зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность: А~>Аз>Аз> ... >А„, ~>А„>А +~> ... Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на и.
Поэтому амплитуда А результирующего светового колебания в точке Р может быть найдена алгебраически: А=А,— Аз+Аз — А4+ "° (22.6) В это выражение все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных 'зон — с другим. Запишем (22.6) в виде: А = з +( ~' — Аз+ ~')+(-2-' — А4+ з )+... (22.7) Вследствие монотонного убывания Ам можно приближенно считать, что А -~+ли+~ А При этом условии выражения, заключенные в круглые скобки, будут равны нулю и формула (22.7) упрощается следующим образом: (22.8) 111 Полученный нами результат означает, что амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной 'зоной. Иными словами, действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны.
По произведенной выше оценке центральная зона имеет размеры порядка долей миллиметра. Следовательно, свет от точки 5 к точке Р распространяется как бы в пределах очень узкого прямого канала, т. е. практически прямолинейно Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равнаАь т. е. в два раза превзойдет амплитуду (22.8). Соответственно интенсивность света в точке Р будет в этом слу'чае в четыре раза больше, чем прн отсутствии преград между точками 5 и Р.
Теперь решим задачу о распространении света от источника 5 к точке Р методом графического сложения амплитуд. Разобьем волновую поверхность на равные по площади кольцевые зоны, аналоРяс ЭЯ. гичные зонам Френеля, но гораздо мень- шие по ширине. Колебание, создаваемое в точке Р каждой такой зоной, можно изобразить в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания (см. т. 1, % 68).
Колебание, создаваемое в Р любой из таких зон, имеет приблизительно такую же амплитуду, как и колебание, создаваемое предшествующей зоной, но будет отставать от него по фазе на практически одинаковую для всех соседних зон величину. Следовательно, векторная диаграмма, получающаяся при сложении колебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид, показанный на рис. 62. Если бы величина амплитуды при переходе от зоны и зоне оставалась строго постоянной, конец последнего из изображенных на рис. 62 векторов совпал бы с началом первого вектора. В действительности величина амплитуды, хотя и очень слабо, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломаную спиралевидную линию. Если ширину кольцевых эон устре- 1!2 мить к нулю (количество их будет при этом неограниченно возрастать), векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к точке С (рнс.
63). Фазы колебания в точках О и 1 отличаются на и (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Следовательно, участок спирали Π— ! У соответствует первой зоне Френеля. Вектор, проведенный из точки О в точку ! (рнс. 64,а), изображает колебание, возбуждаемое в точке Р этой зоной. Аналогично, вектор, проведенный из точки ! в точку 2 (рис. 64, б), изображает колебание, возбу>кдаемое второй зоной Френеля. В соответствии с тем, что колебания п,с пз, от первой и второй зон находятся в противофазе, векторы О! и (2 направлены в противоположные стороны. Колебание, возбуждаемое в точке Р всей волновой поверхностью, изобразится вектором ОС (рис.
64,в). Из 7 У >2 г! а! б! в! Ряс зс рис. 64 видно, что амплитуда в этом случае равна половине амплитуды, создаваемой в Р первой зоной. Этот результат мы получили ранее алгебраическн [см. формулу (22.8)). Заметим, что колебание„возбуждаемое внутренней половиной первой зоны Френеля, изобразится вектором ОВ (рис. 64,г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
