Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Н9 Рассматривая работу Френеля, Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекает «нелепый» вывод: в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Араго тут же произвел опыт и оказалось, что такое пятно действительно есть. Это принесло победу и всеобщее признание волновой теории света. Дифракция от прямолинейного края полуплоскости.
Поместим на пути световой волны (которую мы для простоты будем считать плоской) непрозрачную полуплоскость с прямолинейным краем (рнс. 7!). Расположим гср» кгю» Ряс 71. эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. За полуплоскостью поставим на расстоянии Ь параллельный ей экран, на котором возьмем точку Р. Разобьем открытую часть волновой поверх1юстн на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, параллельных краю полуплоскости. Ширину зоп выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки Р до краев любой зоны отличались на одинаковую величину Л.
При этом условии колебания, создаваемые в точке Р соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину. Зонам, расположенным справа от точки Р, припишем номера 1, 2, 3 и т. д., расположенным слева — номера 1', 2', 3' и т. д. («штрихованные» и «нештрнхованные» зоны). Зоны с номерами т и т' имеют одинаковую шиину и расположены относительно точки Р симметрично. о»тому создаваемые ими в Р колебания совпадают по амплитуде и фазе. Для выяснения зависимости ампли- 120 туды от номера зоны т оценим площади зон. Из рис.72 видно, что ширина первой зоны равна д = )/(Ь+Л)т — Ь>= )/2ЬЛ+Л' = )72ЬЛ (вследствие узости зон Л ~ Ь).
Суммарная ширина первых т зон г(>+г(л+ ... +д,и= ЯЬ+ тЛ)л — Ь'= )'2ЬтЛ + т'Лл При не очень больших т членом т'Л' под корнем можно пренебречь. Тогда д, +а>,+ ... + г(,„= ~'2Ь!пЛ= д, У>л. Отсюда >т,„= г(, 1)' т — )7т — 1). Расчет по этой формуле дает, что г(>: г(л. '>(л: >(,: ... = 1:0,41;0,32: 0,27: ... (23.б) В таких же соотношениях находятся и площади зон. Следовательно, амплитуда колебаний, создаваемых в точке Р отдельными зонами, вначале (для первых 'зон) убывает очень быстро; затем это убывание становится медленным. ~> 4 > а.' ~>Ь Г По этой причине ломаная линия, получающаяся прн графическом ело>кении колебаний, возбуждае- 1> мых прямолинейными зонами, л> " идет сначала более полого, чем ~ е '> в в случае кольцевых зон (площади которых при аналогичном настроении примерно равны).
На рнс. 73 сопоставлены обе векторные диаграммы. В обоих слу- Рис 72. чаях отставание по фазе каждого следующего колебания взято одно и то жс. Величина амплитуды для кольцевых зои (рнс. 73,а) принята постоянной, а для прямолинейных зон (рис.
73, б) — убыва>ощей в соответствии с пропорцней (23.6). Графики на рнс. 73 являются приближенными. При точном построении графиков необходимо учитывать зависимость амплитуды от г н в> [см. (2!.1)). Однако на общем характере кривых это не отразится. 121 На рис. 73,б показаны только колебания, вызванные зонами, лежащими справа от точки Р. Зоны с номерами т и т' расположены симметрично относительно точки Р. Поэтому естественно при построении диаграммы гг ср Рас. УЗ.
векторы, изображающие соответствующие этим зонам колебания, располагать симметрично относительно начала координат О (рис. 74). Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия, изображенная иа рис. 74, превратится в плавную кривую (рис. 75), которая называется спиралью Кори ю. Уравнение спирали Корню может быть найдено теоретически. э" ~ В параметрической форме оно имеет вид: Р яио ~= „соз — йи, 2 о (23.7) яи' и= ~ з!и — йи, 2 о 5 Выражения (23,7) называются интегралами Рос. 74. Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных о. Чтобы понять смысл параметра о, сопоставим бесконечно узкую зону и возбуждаемое этой зоной в точке Р колебание дА.
Вектор с(А совпадает с участком спирали, отвечающим определенному значению параметра о. Это 122 координаты равны: 1 1 Ь= + 2 з з! = + — ддя точки РЬ ! 1 Ь= 2 ~ т! = — — для точки Рз. Правый завиток спирали (участок ОГ!) соответствует зонам, расположенным справа от точки Р, левый завиток (участок РзО) — зонам, расположенным слева от точки Р. гп гл Рис. 76. С помощью спирали Корню можно найти амплитуду светового колебания для точек, находящихся на любом расстоянии х ') от края геометрической тени (см. рис.71).
Для точки Р, лежащей на границе геометрической тени, все штриховапные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание нзобразится вектором, начало которого находится в точке О, ') Легко сообразить, что коордивата х и взятая для края полу- плоскости величива х', фигурир!чоп!ая в формуле (23.9), отличаются только аваков, 124 конец — в точке Г~ (рис. 76,а). Прн смещении точки Р в область геометрической тени полуплоскость станет закрывать все большее число нештрихованных зон.
Поэтому начало результирующего вектора будет перемещаться по правому завитку, приближаясь к полюсу Р1 (рис. 76,6) В результате амплитуда колебания в точке Р будет монотонно стремиться к нулю. Если точка Р смещается от границы геометрической тени вправо, в дополнение к нештрихованным зовам открывается все возрастающее число штрихованных зон.
Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу Рг. В результате амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен длине отрезка МР, на рис. 76,в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка ЛТ~ на рис. 76, г). При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка Рзр, (рис. 76,д), т. е. ровно в два раза превышает амплитуду на границе геометрической тени (см. рнс.
76,а). Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет '/л интенсивности (м получающейся на экране в отсутствие преград. Зависимость интенсивности света I от расстояния х дана на рис. 77. Из графика видно, что при переходе в область геометрической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени расположен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности. Максимумы получаются при значениях параметра о (для точек, совпадающих с началом результирующего 125 вектора), равных — 1,22; — 2,34; — 3,08; — 3,69 и т.
д. Положив 5 = 1 м, Х = 0,5 мк, можно, подставив в формулу (23.9) приведенные значения о, получить для координат максимумов (см. рис. 77) следующие величины: Рис. 78. х, = 0,6! мн; хз = 1,17 лм; хз = 1,54 мм; х4 = 1,85 мм;... Таким образом, максимумы располагаются довольно густо. Прн меньших расстояниях Ь' максимумы располагаются еще гуще. С помощью спирали Корню можно также найти относительную величину интенсивности в максимумах и минимумах. стлеееепеелееРхистем Для первого максимума получ ~- ; — — чается значение 1,37 Тс, для первого минимума 0,78/с.
Фотография дифракциопной картины от краи полуплоскости дана на рис. 78. Дифракция от щели. Бесконечно длинную щель образуют две обращенные в раз- Р" Р' Р ные стороны полуплоскости, Рис. 79. расстояние между краями ко- торых равно ширине щели. Поэтому ясно, что задача о дифракции Френели от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света, плоскость щели н зкран, на котором наблюдается 7(нфракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис. 79). Для точки Р, лежащей точно против середины щели, начало и конец вектора амплитуды оказываются в сим- метричных относительно начала координат точках спирали (рис.
80). Если сместиться в точку Р', лежащую против края щели, начало результирующего вектора переместится в середину спирали О. Конец вектора переместится по спирали в направлении полюса Рь При углублении в область' гео- -Р" метрической тени конец и начало вектора амплитуды будут скользить по спирали и в конце концов окажутся в ближайших точках соседних витков кривой (см.
на рис. 80 вектор, соответствую- щий точке Р"). Интенсивность света при этом практически станет равной нулю. При дальнейшем скольжении по спирали начало и ко- Ряс. 80. нец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точки Р в противоположную сторону:, так как дифракциоиная картинадолжна быть симметричной относительно середины щели. Рис. зп Если менять ширину щели, сдвигая полуплоскости в противоположные стороны, интенсивность в средней точке Р будет пульсировать, попрременно проходя через Максимумы (рис. 81,а) и отличные от нуля минимумы (рис. 81,б). Итак, дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (в случае, изображенном на рис.
81, а), либо относительно темную (в случае, изображенном на рис. 81, б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно нее чередующиеся темные н светлые полосы. При большой ширине щели начало и конец вектора амплитуды лежат на внутренних витках спирали вблизи полюсов Ег и Ев. Поэтому интенсивность света вне области геометрической тени будет практически постоянна. Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких темных и светлых полос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
