Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 21
Текст из файла (страница 21)
й 24, Дифракция Фраунгофера от щели Пусть на бесконечно длинную ') щель падает плоская световая волна (рис. 82). Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы — экран. Рис. 82. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны шириной г(х. Вторичные волны, посылаемые зонами под углом гр к оптической оси линзы, соберутся в некоторой точке экрана Р. Каждая элементарная зона создаст в точке Р колебание г(в (см. формулу (21.1)], которое можно изобразить с помощью вектора с(А. Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны.
Поэтому множитель 1/г в выражении для г($ в случае ') Практически достаточно, чтобы длина щели была во много раз больше, чем ее ширина. дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов <р, можно коэффициент К в формуле (2)А) считать приблизительно постоянным. Тогда амплитуда колебания, посылаемого зоной в любую точку экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны г(х.
Следовательно, амплитуда ~(А колебания д$, возбуждаемого зоной ширины г(х в любой точке экрана, может быть представлена в виде: АА =Сг(х, где С вЂ” коэффициент пропорциональности, не зависящий от угла ~р. Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, посылаемых в некоторую точку экрана всеми зонами, через Лм Ее можно найти, проинтегрировав дА по всей ширине щели Ь: Ло — — 1 г(А = 1 Сг(х =СЬ. о Отсюда С = Ае/Ь и, следовательно, (Л л0 (х Теперь определим фазовые соотношения между отдельными колебаниями д5.
Сопоставим фазы колебаний, создаваемых в точке Р элементарными зонами с координатами О и х (рис. 82). Оптические пути ОР и ЯР таутохроины. Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути б, равном хз(п~. Если фазу колебания, создаваемого элементарной зоной, примыкающей к Левому краю щели (х = О), положить равной в(, то фаза колебания, создаьаемого зоной с координатой х, будет равна з 2я М вЂ” 2п — = в( — — х з|п~р Х Л 1 где Х вЂ дли волны в данной среде. Таким образом, колебание, создаваемое элементарной зоной с координатой х в точке Р, положение которой 5 и.
в. савельев, т. гп !29 на экране определяется углом гр (рис. 82), может быть представлено следующим образом: с(~ = — соз ! со( — х ейп !р) с(х. Ав ! 2п Ь ( Л Результирующее колебание, создаваемое в точке Р всем открытым участком волновой поверхности, найдем, проинтегрировав г($ по ширине щели: ( Ав I 2п $ = ( — соз ! со( — — х ейп !р) в(х = =3 Ь '1 Л о = — „~~- 2пм„,) ~з(п~ы( - —,Ь з п(р) —.1 Модуль выражения, стоящего в квадратных скобках, дает амплитуду Ло результирующего колебания в точке Р (положение которой определяется углом гр): вьп ((п/Л) Ь яп т) ~ (24.1) ! в (и/Л) Ь яп гр Для точки, лежащей против центра линзы, гр = О.
Подстановка этого значения в формулу (24.1) дает Лч Ло'). Этот результат можно получить более простым путем. При !р = О колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебании равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний. При значениях !р, удовлетворяющих условию: (в((Л) Ь з(п гр = +/гн, т. е. в случае, если Ьз(пе!= -~-ЬЛ (1=1, 2, 3, ...), (24.2) амплитуда Ло обращается в нуль. Таким образом, условие (24.2) определяет положение минимумов интенсивности.
') Мы поспольвопалнсь форыулорл а — р а+р в)па-в!ПР=2в!и сов 2 2 в) Иапоипни, что Игп(в!пи/и) = ! (прн палых и можно пола- и-но гать япи = и). )зо Условие (24.2) легко получить нз следующих соображений. Если разность хода Л от краев щели равна +АХ, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2Й равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна Х/2 (см. рис. 83, выполненный для й = 2). Колебания, посылаемые в точку наблюдения Р соответственными участками двух со- 7 Я Я 4 седних зон (например, помеченными крестиками участками зон / и 2),находятся в противофазе.
Поэтому колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга и результирующая амплитуда в точ- Рэс зк ке Р равна нулю. При Л = = +-(А+'/э)Х число зон будет нечетным, действие од. ной из ннх окажется не компенсированным, так что бу. дет наблюдаться максимум интенсивности. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, Мп' ((л/А) Ь Мп <р) Цл/Х)Ь Мп э)~ (24.3) где /ь — интенсивность света в середине дифракционной картины (против центра линзы), /э — интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением ~р.
Из формулы (24.3) вытекает, что / „= /т. Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси х на рис. 82) днфракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы). Напротив, смещение линзы прн неподвижной щели сопровождается таким же смешением картины на экране.
График функции (24.3) изображен на рис. 84. По осн абсцисс отложены значения эйнар, по оси ординат — интенсивность /ч. Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели Ь и длины 5* 131 При ширине шели, меньшей длины волны, минимумы вообше не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно спадает от середины картины к ее краям. ~з а гг з ~з злу~ У Ь Ь Ь Значения угла ~р, отвечающие краям центрального максимума, удовлетворяют условию [см. (24.2)): Ь з1п <р= = -1-Л, откуда ~р +.агсз!и (Л/Ь).
Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна Л (зр= 2 агсз1п —. ь ' (24.5) В случае, если Ь з Л, з)п (Л/Ь) можно положить равным Л/Ь. Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следуюшнм образом: Ьр= —. (24.6) Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на одинаковые по ширине очень узкие зоны. Колебание АА от каждой такой зоны имеет одинаковую амплитуду и отстает от предыдущего колебания по фазе на одну н ту же вели- 132 волны Л. Из условия (24.2) з(п~р = +ЬЛ/Ь. Модуль з)п<р не может превзойти единицу.
Поэтому ЬЛ/Ь - 1, откуда й- — „. (24.4) чину Ь, зависящую от угла ~, определяющего направление на точку наблюдения Р. При ~р = 0 разность фаз Ь равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рнс. 85,а. Лмплитуда результирующего колебания Ае равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз колебаний, соответствующих краям щели, равна и (т.
е. Л = Ф = Ь з!и <р = Х/2), векто- лд ры ЛА располагаются вдоль полуокружностн (рис. 85,б) длиной Ао. Следовательно, для результирующей амплитуды хтт получается значение: А = ф ! л=л 4 = 2А~/л. В случае, когда Л = Ь з|п ~р = Х, колебания от краев щели отличаются по фазе на 2п.
Соответствующая векторная диа- грамма изображена на рис. 85, в, Векторы ЛА располагаются вдоль ~~ окружности длиной Аа. Результирующая ампли- туда равна пулю — имеет место первый минимум. Первый максимум наблю- г/ А,= ~ гл, дается при Л = Ьз|п~р = =- ЗЦ2. В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на Зп. Строя последовательно векторы ЛА, мы обойдем полтора раза окружность диаметра А~ — — 2Ач/Зп (рис.85,г).Таким образом, амплитуда А, первого максимума составляет 2/Зп от амплитуды Ае нулевого максимума, а интенсивность /, =(2/Зп)Чц = 0,045/м Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов.
В итоге получаются следующие соотношении: =-1:(='):( — '.):( — '.)- =- |: 0,045: 0,016: 0,008: ... (24.7) Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная Ь доля светового потока, прошедшего через щель. Если ширина щели й значительно меньше расстояния ( от щели до экрана (рис. 86), днфракция Фраунгофера будет иметь место и в отсутствие линзы между щелью и экраном (падающая на щель волна должна быть плоской). В этом случае лучи, идущие в точку Р свт краев щели, буРис. 86. дут практически параллельны- ми, так что все полученные нами выше результаты остаются справедливыми. В частности, будут справедливыми формулы (24.5) и (24.6) для ширины центрального максимума и соотношение (24.7) между интенсивностями.
5 25. Днфракционная решетка Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга о Рис. 87. на одно и то же расстояние щелей (рис. 87). Расстояние д между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки.
Расположим параллельно решетке собирательную линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран. !34 Выясним характер дифракциониой картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать волновые поверхности параллельными плоскости решетки). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую графиком, изображенным на рис. 84. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бьг колебания, приходящие в точку Р от различных щелей, были некогерентными, резуль тирующая картина от Аг щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в У раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
