Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 59
Текст из файла (страница 59)
255). Количество молекул, пролетающих через площадку 5 в направлении ее нормали, определяется, как мы знаем, выражением Каждая молекула несет с собой энергию, соответствующую температуре в том месте, где произошла последнее соударсние ее с другой молекулой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от 5, равном средней длине свободного пробега 1.. Поэтому молекулам, летящим слева направо„следует припнсыватьэнергию еь отвечающую температуре Т, в плоскости (г — Ц, молекулам же, летящим в противоположном направлении,— энергию ем отвечающую температуре Тх в плоскости (г + 1.).
Величины и и Г зависят от температуры. В связи с этим, казалось бы, следовала для нахождения числа молекул, летящих через площадку 5 слева направо, подставлять в формулу (113.3) значения а н Р, отвечающие температуре Т» а для нахождения числа молекул, летящих справа налево,— значения и и э, отвечающие температуре Тв Однако легко сообразить, что числа частиц, летящих через площадку 5 во встречных направлениях, не могут быть различными. Если бы они ока. зались неодинаковыми, то кроме потока тепла через площадку 5 наблюдался бы поток вещества — происходило бы перемещение газа из одной части пространства в другую.
Мы же предполагаем, что двих<ение газа, как целого, отсутствует. Число молекул, пролетающих через 5 в каждом из направлений, найдем по формуле (113.3), приняв для и н ю нх значения в сечении 5. Тогда количество энергии. переносимое молекулами за секунду через площадку 5 в положительном направлении оси г, можно записать следующим образом: НИ 1 и= — (е — в ) = — пб5 ~ — ИТ вЂ” — ИТ ) ж ~ б 12 ~ 2 з/ = —.
пб5 — ' й (Т, — Тх). (113.4) В силу малости л момсно считать, что Т=Т вЂ” — Х Т =Т+ — Х а,тт 1,ул 1 2 1и э где Т вЂ” температура в том месте, где расположена плокт щадка 5, — — производная Т по з в том же месте, Подставив этн значения в формулу (113.4), получим: лг д = — — п53 — й — 2Х. 6 2 Иг Умножим н разделим это выражение на массу молеку. лы гл и на число Авогадро А!х' ! 8?ч,, лт !? — — тло5 — — — 2Х.
б 2 и?гх На Лалее, учитывая, что л!и = р, а ?а!г, 1! ! — —: — — 11= — С =с„ 2гпа!,, н 2 и (сг — удельная теплоемкость прн постоянном объеме), можно написать: !? ~ ~ — 'роАсг~ — о, /! !иг ~8 ~аг (113.5) Сопоставление (113.5) с (!13,!) дает для коэффициента теплопроводности газов следу!ощее выражение: ! х = — рИсг. з Сравнив формулу (112.6) для т! с формулой (113.6) для х, замечаем, что х = !1сю (113.7) Более строгий расчет приводит к следующему соотноше« пн!о между х и гр х =Кт!сг где К вЂ” числовой коэффициент, определямый формулой эт-8 К= —. 4 Таким образом, для одноатомиых газов (у Ср(Сг 5?3) каеффициент К = 2 5, для двухатомных газон (у = 7/5) К = 1,9 и т. д.
Выясним зависимость х от величин, характеризующих молекулу, и от параметров газа. Поскольку х — т!сг, для этого достаточно умножить (112.7) на ве. личины, входящие в выражение для с! .' ! ! ! с„= — Сг = — —,К- —, в аьух 2 л!' 38? В результате получается к=)7а а 1гт (! 13.8) Эта зависимость отличается от зависимости (112.7) для г1 тем, что к обратно пропорционален )глг, в то время как ц прямо пропорционален ) гн; Кроме того, к зависит от числа и характера степеней свободы молекулы (от ггисла г). Зависимость от давления и температуры у и такая же, как и у гг. Следовательно, коэффициент теплопроводностн не зависит от давления (до тех пор.
пока Х не становится того жс порядка, что и линейный размер сосуда, вдоль которого передается тепло) и возрастает с температурой несколько быстрее, чем ) Т . с— В 1г4. Диффузия в газах Рассмотрим газовую смесь, состоящую из нескольких компонент, т. с. из молекул нескольких сортов. Число молекул г'-й компоненты в единице объема обозначим пг. Полное число молекул в единице объема будет равно гг = ~гги Относительной концентрацией г-й компоненты в смеси называется безразмерная величина лг с.
= —. л Очевидно„что сумма относительных концентраций всех компонсгп равна единице: с; =пргп Абсолютной концентрацией какой-либо компоненты называется масса молекул данного сорта, содержащаяся в единице объема. Определенная таким образом концентрация представляет собой парцнальную плотность данной гсолгпоненты. ЕсЛи масса молекулы г-й компоненты тг, то абсолютная концентрация будет равна Давление газовой смеси равно сумме парциальиых давлений отдельных компонент и определяется полным числом молекул в единице объема: Р= 1 р~,' гг;И'- пИТ.
Рас. 256 .Чожет случиться, что концентрации газовых компонент в различных точках пространства будет неодинакона, В этом случае вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы бй компоненты в направлении убывания ее концентрации.
Этот процесс носит название диффузии. Полное число молекул, а следовательно, и давление в процессе диффузии не изменяются. Происходит лишь перераспределение молекул разных сортов, т. е. изменение величин нъ причем таким образом, что возрастание в каком-то месте и; для одной из компонент сопровождается одновременным изменением и; п=а, п~ для других компонент, 8 так что сумма и, остается постоянной. "~г — +— 1 В дальнейшем в этом Г-"г1 параграфе будет идти речь о двухкомпонентных — +-м Ю 1 / газовых смесях. Предположим, что в некотором объеме какимто образом поддср>кнвается ис изменяющийся со временем градиент концентраций обеих компонентвдоль направления а (рыс.256, на котором вместо абсолютных концентраций изображены пропорциональные вм числа молекул а единице объема).
Давление во всем объеме одинаково. Следовательно, сумма и, + п2 в каждом ссчсннн будет одна и та же. В этом случае через перпендикулярную к г площадку 5 устанавливается преимущсственнын поток молекул первого сорта в направлении слева направо, который можно охарактеризовать величиной массы Л4ь переносимой через 5 за одну секунду. Опыт дает, что эта величина определяется следуюнпги зьз выра>капнем! М,= — й — 5 «с~ И» (114.1) где ь! — коэффициент пропорциональности, называемый! коэффициентом диффузии, — „- — градиент абис, солютной концентрации в том сечении, где мы мысленно расположили плошадку 5.
Масса, переносимая через площадку 5 за время 1, очевидно, равна М!1 = — 0 — ' 51. «« (114.2) Одновременно будет существовать встречный поток молекул второго сорта, определяемый аналогичным выражением Ис» Мя —— —  — 5. О» где и = и! + пь Пусть изменение концентрации первой компоненты вдоль оси з дается функцией с! = с!(з). Как!дая молекула„пролетающая через площадку 5, переносит присущую ей массу л! (напомним, что т! = гп).
Обозначим количество молекул первой компоненты, пролетающих Р за секунду через 5 в направлении оси а, через Ж!, тоже » число для направлении, противоположного г, — через й!! ° 390 Уравнение (1141) представляет собой эмпирическое уравнение диффузии. Знак « — » показывает, что масса переносится в направлении убывания концентрации данной компоненты. Попытаемся получить уравнение диффузии, основы. ваясь на молекулярно-кинетических представлениях, причем для упрощения расчетов мы будем считать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе (т! = глх -- и) и имеют практически одинаковые эффективные сечения (а! - -и» = а). В этом случае молекулам обеих компонент можно приписывать одинакову!о среднюю скорость теплового дан!кения э, а среднюю длину свободного пробста вычислять по формуле ! Х 1г зол Тогда масса первой компоненты, переносимая за секунду в направлении з, может быть представлена в виде М, - (й!' — )У';) гн.
(114.3) Как и в предыдущих случаях (см. $112 и 113), можно считать, что пересекающие площадку 5 молекулы прилета!от из сечений, отстоящих от 5 на средшою длину свободного пробега. Тогда количество молекул, пролетающих через 5 в направлении оси г, будет определяться значением числа молекул в единице объема и'„ отвечающим сечению с координатой г — Х, а количество молекул, летящих в противоположном направлении,— значенисм и",, отвечающим сечению с координатой з + Х. Таким образом, числа )т! и )т! определяются выражением ! 1У! = — и!35, / / где для )у! должно быть взято число а! =и! (з — Х), а для )у! — число и," = а! (з+ 7).
Подставляя значения !у! и 1У! в (114.3), получаем: ! Йч М = — —. 35 — 2Хт. в на Поскольку гл — постоянная величина, выражение и — можно записать в виде Щ д (ищ) Ыа лз , что представляет лс~ собой градиент концентрации —. Тогда лл (114А) Сопоставляя (1!4.4) с (114.1), получаем газокипетическое выражение для коэффициента диффузии: В= —,бй.
! 3 (1 14.5) Из (114.5) вытекает что размерность В равна мз/сек. Проведенные намн рассуждения в равной мере применимы к обеим компонентам смеси. Следовательно, коэффициент диффузии для обеих компонент имеет одинаковое значение, Сравнивая (! 14.б) с (112.6), получаем следующую связь между т! и Вч Ч=рВ. Подставив в (1!4.5) выражение для Р н Л, можно получить, что в — — ' у'Т. лв 1' о~ В отличие от и и я коэффициент диффузии оказы- вается обратно пропорциональным числу молекул в еди- нице объема, а следовательно, и давлению йч ! О Зависимость от температуры у В такая же, как у т! и и.
Так как мы полагали молекулы обеих компонентоди- наковыми по массе и эффективному сечению, (114.5) представляет собой, по существу, выражение для коэф- фициента самоднффузии, т. е. диффузии молекул неко- торого газа в среде молекул того же газа. Явление са- модпффузин можно было бы наблюдать, пометив каким- то способом часть молекул однородного газа. Тогда в случае, если бы концентрация меченых молекул н моле- кул, не несущих отметки, была непостоянна, в газе воз- никлп бы встречные потоки разного рода молекул, при- чем величина потоков определялась бы формулой (1И.4), Практически самодиффузи|о можно исследо- вать, применив метод меченых атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
