Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Выразим в соответствии с этим соотношением давление газа через его объем и значения параметров в начальном состоянии '): процессе, кроме изотермического (соответству)ошего и = 1) '). В частности, при адиабатическом процессе А,е = — '' ' (г — (+) ~ (105.7) или А,е — — — — ' ( ) — ( —,' ) 1. (105.8) Итак, работа, совершаемая идеальным газом прн изотермическом процессе, равна А = — ТтТ!и —.
м ) 2 !2 и р'~ ' (!05.9) При изобарическом процессе работа, совершаемая любым телом, в том числе и идеальным газом, равна, как следует из (105Л), Ага = Р Ь'е — У,). (105.10) Тог же результат получается, если положить в (105А) п равным нулю. В заключение отметим, что при изохорическом процессе работа равна нулю, что справедливо для любых тел. ф 106. Распределение молекул газа по скоростям Молекулы газа движутся с самыми различными скоростями, причем как величина, так и направление скорости каждой отдельно взятой молекулы непрерывно меняются из-за соударений (как мы увидим в дальнейшем, при нормальных условиях каждая молекула претерпевает в секунду примерно 10' соударений).
') Отметим, что при н 1 выражения 1!0ЗЛ) и (105.6) становится неопределенными. 354 Чтобы вычислить работу идеального газа при изотер. мическом процессе, заменим давление в формуле (105.1) его выражением через другие величины в соответствии с уравнением состояния. В результате получим (Т можно вынести за знак интеграла, поскольку она постоянна): тн кТ ( ~Л' !Р3 Так как все направления движения равновероятны, распределение молекул по направлениям будет равномерным: в пределах любым образом ориентированного, но постоянного по величине телесного угла ЛР лежат в каждый момент времени направления движения в сред.
нем одинакового числа молекул Лйк . Иначе обстоит дело с численными значениями скорости молекул и. Возможные значения и, заключенные в пределах от нуля до бесконечности, отнюдь не равновероятны. Это вытекает из следующих соображений. Изменение скоростей молекул при столкновениях происходит случайным образом. Может случиться, что какая-то молекула в целом ряде последовательных соударений будет получать энергию от своих партнеров по столкновениям, в результате чего ее энергия значительно превзойдет среднее значение й.
Однако, даже если представить себе такой совершенно фантастический слу* чай, при котором все молекулы газа остановятся, пере. дав свою энергию одной-единственной молекуле, то и тогда энергия этой молекулы, а следовательно, и ее скорость, будет конечна. Таким образом, скорость молекул газа вообще пе может иметь значений, начиная с некоторого и„..„. до са. Учитывая, что пропессы, которые привели бы к сосредоточению па одной молекуле заметной доли суммарной энергии всех молекул, маловероятны, можно утверждать, что слишком большие по сравнению со средним значением скорости могут реализоваться крайне редко.
Точно так же практически исключено, что в результате соударений скорость молекулы станет равной точно нулю. Следовательно, очень малые и очень большие по сравнению со средним значением скорости маловероятны, причем вероятпбсть данного значения и стремится к нулю как при и - О, так и при и -+ 00. Из сказанного следует, что скорости молекул группируются в основном вблизи некоторого наиболее вероятного значения.
Для выяснения способа, которым можяо количест. венно описать распределение молекул по значениям и, воспользуемся следующим наглядным приемом, Будем отмечать значения скоростей точками на оси ш Тогда каждой молекуле иа этой оси будет соответствовать точка, расстояние которой от точки О, принятой за начало Юэ зчб отсчета, численно равно величине скорости данной молекулы (рис.
236) Предположим, что аы располагаем способом одновременного определения скоростей всех !т' молекул некоторого количества газа. Изобразив полученные результаты в виде точек') на оси о, мы получим «моментальную фотографию» скоростей молекул для некоторого момента времени ! (рис. 237). Если бы все значения и были одинаково верор у-«ма»а«у«о ятны, точки распредео лились бы по оси и равномерно. Однако, как мы видели выше, скорости группируются в основном вблизи не.й~и которого наиболее ве((! роятного значения. Близкие же к нулю и очень большие значения скорости встречаРнс.
237. !отея сравнительно редко. Поэтому распределение точек на оси о будет неравномерным, с плотностью, различной на разных участках оси. Определив плотность точек как отношение числа точек Ь(т'«, попадающих в пределы интервала Лв (рис. 237), к величине этого интервала: ~ЪФ» аи ' можно сказать, что эта величина является функцией и (р = р(о)). В самом деле, ее значение зависит от того, в каком месте на осн о взят интервал Ло, т, е.
от о. Каждый акт соудареиия между двумя молекулами изменяет случайным образом положение соответству!ощих точек на оси о. Поэтому, если сопоставить ряд «фотографий» для разных моментов времени: и т. д. (рис. 238), то на этих «фотографиях», вообще говоря, не будет совпадающих точек. Однако если газ находится в равновесном состоянии (т. е. в состоянии „- — и =!Ли ') Отметим, что, аатрачинан на нанесение кюкдой точни только одну секунду, иад нанесением 2,7 ° !Ои точек ориииось бы трудитьси !О" лет. 356 (106. 1) Отношение — „" =)(о)Ло (106.3) дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного (лежащего между о и и+ Лп) интервала скоростей Ло (о при ЛЛ) служит индексом для обозначения интервала Ло) ').
'! Вероятность того, что скорость какогмто молекулы имеет произвольно взятое определенное значение о, равна нулю. Это объясняется тем, что число возможных значений о веско!~евно, количестю же молекул )Ч хоть и велико, но конвою (сравни с й !00, текст от (!00.!) ло (!00.2)). 357 с неизменяющимися параметрами), то распределение молекул по скоростям оказывается неизменным.
Поэтому плотность, с которой распределены точки на различных участках оси о, будет для всех моментов времени одна и та же. Если взять несколько порций газа, находящихся в идентичных условиях (при одинаковых р и Т), то распределеш!е молекул по скоростям в них бу- ль дет также идентично. Однако плопюсть точек на оси о при одинаковом характере распределения нх по оси, очевндпо, пропорциональна рассматриваемому количеству моле- и«. гза кул Л' и, следовательно, для различных порций газа будет различна. Одинаковым для различных порций будет отношение м л л р (о) ! ЛУа Определенная таким образом функция 1(о) характеризует распределение молекул газа по скоростям и называется функцией распределения. Зная вид )(о), можно найти количество молекул Лй)„из числа даш!ых молекул Л', скорости которых попадают внутрь интервапа Ло, т.
е. имеют значения, заклгоченные в пределах от о до о + Ло. Лйг„= Лг! (о) Ло: (106.2) Сумма ~ ЛЖ, = ~2~ Л7 (о,) Л о, =,'К~ р, Л он взятая по всем интервалам Лоь па которые можно разбить ось о, должна, очевидно, равняться полному числу молекул М. Отсюда вытекает следующее свойство функции распределения: 2',((о;)Ло,=1. (106. 4) Последний результат можно пояснить также следующим образом. Выражение з~т~ ЛЛ' предстанляет собой вероятность того, что скорость молекулы будет иметь одно из значений в пределах от 0 до со.
Поскольку скорость молекулы непременно имеет какое-то значение, указанная вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна единице. Строго говоря, условие (1064) должно бьггь написано следующим образом: ) 1'(п)до=!. о (106.5) Соотношения (106.2) — (106.6) вытекают из общего определения функции распределения и ие зависят от ее конкретного вида. Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом и носят его имя. Она имеет следующий вид: мм 1(п) =Ле "то' (106.6) где А — мнохкитель, не зависящий от о, гп — масса молекулы, й — постоянная Больцмана.
Характерно для функции распределения Максвелла то обстоятельство, что в показателе степени при е стоит взятое со знаком ч †» отношение кинетической энергии молекулы ~пп92, отвечающей рассматриваемой скорости гр, к ЛТ, т, е. величине, характернзуюШей среднюю знергию молекулы. Поскольку множитель вида е '* при возрастании о убывает быстрее, чем растет множитель оз, функция, 356 начинаясь в нуле (из-за о'), достигает максимума и затем асимптотнчески стремится к нулю (рис. 239). Плошадь, охнатываемая кривой 1(о), в соответствии с (106.5) равна единице. Условие (106.5) позволяет вычислить множитель А в (106.6): /ВВ' А ~ е ыт отсЬ= 1. о Это условие носит название условия нормировки функции, А называется нормировочным множителем. >'гп Рнс.
339. (' гн 3'А Вычисления дают для А значение 4н1 —.) . Таким ~ 2лзт ) образом, функция распределения Максвелла имеет вид гпту~ 1(о) = 4н~ —,. ) с зм о-'. (106.7) Как н можно было ожидать, конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состоянии (от температуры Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
