Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Отметим, что давление н объем газа иа распределение молекул по скоростям не влияют. Может показаться, что функция (106.7) неправильно описывает распределение в связи с тем, что она обрашается в нуль только иа бесконечности, в то время как реализуемые значения скорости ограничены конечным 339 пределом. Однако при достаточно больших о функция (106.7) столь мало отличается от нуля, что отмеченное несоответствие практически не имеет никакого значения.
Скорость, отвечающая максимальному значению функции распределении, будет, очевидно, наиболее вероятной. Действительно, если сравнить числа молекул Ьй1„скорости которых лежат в пределах различным образом выбранных, но равных по величине интервалов Ьп, то наибольшим будет Ьй!„соответствующее интервалу, расположенному в окрестности максимума. Таким образом, решив задачу на нахождение максимума 1(о), мы найдем наиболее вероятную скорость и„„. Продифференцировав (106.6) по о и приравняв полученное выражение нулю, будем иметь: — = Ае ыт о!2 — —.~ =О.
Ф~ (О) — — / 02 ~ ач — ь 3= Удовлетворяющие этому уравнению значения п =0 и п = со соответствуют минимумам 1(с). Значение о, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое о„р. /2ИТ (106.8) Подставив в (106.7) наиболее вероятную скорость, найдем максимальное значение 1(п): Исследуем, как изменяется кривая распределения а зависимости от температуры газа и массы молекулы, Из (106.8» и (106.9) следует, что при увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо и становится ниже, причем, как мы знаем, площадь, охватываемая кривой, остается неизменной.
На рис. 240 сопоставлены две кривые распределения, которые можно трактовать либо как отно. сящиеся к различным температурам Т, и Т, (при одинаковой т), либо как отноаящиеся к различным массам молекул т~ н тз (при одинаковой Т). 360 Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение оа, определяетсн выраже- нием ) )(о) др. На графике этому интегралу соответствует лежашая справа от ра часть площади, ограниченной кривой. Как видно из рис.
240, относительное количество молекул, Рас. 2В. имеющих скорости, превышающие па, сильно растет с повышением температуры. Таблица 7 а нар 2 — 3 «з «3 8,! 1б,о о — о,з 1,5 — 2 8'!о " В таблице 7 приведевы соответствующие фущ1ции (106.7) относительные количества молекул ЛИ/й! для различных интервалов скоростей. Как видно из таблицы, более чем у 707р всех молекул скорость отличается ог наиболее вероятной не больше чем на 50%. Скоростью, более чем в 3 раза превышающей о..р, обладает в среднем только 0,04% молекул. Скорости же, превышающие бр„,р, наблюдаются в среднем лишь у одной из !2 миллиардов молекул. 361 Зная распределение молекул по скоростнм, можно найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например о'.
Разобьем ось скоростей на малые интервалы Лоь Каждому интервалу согласно (106.2) соответствует количество молекул: Л№, = 1У!'(ьч) Лоь (106. 10) Поскольку интервал Лп; мал, скорость каждой из Л№ч молекул можно приближенно считать равной в;— одному из значении скорости, принадлежащих интервалу Лов Тогда сумму значений скоростей всех Ю молекул можно представить в виде о~Л!У,, Разделив эту У, сумму на число молекул № получим (с учетом (106.10)) выражение для средней скорости а: б = ~~'.~ о;! (гч) Лиь Переходя от суммы к интегралу, находим, что б= ~ о!(о) и'ю е (1 06.1 1) (106.12) Аналогичньпч образом для среднего значения квадрата скорости о' получается выражение ,г ~ пт) (о),1 о которое после подстановки !(о) и вычислений дает о' = Зйуап.
Корень квадратный из о' называется средней квадратичной скоростью. Таким образом, оиь „, = )' ое = ~/ — . (106.13) Если подставить в (106.11) выражение (106.7) для )(о) и произвести вычисления, получится; Этот результат согласуется с полученным ранее выражением (99,11) для в. Чтобы в этом убедиться, нужно заменить в (99.11) й через то92.
Следует обратить внимание на то, что б Ф. о,р„и б чь Оэ. Сопоставляя (!06.8), (106.12) н (!06.13), можно заметить, что о р, э и п,р „„одинаковым образом зависят от температуры и массй молекулы, отличаясь лишь чис. ловым множителем. Если принять о р за 1, то э = 1,13, пср. Нв = 1.22 (рис. 241). Йеобходнмо подчеркнуть еще раз, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие нз него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии. Закон справедлив для любого числа й(, если только это число достаточно велико.
Закон Максвелла †статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одннако- амг в амм вых объектов они при- Ркс. 241. меняются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказаний статистики. Если имеется смесь газов, находящаяся в равновесии, то в пределах молекул каждого сорта имеет место распределение (!06.7) со своим значением ьь Более тяжелые молекулы будут двигаться в среднем с меньшей скоростью, чем более легкие.
Исходя из распределения молекул по скоростям РЛ " г!г7 = 1У4п! —," ! е '"г оз г(о (106.14) ~ злат) можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения. Для этого нужно перейти от переменной и к переменной е, равной тпхг2. Произведя в (106.14) подстановку в = ~/ — „, и Но= = — 11а, 1 $~2те получим 2 1 (й1,=й! = —,, г 1', !/я (И)"ь (106.15) где !(Ж, означает число молекул, энергия которых имеет значения„заключенные в пределах от е до е + с(е. Таким образом, распределение молекул по значениям а характеризуется функцией е 1(в) А,- лг )Ге (106.16) 2 ! где А' — нормировочный множитель, равный (ат)ч ' В заключение произведем оценку средней скорости молекул, например, кислорода.
Вычисления удобнее производить, заменив в (106.12) отношение й/и! равным ему отнонгеннем !7/р. Тогда выражение для средней скорости примет вид / вот (106.17) Молекулярный вес кислорода равен 32. Следовательно, масса киломоля и = 32 кг/кмоль, Комнатная температура равна примерно 300'К. Подставляя в формулу (106.!7» численные значения входящих в нее величин, получаем: в= у = 600 м/сгь.
ГВ В,З1 1О'.3ОО 3,14 32 Таким образом. каждая молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,5 клс Поскольку молекула претерпевает очень частые соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию. Молекулы водорода имеют массу, в !6 раз меныпую, чем молекулы кислорода, вследствие чего их скорость при той >ке температуре будет в 4 раза больше и составит при комнатной температуре я среднем цоч1и 2 кл11сек.
% !07. Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла Первое экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном в )920 г, Прибор, использованный для атой цели, состоял из двух коачсиальных цилиндров (рис. 242). По оси прибора была назянута платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити элекгрическим током с ее поверхности испарялись атомы серебра. Скорости испарившихся атомов соответствовали температуре н1ггн. Г!окинув нить, атомы двигались по радиальным направлениям.
Внутренний цилиндр имел узкую продольную щель, через которую ьд ~4 проходил наружу узкий пучок атомов (молекулярный пучок). Чтобы атомы серебра не отклонялись за счет соударений с молекулами воздуха весь прибор был эвакуирован. Достигнув поверхности внешнего цнлгшдра, атомы серебра оседалн на псе, образуя слой в виде узкой вертикальной полоски. Ю'~ Если привести весь прибор во вра- дг ~.
и;снпе, след, оставляемый молекулярным пучком, сместится по поверхности внешнего цилиндра на некоторую величину Лз (рис. 242). Зтопроизойдет потому, что за время, пока а ~омы серебра пролетают зазор между цилнндрамн, прибор успевает повернуться иа некоторый угол б~р,врезультате против пучка окажется другой участок наружного цилиндра, смещенный относительно первоначального следа з, на величину Лз, равную И~~р ()г — радиус внен1него цилиндра). Рассматривая движение атомов серебра в связанной с цилиндрами вращакь щейся системе отсчета, смещение следа можно объяснить действием на атомы кориолисовой силы, равной 2ш(тм). Расстояние Лз между первоначальной и смещенной полосками серебра можно связать с угловой скоростью вращения цилиндров в, геометрией прибора и скоростью Збб атомов и.
Обозначив время пролета через Лй можно написать, что Лз = от!4 ЛЛ (107.! ) Поскольку радиус внутреннего цилиндра мал по сравнению с радиусом внешнего цилиндра 1т, время пролета Л( можно положить равным Л( = — „. Подставляя это выражение в (107.1) и разрешив получившееся уравнение относительно и, получим: ог о= —. ба Измерив смещение следа Лз н скорость вращения прибора, можно определять скорость атомов о. Положение, правда, осложняется тем, что вследствие распределения по скоростям атомы имеют различные скорости и в результате смещенный слой будет размытым').
Ис- следуя профиль следа Июпенжалньй даагмап (рис. 242), можно было составить примерное представление о распределении атомов серебра по скоростям. Результаты опыта Штерна подтвердили Рис. 243. правильность оценки средней скорости атомов, которая вытекает нз распределения Максвелла. О характере самого распределения этот опыт мог дать лишь весьма приближенные сведения. Более точно закон распределения был проверен в опыте Ламмерта (1929 г.), в котором молекулярныйпучок пропускался через два вращающихся диска с радиальными щелями, смещенными друг относительно друга на некоторый угол тр (рис, 243).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
