Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Из числа молекул. пролетевших через щель в первом диске, пролетят через второй диск только те, которые подлетят к нему ') Широка слоя, получаииисгося при неподвижном приборе, определяется только геометрией прибора, и частиости шириной отели, через катеру~о выходит молекулярпый пучок. 366 в тот момент, когда на пути пучка встанет прорезь во втором диске. Более быстрые молекулы достигнут второго диска слишком рано, а более медленные — слишком поздно для того, чтобы пройти через щель. Таким образом, это устройство позволяет выделить из пучка молекулы, обладающие определенным значением ско. рости (из-за конечной ширины щелей прибор вьщеляет молекулы, скорости которых лежат в пределах некоторого интервала Лп).
Средняя скорость выделяемых прибором молекул может быть найдена из условия, что время 1ь за которое молекулы пролетают расстояние 1 между дисками (1~ = 1/о), должно совпадать со временем (в за которое диски повернутся иа угол ~р (гх — — ~р/а). Приравняв оба времени, получим: в1 Ф' Меняя скорость вращения прибора е (или угол между дисками гр), можно выделять из пучка молекулы, обладающие различными значениями скорости. Улавливая затем эти молекулы в течение определенного времени, можно определить их относительное количество в пучке.
Результаты опыта Ламмерта и других опытов, предпринимавшихся с той .ке целью, находятся в полномсогласии с законом распределения, установленным теоретически Максвеллом. Следует отметить, что распределение молекул по скоростям в пучке, вышедшем через отверстие в сосуде. несколько отличается от распределения, имеющегося в замкнутом сосуде. Так как более быстрые молекулы будут проходить через отверстие в относительно большем количестве, чем более медленные, пучок будет обогащен более быстрымн молекулами. Поскольку количество молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени, пропорпионально о, распределение в пучке будет характеризоваться не функцией (106.6), а функцией тм ),(ц) = Ае игаз где А, — нормировочный множитель. Наиболее вероятная скорость в этом случае равна / з~т впряг и,'„а= у —, а средняя скорость б'= ь 108.
Барометрическая формула Рас. 244 Оз ггп Р= !г Ггг (108.2) Подставив выражение для р в (108.1), получим: откуда "' = — и,!й. р ~г (! 08.3) Температура Т является некоторой функцией от й. Если внд этой функции известен, уравнение (108.3) можно проинтегрировать и получить р как функшпо !г. Лля случая, когда температура постоянна, интегрирование (!08.3) дает 1пр= — — +!пС ика г!Т э Лтыосферггое давление на какой-либо иьгсоте й обусловлено весом вышележащих слоев газа, Обозначим буквой р давление на высоте 6. Тогда давление на высоте й + г!Ь будет р + г!р, причем если Нг больше нуля, то г!р будет меньше нуля, так как вес вышележащих слоев атмосферы, а следовательно, н давление с высотой убывают. Разность давлений р и р + др равна весу газа, заключенного в обьемс цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотой г)й (рис.
244): Р '~Р р — (р+ Ф) = рй 1!г где р — плотность газа на высоте !г. Отсюда г(р = — рд г!!ь (108.1) Воспользовавшись уравнением состояния, плотность газа могкно выразить через давление и температуру. Как уже отмечалось, при.условиях, близких к нормальным, газы, входящие в состав атмосферы, мало отличаются по своему поведению от идеального.
Поэтому будем исходить из уравнения (98.14). Решив это уравнение относительно гп/!', найдем плотность р: где С вЂ” постоянная (здесь удобно обозначить постоянную интегрирования через !и С). Потеицируя полученное выражение, находим, что иеь ,е = Се ет. Подставив сюда 6 = О, получаем де=С* где р,— давление на высоте Ь = О. Таким образом, при сделанном нами допущении опостоянстве температуры зависимость давления от высоты вырви;ается формулой Рма~ р = Р„е ет . (108.4) Эта форлаула называется е' аа,<,ао баромет рической.
Из гг,а а'8 ' га) нее следует, что давление убывает с высотой тем бы- Ре стрее, чем тяжелее газ (чем Ггеа и больше и) и чем ниже температура. 11а рис. 245 изо- Рис. 245. бражены две кривые вида (108.4), которые можно трактовать либо как соответствующие разным 1а (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным Т (при одинаковой р). 9 109. Распределение Бояьцмана Заменив в (108.4) давление р через плТ 1см. (99.12)], получим закон изменения с высотой числа лаолекул в единице объема: кеь та=не ет Здесь аае — число молекул в единице объема на высоте, равной нулю, и — то же число на высоте (а.
Полученное выражение можно преобразовать, заменив отношение 1аЯ равным ему отношением т/й, где ап — масса одной молекулы, й — постоянная Больцмааааа еь п = паае (109.1) 369 24 и. в. савельев„к а Из (109.1) следует, что с понижением температуры число частиц иа высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при Т = 0 (рис. 246). При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив, п слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно. (тр >4~ Этот факт имеет простое физическое объясне.
ние. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) при» Рес. 246. тяжение молекул к зем- ле (характеризуемое сн. лой тд) стремится расположить их иа поверхности земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величииои лТ) стремятся разбросать молюсулы равномерно по всем высотам. Чем. больше т и меньше Т, тем сильнее преобладает первая тенденция и молекулы сгущаются у поверхности земли. В пределе при Т =-0 тепловое дви. 1кение совсем прекращается и под влиянием притяжения молекулы располагаются на земной поверхности, При высоких температурах превалирует тепловое дви.
жение и плотность молекул медленно убывает с высотой. На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии: ер = щей. (109.2) Следовательно, распределение (109.1) молекул по высоте является вместе с тем и распределением нх по значениям потенциальной энергии. С учетом (109.2) формулу (109.1) можно записать следующим образом: е, в=псе ег.
(109 Л) где ла — число молекул в единице объема в том месте„ где потенциальная энергия молекулы равна нулю, а зто число молекул в единице объема, соответствующее тем точкам пространства, где потенциальная энергия молекулы равна в„. Из (109.3) следует, что молекулы располагаюгся с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборт, с меньшей плотностью в местах, ~де их потенциальная энергия больше. В соответствии с (109.3) отношение н, к и, в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значения схч и агм равно Вр~ Ргт ег гм (109.4) гам е +— Р 2 Е г(пе,, = по4п~ — ) в ьг изми е ат ог гЬ (109 5) где н,— число молекул в единице объема в той точке, в которой ег = О, а Š— полная энергия молекулы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий. 24~ 271 Больцман доказал, что распределение (109.3), как и вытекающая из него формула (109.4), справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.
В соотве.гствии с этим распределение (109.3) называют р а сп ределением Больцмана. В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической илн соответст'венно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы. Распределения (106.14) и '(109.3) можно об.ьединить в один закон Максвелла — Боп ьц и а н а, согласно которому содержащееся в единице объема количество молекул, скорость которых лежит между о и н+ г(о, равно В соответствии с условием (106.5) интегрирование (109:5) по а в пределах от 0 до аа приводит к выражению е, ЯТ совпадающему с распределением (!09.3).
В распределении (109.5) пагенциальиая энергия е„ и кинетическая энергия глоз72, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Гели полная энергия частицы может п(н1пимпть лишь дискретный ряд значений: Еь Еь ..., как это имеет место, например, для внутренней энергии атома, то распределение Больцмана имеет вид: Я~ 1У А , ьг (1 09.6) где И; — число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еь А — коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию ~с ~(У А~, ю У ()у — полное число частш! в рассматриваемой системе). Подставив найденное из последнего соотношения значение А в формулу (109.6), получим окончательное выражение распределения Больцмана для случая диск.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
