Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 53
Текст из файла (страница 53)
234. Как мы увидим в ф Юб, молекулы газа распределены по значениям энергии таким образом, что подавляющая часть их обладает энергиями, близкими к среднему зпа- ') В действительности расстояния между вранмгенаиямн уровнями иеодниановве Однако это несущественно дая рассматриваемого вопроса. 346 — — Е гсрВипе птах зч7 чению е, и лишь малая доля молекул имеет энергии, значительно превышающие в. Поэтому, для того чтобы заметная доля молекул оказалась вовлеченной во вращательное нли колебательное движение, их средняя энергия должна быть достаточно велика по сравнению с расстоянием между дозволенными уровнями соответствующей энергии. Возьмем столь низкую температуру, что средняя энергия молекулы е значительно меньше первого дозво. лепного значения энергии врапгателыюго движения (см.
пнжиюю пунктирную прямую на рис. 234). Тогда лишь не. значительная часть всех молекул вовлекается во вращательное дни>кение, так что практически молекулы газа будут двигагься только поступательно. Пеболь- ль я е цше изменения температуры бу- ~прЛЕ~ дут приводить к изменениям только энергии поступательного движения, в соответствии с чем теплоемкость газа оказывается равной — Я (см, участок 1 — 1 3 / 2 на кривой, изображенной на рис. 233). Повышение температуры со.
провождается возрастанием е, вследствие чего все большая часть молекул вовлекается во вращательное движение. Этому процессу соответствует участок кривой à — 2 на. рис. 233. — -- — — д/некиие После того как все молеку- ~ а лерг лы будут вовлечены во враща- Р$!с. 234. тельное движение„начнется горизонтальный участок 2 — 2'. При температурах, соответствующих этому участку, е еще значительно меньше, чем расстояние между дозволенными уровнями колебательной энергнп, вследствие чего колебания молекул практически будут отсутствовать. При дальнейшем повышении температуры молекулы начнут во все большем количестве вовлекаться в колебательное движение, чему соответствует переходный участок 2' — 3 на кривой тсп- лоемкостн.
Наконец, при достаточно высокой температуре все молекулы окажутся вовлеченными в колебателыюе движение, в связи с чем теплоемкость станет 7 равной — Й. 2 Возвращаясь к развитой нами классической теории теплоемкости, можно сказать, что ее результаты приблизительно верны для отдельных теьшературных интервалов, причем каждому интервалу соответствует свое число степеней свободы молекулы. 5 103. Уравнение адиабаты идеального газа Лднабатичсскнм называется процесс, протекающий без теплообмсна с внешней средой. Найдем уравнение, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе. Подставим в уравнение (96.4) первого начала термодинамики выра>кение г)6/ для идеального газа; г)'!~ = — '" ~„, )Т+ р )У. И Так как для адиабатического процесса Н'9 = О, должно выполняться условие ()ОЗ.!) — с)Т+ р г)У =О. и 'Теперь выразим р через )> и Т в соответствии с уравнением состояния идеального газа: м Лт Р= и я подставим это выражение в (!ОЗ.!).
В результате, сокращая на отличный от нуля множитель и>/р, получим: Ск ат+ КТ вЂ” =О. лк к Преобразуем полученное выражение следующим образом: аг , л лр — + — — = О. Т Сги Последнее соотяошение можно записать в виде д~!и Т+ — !и У) =О, Л и рр Т= —— ан й Подставив это выражение в (103.3) и учитывая, что и, и и гс — постоянные, получаем: Р!'ч = сопя!'). (103.4) Соотношение (103.4) есть Рнс 235. уравнение адиабаты идеального газа в переменных Р и К Его называют также у р а внениеч Пуассона. Из сопоставления уравнения адиабаты (103.4) с уравнением изотермы (98.3) следует, что адиабата идет круче, чем изотерма. Вычислим — для изотермы и адил Нт' абаты в одной н той же точке (р, Ъ~) (рис.
238). Дифференцирование уравнения (98.3) дает: р (У+и (р=о, откуда для изотермы получаем: ог' 'е' ' Продифференцировав (103.4), получим: Р р' ! и/+ 7чг(Р-О, '! Значения сопя! в (Н6.2! — !!0341, очевидно, раааочньс (103.5) 349 откуда следует, что при адиабатическом процессе !п Т+ — 1пр = сонэ!, (!03.2) с„ Учтя, что для идеального газа Са — С~ с(„отношение й/Ск можно заменить через у — 1, где у = Ср/Ск. Произведя в (103.2) такую замен» н пропотенцировав полученное выражение, мы придем к уравнению Т7»' == сопя!. (103.3) Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты идеального газа в переменных Т и К От этого уравнения могкио перейти к уравнению в переменных Р и У, заменив н нем Т через р и г' в соответствии с уравнением состояния идеального газа: откуда Таким образом, тангенс угла наклона адиабаты в у раз больше, чем у изотермы. Во всех рассуждениях мы предполагали, что состояние газа в каждый момент времени характеризуется определенными значениями параметров р и Т, т.
е., иными словами, что рассматриваемый адиабатический процесс является равновесным. Как мы знаем, равновесным может быть только процесс, протекающий очень медленно. Вместе с тем, поскольку совершенно не проводящих тепло веществ в природе не существует, количество тепла, которым обменивается система с ее окружением, будет тем меньше, чем меньшее время длится процесс. Таким образом, близкими к адиабатическому могут быть только бь(стро протекающие процессы. Примером такого процесса люгут служить сжатие и расширение, происходящие в каждой точке газа, в котором распространяется звуковая волна.
Неси!отря на то, что в пределах большого объема состояние газа при этом отнюдь не является равновесным (р и Т в разных точ. ках различны). поведение газа в пределах каждого, достаточно малого объема вполне удовлетворительно описывается уравнением адиабаты (103.4).
5 104. Политропическне процессы Все рассмотренные нами ранее процессы являются кастныаги случаями полнтропического процесса. Полнтропическнм называется тат а б и и и а б кой процесс, при котором давление и объем идеального газа связаны соотноше- нием Процесс р)с" = сопз(, (104.1) Иаобарический Иаотерчнческий Ллиабатическнгс Изокорачсский где л может принимать значения от — оо до +со, В таблице 6 указаны со значения л, прп которых политропический процесс оказывается тождественным с одним из уже известных нам процессов. Первые три стро%0 ки таблицы очевидны.
Чтобы убедиться в справедливо сти четвертой строки, напишем уравнение политропы (104.!) в следующем виде: (104.2) р р~ где индексы 1 и 2 относятся к двум произвольно взятым состояниям. Извлечем нз (104.2) корень степени ги 1 ! рйр" — рй ~/ е г' Устремив теперь а к +во или — ео, мы придем к условию Г, $'м которое характеризует изохорический процесс. Из уравнения состояния идеального газа, написанного для одного киломоля, следует, что г р=й —. к' (104.3) Подставив это значение р в уравнение (104.1) и учтя, что 1с — постоянная величина, получим уравнение поли- тропы в переменных Т и К Т'г'" ' =сопз1. (! 04.4) Найдем теплоемкость киломоля идеального газа при политропическом процессе.
Согласно (96.4) и (102.8) гП~ = С„г! Т + р Л'. Следовательно, С= — =С +р —. сГЮ ~ЛГ лт = лг (104.5) откуда в"г' аг т!и — !) р(а-11 [мы воспользовались соотношением (104.3)), ай! сП' Чтобы найти †„„, будем исходить из уравнения политропы в виде (104.4). Дифференцирование этого уравнения дает: Ь'" 'г!Т+Т(и — 1)Р" "д$'=О, ну Подстановка найденного нами значения — в фор. аг мулу (104.5) дает для теплоемкости киломоля идеаль.
ного газа при гюлитропическом процессе следующее выражение: (104.6) Рекомендуем проделать этот вывод в порядке упраж- нения. й 105. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах Работа, которая совершается при переходе из состояния ! в состояние 2 каким-либо телом над внешними телами, равна, как известно (см. (96.3)): Ь'ю Ам= ) рЛ'.
(105.! ) Чтобы произвести интегрирование, нужно выразить р через !'. Для это~о воспользуемся связью между р н 1~ при различных процессах. Уравнение политропы идеального газа (104.1) можно написать следующим образом: р~,л — ррах рр~ ! ! 2 2' 362 Это выражение ие содержит параметров состояния р, У и Т. Таким образом, теплоемкость (104.6) есть величияз постоянная. В соответствии с этим политропические пропессы можно определить как такие процессы, при которых теплоемкость остается постоянной. Такое определение является более общим, чем определение (104.!),— оио применимо к ~елам и системам тел любой природы, в то время как определение (104.1) справедливо только для идеального газа.
Исходя из предположения, что С = С„ = сонэ!, можно показать, что идеальный газ при этих условиях следует уравнению (104.!), где (104.7) к п «г у'" (105.2) Подставляя (105.2) в (105.1), получаем: (105.3) Рассмотрим сначала случай и+ 1; тогда интеграл в (105.3) равен г'и Подставив это значение интеграла в (105.3) и произведя несложные преобразования, получаем: «грг ~! (~ ) Полученное выражение можно преобразовать, воспользовавшись тем, что, какой бы процесс ни происходил с идеальным газом, его параметры связаны уравнением состояния (Ж!4). В частности, это справедливо и для начального состояния: (105.4) ргр = — „!%.
(105.5) Подстав.чяя (105.5) в (105.4), получаем: иг Ю' ! /у~г" г1 (105.6) Гг и — !), Выражения (105.4) и (105.6) дагот работу, совершаемую идеальным газом при любом политропическом ') С таким же успехом можно выразить давление через параметры конечного еосгояиия, 23 и, в. Савельев, т. 1 звз где рь 1гг н рм !'з — значения давления и объема газа соответственно в первом (начальном) и втором (конечном) состояниях, р и )г — давление и объем в любом промежуточном состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
