Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 49
Текст из файла (страница 49)
У реальных газов молекулы обладают конечными размерами и взаимодействуют друг с другом с силами, быстро убывающими с увеличением 323 расстояния между молекулами. Однако по мере уменьшения плотности газа собственный объем молекул делается все меньше по сравнению с объемом, занимаемым газом, а средние расстояния между молекулами становятся настолько бо,пьшнми, что силамн взаимодействия молекул друг с другом ьюжно вполне пренебречь. Следовательно, прн условиях, когда всякий газ бывает близок к идеальному, справедливы допугцепня, положенные нами в основу описанной выше модели, При ударе о стенку сосуда молекула сообгцает еп пмпульс, численно равный изменению импульса молекулы. Каждый элемент поверхности стенки Л5 непрерывно подвергается бомбардировке большим количеством молекул, в результате чего за время ЛУ получает суммарный импульс ЛК.
направленный по нормали к Л5. Отношение ЛК к Лт дает, как известно из механики, силу, действующую иа Л5, а отношение этой силы к Л5 даст давление р. Молекулы движутся совершенно беспорядочно, хаотически; все направления движения равновероятны, нн одному из ппх пе может быть отдано предпочтение перси другимп. Основанием для такого утвррждения служит то обстоятельство, что давление газа на стенки сосуда всюду одинаково. Если бы движение молекул в каком-то направлении преобладало, давление газа на участок стенки, лежащий в этом направлении, было бы, естественно, больше. Скорости молекул могут быть самыми различными по величине. Ьолее того, скорость молекулы должна меняться, вообще говоря, при каждом соударении'), причем с равной вероятностью она может как возрасти, так и уменьшиться.
Это следует из того„что суммарная кинетическая энергия двух молекул до и после их соударения должна быть одинакова. Следовательно, воз. рпстание скорости одной молекупы должно сопровождаться одновременным уменьшением скорости другой. Для облегчения решения поставленной задачи мы введем некоторые упрощения, касающиеся характера движения молекул. Во-первых, будем полагать молекулы движущимися только вдоль трех взаимно перпен- ') Напомним, что прн упругом пептрапьном соудареннн двух шаров равной массы шары обмепнвааттсп скоростями.
324 Л1У = —. ЛЗЛ1, ! и (99.2) где л — число молекул в единице объема. дикулярных направлений. Если газ содержит Ф молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться ЛЧЗ молекул, причем половина из них (т. е. У/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина в противоположную (рис. 2!9). Основываясьнатаком предположении, мы будет счи- г" тать, что в интересующем нас направлении (например, по нормали к данному элементу стенки Ь5) движется 1/6 часть молекул. х» ~ Ф Второе упрощение состоит в том, что всем молекулам мы припишем одинаковое значение ско- ~» рости ш Ю ив э Первое упрощение не влияет, как мы покажем в следующем параграфе, па конечный результат вычисления давления; уточнения, к которым приводит отказ от второго упрощения, будут выяснены в этом параграфе.
Вычислим импульс, сообщаемый стенке сосуда ударяющейся о нее молекулой. До удара о стенку импульс молекулы направлен по внешней нормали к ЛЯ (рис, 226) и равен тт. В результате удара импульсменяет знак. Таким образом, приращение импульса молекулы оказывается равным -ма Мриаю ( — глт) — (тт) = -от. (99.1) ФУЮ По третьему закону Ньютона стенка получает при ударе импульс 2щт, имеющий направление нормали.
Ряс, 220. За время И до элемента стен- ки ЛБ долетят все движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с основанием ЬЗ и высотой и И (рис. 221). т1ясло этих молекул равно Т > фп 1! 1 ! а число ударов о единичную площадку (Л5 = ! м') за секунду '(- глг ЛУ 1 — = — ло, ,ьулг б Умножив число ударов (99.2) на импульс (99.!), сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс ЛК, сообщаемый элементу стенки Л5 за время Лй (99.3) ЛК=2тг> — пг>Л5Л! = — лл>о Л5ЛЛ ! ! 6 3 Отнеся импульс Л>( к промежутку времени Л(, получим силу„действующую на Л5.
Наконец, отнеся полученную силу к площадке Л5, получим давление газа, оказываемое им на стенки сосуда. Следовательно, 2 р= = — лл>о . ЛЯЗ> 3 (99.4) Учнтывая, что е = л>от>2 представляет собой кннетн. ческу>о энергию поступательного движения молекулы, выражению для давления можно придать следующий внд: (99.5) 326 Можно, правда, возразить, что часть этих молекул на своем пути и стенке претерпит столкновения с дру.
гимн молекулаьш, вследствие чего изменит направление своего движения н не достигнет Л5. Однако соударення не нарушают хаотического характера движения моле. кул: переход некоторого количества молекул нз группы, движущейся по направления> к стенке, в группы, движущиеся в других направлениях, сопрово>кдается одновременным переходом такого.
же числа молекул из другик групп в группу, движущуюся по направлению к стенке. Поэтому при вычислении количества молекул, долетающих до стенка, соударения молекул друг с другом ь>ож~ но не прнпимать во внимание. В соответствии с (99.2) число ударов молекул о площадку Л5 за единицу времени будет равно лд лл — = — но Л5, Л> 6 Прежде чем приступить к анализу полученных формул, выясъныц как повлияет на их вид отказ от предположения о равенстве скоростей всех молекул.
Пусть скорости молекул различны, причем из и молекул, содержащихся в единице объема, п~ молекул пме1от скоРости, пРактически Равные о„лт молекУл имеют скорость о, и вообще п; молекул имеют скорость ее Очевидно, что и, +из+ ... +н;+ ... =- а, =-а. Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости молекул. Для этого нужно сложить скорости всех л молекул и разделить полученный результат на и: 3 й и= г1+а1+ ° ° ° +с!+сг+ю„+ ° ° ° +~2+- + И+ ~с+ ° + гч ' а При этом мы должны взять и, слагаемым а~ раз, пав слагаемым а, раз и т, д.
Следовательно, с можно записать в виде б— а,с, +а,о,+... -~-акэ-Ь... 1 '~1Ч 99 б) Н М вЂ” н;ио (99. Проведя аналогичные рассуждения для кинетической энергии поступательного движения молекулы а, найдем для среднего значения этой энергии следуюсцее выражение: 1 ът и~'~ с н (99.7) 327 / где а; — число молекул, облада1ощих энергией, практически равной еь Замеп1м, что согласно (99.7) суммарная кинетическая энергия молекул, содержащихся в единице объема, равна пе -- произведению числа молекул в единице объема на среднюю энергию одной молекулы, причем этот резулспат не зависит от конкретного вида распределения молекул по скоростям.
Полагая, что молекулы каким-то образом распределены по скоростям. определим число ударов молекул о стенку сосуда. Среди молекул, обладающих значением скоРости оь нме1отсЯ молскУлы, движУщнесЯ в самых различных направлениях. Поэтому можно упрощенно считать, что по направлению к элементу стенки ЬЯ движется Цб часть таких молекул. Следовательно, из числа молекул, имеющих скорость оь достигает элемента Ь5 (рис.
222) за время Ь! фас с с с 3 с ! с с ,с сс сваг с $1 г с Щг, Мг)с— Ът чгт 1 ЬК= т 2слогЬйсс= т 2сли,— л,е, ЛЯЛ!. 6 Чтобы получить давление, нужно Лс( разделить па ЬЗ и Лс! сиот 2 Р=З ХЛС 2 З ~)ЛСЗ" где з! = то~/2 — кинетическая энергия поступательного движения молекулы, имеющей скорость оо ') Эта Формула является приближессссой. Более строгий расчет (см.
следуюпгий параграф) приводит к с)сормуле ай! ! — = — ло. аз а! 4 326 ЛМс — лспс ЛЯ ЛЛ (99.8) А полное число ударов молекул любых скоростей уз с 6 '.ю! "с'с. Заменяя ~~'.~лсзс в соответствии с (99.6) через сто, получим для числа ударов об единичную площадку в единицу времени следующее выражение: Ж' — = —. лд ). (99.9) сгст' ! азлг 6 Это выражение отличается от полученного нами ранее (99.8) только тем, что влгесто одинаковой для всех молекул скорости о в него входит средняя скорость молекул р.
Рис. 2л!. Каждая нз Лйс молекул [см. (99.8)) при ударе о стенку сообщает ей импульс 2лгпс. Суммарный импульс, сообщаемый ЛЗ за время Ь! молекулами всех скоростей, равен Заменяя в соответствии с (99.7) ~,п;в, через пг, получим: 3 3 ри~Р р = —.пс = —.и —.
3 3 2 * (99ЛО) Это выражение отличается от ранее полученного выражения (99.5) тем, что вместо одинаковой для всех молекул энергии в в него входит средняя энергия г. Уравнение (99.10) является основным в кинетической теории газов. Согласно этому уравнению давление равно двум третям кинетической энергии поступательного движения молекул, заключенных в единит(е объема. Из (99.10) следует, что при постоянном и (т. е.
при непзггенпом объеме данной массы газа) давление пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекулы в. Вместе с тем мы видели в предыдущем параграфе, что температура Т, измеренная по идеальной газовой шкале, определяется как ве. личина, пропорциональная давлению идеального газа при постоянном объеме. Отсюда следует вывод, что тем» пература Т пропорциональна е. Чтобы найти коэффициент пропорциональности между абсолютной температурой Т и г, сопоставим уравнение (99.10) с уравнением состояния идеального газа (98.13). Для этого умно'ким уравнение (99.!О) па объем кнломоля К,,: р) яи = . (паяя) е 2 Замечая, что произведение числа молекул в единице объема на объем одного киломоля равно числу Авогад. ро, последяее равенство можно написать в виде: 3 рГ„„= —., Уке.
Сопоставляя это уравнение с уравнением состояния идеального газа для одного кнломоля рт', =ЙТ, мы заключаем, что 3 :Жкй= КТ, 3 откуда в=т йТ, 3 (99. 1! ) где буквой й обозначена величина Р/!Уж называемая по. сто ниной Вол ьцм а на. Ее значение равно й = — ' = 1,38.
10 — = ! 38. 10 а,З! !О' и дж -<г врг Ф,~ 6,02 1сгг ' град ' град ' Итак, ыы пришли к важному выводу: абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии движения одной молекулы. Этот вывод справедлив не только для газов, но и для вещества в любом состоянии. Выражение (99.11) замечательно в том отношении, что средняя энергия е оказывается зависящей только от температуры н не зависит от массы молекулы. Заменив в уравнении состояния идеального газа Й через й<г<й и учитывая, что Л'„/Ггв равно и, можно получить важную формулу: (99.!2) р = пйТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
