Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Прн адиабатическом процессе связь между давлением и объемом данной массы газа дается уравнением (103.4). Поэтому можно написать, что Р (5 Лх)т = Р' (5 (Лх + ЛИГ = Р' ~5 ~бх + — Ьх)~ = - Р'Р лх)т (1+ — «), где у — отношение теплоемкостн газа прн постоянном давлении к теплоемкости прн постоянном объеме. Со- кратив на (ЗЛх)т, получим: Р( дх) (88.2) Из найденного нами соотношения легко получить выражение для Ьр: ЬР Р' — Р = — УР—.
(88.3) Воспользовавшись тем, что по предположению д: дй )т — "- ~1, разложим выражение 11+ — 1 в ряд по стедх дх пеням — и пренебрежем членами высших порядков д$ дх малости. В результате мы придем к формуле: Р=Р (1+У ~.) ° Решим это уравнение относительно Р': '. = (1- ЙГ)- 1+т —" дх 1 ') Мн восвольвовеллсь формулой — ~ 1-х, спреведли1+х вой еле х К 1. Поскольку у — величина порядка единицы, из (88.3) вытекает, что ~ — ~ = ~ — ~. Таким образом, условие дт Р— <(1 физически означает, что отклонение давления д$ ах от среднего значения много меньше самого давления. Это действительно так: для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает 1 мм рт, ст., в то время как атмосферное давление р имеет величину порядка 10з мм рт.
ст. Проднфференцировав выражение (88.2) по х, найдем, что др' д~й УР дх дх' ' Наконец, подставив найденное значение — в формуар' дк лу (88.1), получим дифференциальное уравнение дЪ р д~5 дх' тр д~ (88.4) Сопоставление (88.4) с волновым уравнением (80.4) дает для скорости звуковых волн в газе следующее выражение: (88.6) Р (иапомннм, что р и р — давление и плотность невозмущенного волной газа).
На первый взгляд может показаться, что скорость звука в газе зависит от давления, Однако это не так, потому что изменение давления сопровождается изменением плотности газа. При обычных давлениях поведение газов хорошо описывается уравнением р1 = — йт (88.6) Р (~и — масса газа, заключенного в объеме г'; р — масса моля, численно равная молекулярному весу газа). Разделив массу газа гн на его объем Ъ; можно получить плотность р.
Разрешив уравнение (88.6) относительно гн/К находим: р Р= = г ° у кг' Подставив это выражение для плотности в (88.8), полу- чим для скорости звука в газе следующую формулу: ~ тяг (88.7) Р Отсюда следует, что скорость звука в газе зависит ог температуры и от значений характеризующих газ вели- чин у и р. От давления скорость звука в газе не зависит.
Средняя скорость теплового двиэкення молекул оп- ределяется по формуле 1смя (106.!7)). Сравнение этой формулы с (88.7) дает, что скорость звука в газе о связана со средней ско- ростью молекул соотношением (88.8) Подстановка значения у для воздуха, равного 1,4, 'дает, что о з/4 р„,„. Максимальное возможное значе. йие у составляет Чз. В этом случае о = ~7з й„„,„. Таким образом, скорость звука в газе оказывается того же по* рядка, что и средняя скорость теплового движения мо лекул, но всегда несколько меньше, чем р„,, Оценим величину скорости звука в воздухе при ком- натной температуре (при абсолютной температуре поряд- ка 290'К).
Для воздуха у = 1,40, р = 29. Универсаль- ная газовая постоянная ранна 8,31 ° 10з дж/кмоль ° град. Подставим эти значения в формулу (88.7); о = у — ~/ ' = 340 м/сек. Г ткт I' 1,4о. а,з1 1о'зэо н г зз Найденное нами значение о хорошо согласуется с величиной, полученной опытным путем. Измерив скорость звука в газе с известным молекулярным весом, можно по формуле (88.7) вычислить у — отношение теплоемкостей газа прн постоянном давлении н при постоянном объеме.
Этим приемом пользуются на практике. Весьма существенно то, что звук не обнаруживает дисперсии, т. е. зависимости скорости от частоты. Такая зависимость, очевидно, сделала бы невозможной нлн во всяком случае сильно затрудненной речь и не позволила бы нам наслаждаться музыкой. 294 9 89. Шкала уровней силы звука Под интенсивностью звуковых воли понимают сред нее значение плотности потока энергии, которую несет с собой волна. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальнойинтенсивностью, которая называется порогом слышимости. Порог слышимости несколько различен для равных лнц ИР РР ЕРР 1 гре ее' Ритрее УР ер Р ГР гж гт РРРРР аеи Рис.
2!1. и сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1000 до 4000 ги. В этой области частот порог слышимости составляет в среднем около 10-и эра~срез ° сек. При другах частотах порог слышимости лежит выше (см. нижнюю кривую на рис. 211). Г1ри интенсивностях порядка 10з — 10е эре/схеэ свес волна перестает восприниматься как звук, вызывая в ухе лишь ощущение боли н давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения. Порог болевого ощущения, так гке как н порог слышимости. зависит от частоты (см. верхнюю кривую на рис. 211; данные, приведенные на этом рисунке, относятся к среднему нормальному слуху).
Субъективно оцениваемая громкость возрастает гораздо медленнее, чем интенсивность звуковых волн. При возрастании интенсивности в геометрической прогрессии громкость возрастает приблизительно в арифметической прогрессии, т. е. линейно. На этом основании уровень громкости Ь определяется как логарифм отношения 29б интенсивности данного звука 7 к интенсивности 1о, принятой за исходную: А =1я —. (89.1) Исходная интенсивность (ч принимается равной 10-з эрг/слР ° сек, так что порог слышимости при частоте порядка 1000 гц лежит на нулевом уровне (7.
= О). Единица уровня громкости 7., определяемая формулой (89.1), называется белом. Обычно пользуются в 10 раз меньшими единицами — децибеламп (дб). Очевидно, что значение 7, в децибелах определяется формулой (89.2) Отметим, что отношение двух любых интенсивностей 7~ и Ух также может быть выражено в децибелах: (89.3) По формуле (89.3) может быть выражено в децибелах уменьшение интенсивности (затухание) волны на некотором пути. Так, например, затухание в 20 дб означает, что интенсивность уменьшается в 100 раз.
Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в человеческом ухе звуковое ощущение (от 10 ' до 10ч эра/слР ° сек), соответствует значениям уровня громкости от 0 до 130 дб. В таблице 3 приведены ориентировочные значения уровня громкости для некоторых типичных звуков. Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала. Если, например, предположить, что стакан с водой полностью поглощает всю падающую на него энергию звуковой волны с уровнем громкости в 70 до (в этом случае количество поглощаемой в секунду энергии будет составлять примерно 60 10-т эра/сек), то для того, чтобы нагреть воду от комнатной температуры до кипения, потребуется время порядка тридцати тысяч лет. Найдем связь между интенсивностью звуковых волн 7 и амплитудой колебаний давления (Ьр),„.
В начале взз Таблица 3 Уранова граинасти, дд Интснсивиосгь арманд саи Хараитаристниа звука 10 10 !О 10 1О 10 Тиканне часов . Шепот па расстоянии ! м Тихкй разговор Речь средней громкости . Громкая речь Крик Шуау самолетного мотора: па расстоянии 5 м . на расстоянии 3 м . 20 30 40 00 70 30 103 ни !20 130 этого параграфа было указано, что интенсивность г совпадает со средним значением плотности потока энергии, которое в соответствии с (82.)0) равно ) =)ц,= 2 ро е'о, (89.4) е .
/ х! ! к! Лр = — ура — з)п е ! ! — — 1 7= — (Ьр) з)п е! ! — — ~. О о г«( ) ° Отсгода следует, что амплитуда колебаний й (т. е. о) связана с амплитудой колебаний давления (Ьр) соотношением (Ьр)нгр (89.5) трм ') Под частицами среды подразуыеваются ие отдельные моле. кулы, а макроскопнчсские (т.
е. заключауощие в себе большое количество молекул) объемы, линейные размеры которых много меньше длины волны. где р — плотность невозмущенного газа, а — амплитуда колебаний частиц ') среды, т. е. амплитуда колебаний величины й, е — частота, о — фазовая скорость волны. Пусть й изменяется по закону $=осозе(г — — 7!. хТ о) Тогда — =о — 3!пе~( — — 7!. Согласно (88.3) Лр= дй е . / к! дх = о ! е)' = — ур †. Подставив значение †, получим закон издк д5 д» ' дх ' менения Лр: Легко убедиться в том, что, подставив в формулу (89.4) значение (89.5) для а и значение (88.5) для с, можно после несложных преобразований прийти к соот. ношению (д )2 7 п$ 2Рс (89.6) С помощью этой формулы можно подсчитать, что диапазону уровней громкости от 0 до 130 дб соответ.
ствуют примерные значения амплитуды колебаний давления воздуха от 3. 1О 4 дан/с.из (т. е. 2 ° !О-т я~м рт. ст.) до 1000 дан!см' ( 1 мл рт. ст.). Произведем оценку амплитуды колебаний частиц а и амплитуды скорости частиц (К)„,. 1-!ачнсм с оценки величины а, определяемом формулой (89.5).
Приняв во с Л внимание, что — = —, получим соотношение: а 2в' ч ! (ЛР) О ! (ЬР) Л 2М Р ' Р (89.7) (у = 1,5, следовательно, 2ау = 10). При громкости в 130 дб отношение (ар)„,/р имеет велвчину порядка 10-з, при громкости в 60 дб это отношение составляет примерно 2 10 '. Длины звуковых волн в воздухе леткат в пределах от 17 м (при т=20 гг() до 17 мм (при т = 20000 гц), Подставив эти данные в формулу (89.7), найдем, что при громкости в 60 дб амплитуда колебаний частиц составляет -3. 10-4 мм для самых длинных волн и -3 10 т лм для самых коротких волн. Прн громкости в 130 дб амплитуда колебаний для самых длинных волн достигает 1,7 мм.
При гармонических колебаниях амплитуда скорости (й)„равна, как мы знаем, амплитуде смещения а, умноженной на круговую частоту ек (в) = аы. Умножив выражение (89.5) на ы, получим соотношение: Ь)т ! Фут ЯР)т т Р Р (89.8) Следовательно, прп громкости в 130 дб амплитуда ско- рости составляет примерно 340 и!сея 10 з = 0,34 м7сгм, 298 При громкости в 60 дб амплитуда скорости будет по. рядка О,1 хси/сек. Заметим, что, в отличие от амплитуды смещения, амплитуда скорости пе зависит от длины волны. 9 90. Ультразвук Для того, чтобы получить направленную, т. е. близкую к плоской, волну, размеры излучателя должны быть во много раз больше длины волны. Звуковые волны в воздухе имеют длину примерно от 15 м до 15 мл В жидких н твердых средах длина волны оказывается еще большей (скорость распространения звуковых волн в этих средах больше, чем в воздухе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
