Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пучности н узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны. Обратимса снова к уравнению (84.(), Множитель ( хГ 2асоз2я — ) при переходе через нулевое значение ме- л! пнет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на я, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются.в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одной и той У«ее У«ее У«ее У»ее 1 ! Ри«. 204. (84.Я (84.6) же фазе). 1!а рнс.
204 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотографпя» соответствует моменту, когда отклонении достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелкаян показаны скорости частиц. Проднфференцнровав уравнение (84Л) по х и г, мы найисм закон, по которому изменяется деформация среды и н скорость частиц а: а = — = — 2 — а з(п 2п — соз гиг дЦ 2и . х дх Х э а = — = — 2г«а соз 2п — зйп гзг.
дй, х дГ А Уравнение (84.5) описывает стоячую волну деформации, а (84.5) — стоячую волну скорости. Из вида этим уравнений следует, что узлы и пучности скорости сов. падают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностямн и узлами скорости и смещения (рис. 205). В то время как $ н е достигают максимальных значений, к обращается в нуль, и наоборот. Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточен- Уж 4 Лутииии7и /7уииюиии Угиии ную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости).
В резуль. тате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям н обратно. Средний поток энергии в любом сечении волны равен нулю. й 85. Колебания струны В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечным колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны распочагаться узлы. Поэтому в струне возбуж. даются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз (рис. 206). Отсюда вытекает условие )=п- нлн Л„= — „(п=), 2, 3, ...), (85.)) Л 2Г где ( — длина струны.
Длинам волн (85.!) соответствуют частоты з 21 в (и = (з 2, 3, ...) л (о — фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины, т. е. линейной плотностью струны). Частоты т„называются собственнь| ми частот а м и колебаний струны. Собственные частоты оказываются кратными частоте О У1 = у ~ которая нааывается основной частотой. Частоты, отве- Рис. 206. чающие и = 2, 3, ..., носят название обертонов (первый обертон соответствует и = 2, второй а = 3 и т. д.). В общем случае колебания струны могут представлять собой наложение нескольких стоячих волн с различнымк собственными частотами.
й 86. Эффект Допплера Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приемником. Когда источник н приемник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, будет равна частоте та колебаний источника. Если же источник нли приемник либо оба они движутся относительно среды, то частота ч, воспринимаемая прнемни. ком, может оказаться отличной от чм Это явление называется эффектом Допплера. Для простоты предположим, что приемник и источник движутся вдоль соединяющей нх прямой.
Скороств источника о„„будем считать положительной, если источник движется по направлению к приемнику, и отри. цательной, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемника о,р будем считать положи. тельной, если приемник приближается к источнику, и 287 Рв«207. (рис. 207). Следовательно, т» <гребней» и «впадин» вол пы уложатся на длине о — о„...
так что длина волны будет равна »ист (86.1) то аппо неподвижного приемника пройдут за секунду «гребни» и «впадины», укладываюгцпеся на длине о. Если приемник движется со скоростью о,р, то в конце секундного промежутка времени он будет воспринимать «впадину», которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на ш Таким образом, приемник воспримет за секунду колебания, отвечающие «гребням» и «впадинам», укладываюшимся на длине и + о„р (рис. 208), и будет колебаться с частотой 6+ »<» т= —. А (86.2) Подставив в (36.2) выражение (86.1) для г,, получаем: я=то "" ° (86.3) отрицательной, если приемник удаляется от источника.
Если источник неподвижен и колеблется с частотой т«, то к моменту, когда источник будет завершать то-е колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь о (о — скорость рас. пространепия волны относительно среды). Следовательно, порождаемые источником за секунду та «гребней» и «впадия» волны уложатся на длине ш Если же источник движется относительно среды со скоростью о»сп то в момент, когда источник будет завершать т»-е ьолеба) ние, «гребень», порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии о — и»«» Согласно формуле (86.3) прп таком движении прием ника и источника, что расстояние между ними сокра* щается, воспринимаемая приемником частота т оказывается больше частоты источника рть Если расстояние между источником н приемником растет, т будет меньше, чем то Когда направление движения источника и приемника не совпадает с направлением соединяющей ях прямой, р еееееаеед Рнс.
9ОВ. в формуле (86.3) под пв„и п„р следует понимать проек» ции скоростей источника и приемника па направление указанной прямой. 9 87. Звуковые волны Если упругие волны, распространяющиеся в воздухе, имеют частоту в пределах примерно от 20 до 20000 ец, то, достигнув человеческого уха, они вызывают ощущение звука. В соответствии с этим упругие волны в любой среде, имеющие частоту, лежащую в указанных пределах, называют звуковыми волнамн илн просто звуком.
Упругие волны с частотой, меньшей 20 гц, называют инфра звуком; волны с частотамн, превышающими 20000 гц, называют ул ьт р а з в у к о м. Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит. Звуковая волна в газах и жидкостях может быть только продольной и состоит из чередующихся сжатий и разрежений среды. В твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. Воспринимаемые звуки люди различают по высоте, тембру и громкости. Каждой из этих субъективных оценок соответствует определенная физическая характеристика звуковой волны. Всякий реальный звук представляет собой не простое гармоническое колебание, а является наложением гармоническпх колебаний с определенным набором частот.
19 и. В. Савельев, е. ! Ы9 Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, называется его акустическим спектром. Если в звуке присутствуют колебания всех частот в некотором интервале от т' до т", то спектр называется сплошным. Если звук состои~ нз колебаний дискретных (т. е. отделенных друг от друга конечнымн интервалами) частот ть тм та и т.
д., то спектр называется лннейчатым. г!а рис. 209 показан сплошной (вверху) и лнпейчатый (внизу) спектр. По осн абсцисс отлонсена частота колебания т, по оси ординат — его интенсивность !. Сплошным акустическим спектром обладают шумы. Колебания с линейчатым спектром выг зывают ощущение звука с более нлн менее определенной высотой. Такой звук называется тональным.
Высота тонального звука ъ~ " Рй « ( шей) частотой (см. частоту т, на Рас. 209. рис. 209). Относительная интенсивность обертонов (т. е. колебаний с частотами тм та и т. д.) определяет окраску, илн тембр, звука. Различный спектральный состав звуков, возбуждаемых разными музыкальными инструментами, позволяет отличить на слух, например, флейту от скрипки или рояли. $88. Скорость звуковых волн в газах Упругая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа. Следовательно, давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся отклонение Лр от среднего значении р, совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие волн. Таким образом, мгновенное значение давления в некоторой точке просгран- ') К этому параграфу следует вернуться после того, как будут научены $102 н 103, й99 ства можно представить в виде р'= р+ Лр Пусть звуковая волна распространяется вдоль осих.
Подобно тому, как мы поступили в 8 8! при нахожде« нпп скорости упругих волн в твердои среде, рассмотрим объем газа в виде цилиндра высоты Лх с площадью 4 4'44 основания 5 (рис. 218). Масса газа, заключенного в этом объеме, равна р5Лх, ах ' где р — плотность невазму- 1 1 щенного волной газа. Ввиду малости Лх ускорение во всех точках цилиндра мож. но считать одинаковым и д28 равным —. дР ' 1 Для нахождения силы ), действующей па рассматриваемый объем газа, нужно взять произведение площади основания цилиндра 5 иа нас. ыо. разность давлений в сечении (х+ ~) и в сечении (х+Лх+ ~+ Л$).
Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (81.5), получим: = — — 5Л. др' дх 1напомннм, что при выводе формулы (81.5) использовалось предположение: Л5 ~ Лх). Йтак, мы нашли массу выделенного объема газа, его ускорение и действующую на него силу. Теперь напишем для этого объема газа уравнение второго закона Ньютона: (р5 Лх) '* = — — 5 Лх. д"'й дл' дР дх После сокращения на 5 Лх получим: д-з др' Р дР дх ' В полученном нами дифференциальном уравнении содержатся две неизвестные функции: $ и р'. Для того чтобы уравнение можно было решить, нужно выразить И* 291 одну из этих функций через другую.
Для этого найдем связь между давлением газа Р' и относительным изменением его объема —. Эта связь зависит от характера д$ дх процесса сжатгя (пли расширения) газа. В звуковой волне снсатня н разрежения газа следуют друг за другом так часто, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, н процесс можно считать адиабатнческнм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
