Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 42
Текст из файла (страница 42)
был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским Лг физиком Н. А. Умовым и называется в е к т о р о м У м о в а. Рне 200. Вектор (82.9), как и плотность энергии и, различен в разных точках пространства, а в данной точке пространства изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение его с учетом (82.8) равно ),р —— ич = — ра'ьгч. 1 (82.10) Зная ) в некоторой точке пространства, можно найти поток энергии через помещенную в эту точку любым об- згз разом ориентированную малую площадку ЛЯ (рнс. 200). Для этого спроектируем Л5 на плоскость, перпендикулярную к вектору ). Величина проекции ЛЯ будет, очевидно, равна (82.1!) ЛЯ„= ЛЯ сова, где а — угол, образованный нормалью и к ЛЯ н вектором 1.
Вследствие малости ЛЯ можно считать, что через ЛЯ течет такой же поток, как и через ЛЯ . Поток гке через Л5 „в соответствии с (82.7) равен ЛФ =1ЛЯ„. Заменяя Л5 его значением (82.11), получаем: ЛФ = (ЛЯ соз а. Но 1соза есть не что иное, как величина составляющей вектора ) по направлению нормали п к площадке ЛЯ: 1 =(сова. Следовательно, можно написать, что ЛФ = )„ЛЯ. (82. 12) Итак, поток энергии через малую площадку ЛЯ равен произведению нормальной составляющей вектора плотности потока энергии иа ЛЯ.
Зная 1 в любой точке произвольной поверхности Я, можно вычислить поток энергии Ф через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность ца элементарные участки Л5, столь малые, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а вектор 1 в пределах каждого ЛЯ можно было считать постоянным как по величине, так и по направлению. Тогда элементарный поток ЛФ через каждый участок Л5 можно вычислить по грормуле (82.12), беря для каждой ЛЯ свое значение 1„, которое зависит от.величины вектора 1 в том месте, где расположена площадка Л5, и от ориентации этой пло* щадки по отношению к 1. Полный поток через поверхность 5 будет равен сумме элементарных потоков: Ф= 2~~ЛФ= ~'1,ЛЯ. (82. 13) 279 Полученное нами выражение является приближенным.
Чтобы получить точное значение Ф, нужно устремить все Л5 к нулю. При этом сумма (82.13) перейдет в интеграл (82.14) который должен быть взят по всей поверхности 5. Формула (8214) дает связь между плотностью потока энергии в различных точках поверхности и 'потоком энергии через эту поверхность. Вычислим поток энергии через волновую поверхность сферической волны. Нормальная составляющая вектора плотности потокз энергии во всех точках волновой поверхности одинакова и имеет среднее значение — 1 1 = — ра'в'и » з (а.— амплитуда волны на расстоянии г от источника).
Вынося в (82.!4) постоянное значение 1» за знак интеграла, получим: Ф =1 5 = — ра'м-п4лг-, — 1 сг»х»» Если энергия волны не гюглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса дочжен иметь одинаковое значение: Ф, 2ярмеоаэгз = сопз1. р»»» г Отсюда следует, что амплитуда а» сферической волны обратно пропорциональна расстоянию г от источника волны [см. (?8.9)[. В $ ?8 мы отмечали, что амплитуда плоской волны люжет быть постоянной лишь при условии, что энергия волны не поглощается средой. В противном случае интенсивность волны с удалением от источника постепенно уменьшается — наблюдается затухание волны. Как показывает опыт, такое затухание происходит яо эксповенциальному закону.
Это означает, что амплитуда волны убывает с расстоянием х по закону а = аче-т*, так что урав~снне плоской волны имеет вид: а,е-т» саз (а1 — йх). (82. 15) Величина у называется коэффициентом затух а н н я в о л н ы (или коэффициенТом поглощения ') волны).
Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная у, равна расстояишо, на котором амплитуда волны уменьшается в с раз (ср. с коэффициентом затухания колебаний !), ях 73). В соответствии с (82.!О) интенсивность волны (82.!5) убывает с расстоянием х по закону 1е,=1.,ве "" (82. ! 6) уравнение сферической волны, распространяющейся в тюглощающей среде, имеет виэх — тг / гт $ = — соз вт ! ! — — ). г о) (82.!7) й 83. Интерференция и дифракцня волн Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна па другую, не возмущая друг друга.
Это вытекаю!цее пэ опыта утверждение называется принципом с у и е р п о з и ц й и (наложеиия) волн. В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой нз точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются ко гер е н т и ы и и. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. Прп сложении когерентных волн возникает явление и и т е р ф е р е и ц'н и, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Рассмотрим две волны, распространяющиеся от точечных источников О, и От, колеблющихся с постоянной разностью фаз (такие псточншси называются, как и порождаемые няси волны, когерентными). Определим результирующее колебание в какой-либо точке среды при ') Праыьты|ее называть козффиииеитом поглощенна величину„ характеризчощу1о убывание не амплитуды, а спменсивноети волны.
Эта весимииа равна 2т. 26! условии, что оба колебания, вызываемые каждой из волн в отдельности, имеют одинаковое направление (для этого расстояние между источниками волн должно быть значительно меньше расстояния от источников до данной точки либо колебания должны иметь направление, перпендикулярное к плоскости, в которой лежат источники и данная точка).
Пусть фазы колебаний источников О> и О> равны со— ответственно (в>1 + а>) и (ы1 + ат). Тогда колебание в данной точке будет равно сумме колебаний: 5> = а, соз(Ы+а, — йг>), Ц= азсоз(е>1+ аз — йг,), рис. 20К где а, и ат — амплитуды волн в рассматриваемой точке, А — волновое число, г> и гз — расстояния от источников волн до данной точки. В точках, определяемых условием гг(г, — г>) — (а~ — а>) = -~- 2пп (а=О, 1, 2, ...), (83.1) колебания усиливают друг друга н результирующее движение представляет собой гармоническое колебание частоты ы с амплитудой (и> + а>). В точках, для которых Й (г, — г>) — (а, — а>) = .+ 2ч (и + ~ ~ >1 (и = О, 1, 2, ...), (83.2) колебания ослабляют друг друга и результирующее движение является гармоническим колебанием с амплиту.
дой, Равной 1а> — ат). В частном слУчае, когда а> = аь колебания в этих точках будут отсутствовать. Условия (83.1) и (83.2) сводятся к тому, что г, — гз = сонат. (83.3) Из аналитической геометрии известно, что уравнение (83.3) есть уравнение гиперболы с фокусами в точках О> и Оь Таким образом, геометрические места точек, в которых колебания уси,кивают или ослабляют друг друга, представляют собой семейство гипербол (рис. 201, 282 отвечающий случаю а~ — ае — — О.
Сплошными линиями указаны места, в которых колебания усиливают друг друга, пунктирными — места, в которых колебания ослабляют друг друга). Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Это явление называется ди фракцией.
Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, которым устанавливается способ построения фронта волны в момент времени (+М по известному положению фронта в момент времени й Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент (рис.
202, среда предполагается неоднородной— скорость волны в нижней части ри- Ряс. ЗО2. сунка больше, чем в верхней). Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 203). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового 1 1 1 1 Рис.
203. фронта служит центром вторичных волн, которые в од. породной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающу1о вторичных волн, мы убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени (на рисунке границы этой области показаны пунктиром), огибая края преграды. й 84. Стоячие волны Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной.
Практически 283 ~ = (2а соз 2п — 1 соз вг. Х) (84.1) Уравнение (84.!) и есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той >ке частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда оказывается зависящей от х: х амплитуда = ~ 2а соз 2п — ~. Х В точках, где 2„; — "„= (п-О, 1, 2, ...), (84.2) амплитуда колебаний достигает максимального значения 2а. Эти точки называются пучн ости и н стоячей вол- ны. Из условия (84.2) получаются значения координат пуч настей: Х хатун 2 (и О, 1, 2, ...). (84.3) В точках, где 2 " (и+ — ') ( =О,1,2,....), амплитуда колебаний обращается в нуль.
Эти точки на- зываются узла и н стоячей волны. Точки среды, нахо2З4 стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг па друга, дают стоячую волну. Напишем уравнения двух плоских волн, распростра. ю ющихся в противоположных направлениях: й, а соз (в1 — йх), $т = а соз (в1 + йх). Складывая вместе оба уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получаем: $ = ~, + $, = 2а соз йх соз вй Заменив волновое число А его значением 2т9, выраже. нию для $ можно придать следующий вид: дящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следу|ощие значения: хжх=-.+ (я+ — ) — (а=О, !, 2, ...). (84.4) гг А Из формул (84.3) и (84.4) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно Ц2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
