Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Лн Отметим, что множитель 2а сов — 1 не только опре- 2 деляет амплитуду, но и влияет на фазу колебания, Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки М, и Мт на рис. 173, а) „ й 71. Сложение взанмнвперпеидикулярных колебаний Рассмотрим систему, обладающую двумя степенямн свободы, т. е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины, Примером можег служить тяжелый шарик, подвешенный па легкой длинной пружине, конец которой закреплен на шарнире так, 242 (71.
1) что шарик вместе с пружиной может совершать маятникообразные колебания в одной плоскости. Положение шарика можно определить, задав угол ~р, образуемый осью пружины с вертикалью, и расстояние 1 от оси шарнира до центра шарика. Шарик может участвовать в двух колебаниях: во-первых, в колебаниях, при которых изменяется угол гр, во-вторых, в колебаниях, при которых изменяется расстояние 1.
Частота первого колебания определяется длиной пружины 1 и ускорением силы тяжести а, частота второго— коэффициентом упругости пружины й и массой шарика и. Если возбу- гг дить одновременно оба колебания, то шарик, вообще говоря, будет рг двигаться по некоторой сложной траектории (рис. 175), форма которой зависит от соотношения частот и начальных фаз обоих колебаний. В качестве второго примера рассмотрим тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (математический маятник) '). Этот Рис. 175. шарик может совершать два колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, причем частоты обоих колебаний точно совпадают (обе частоты-определяются длиной маятника 1 и ускорением силы тяжести д).
В атом случае шарик, вообще говоря, движется по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаа обоих колебаний. Перейдем к сложению двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты от, совершающихся вдоль координатных осей х н у. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом: х = а соз ш1, у Ь соз (ш1 + а), где а в разность фаз обоих колебаний. ') В 6 66 ь~ы предполагали, по такой маятник совершает колебания в заданной плоскости, вследствие чего его можно было рассматривать как систему с одной степенью свободы. 16а 243 Выражения (71.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебзниях.
Чтобы получиль уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (71.1) параметр й Пз первого уравнения следует, что соз в1 = — „. (71.2) Следовательно, з!и ь1 =1/1 — х ил ' (71.3) Теперь развернем косинус во втором из уравнений (71Л) по формуле для косинуса суммьп подставляя при этом вместо созы1 и з1пь( их значения (71.2) и (71.3). В результате получим: и х хл — = — соз а — з!и а У 1 — —,. 6 и У ил' Последнее уравнение после несложных преобразований люжно привести к виду хл и' зла —.. + — — — '' соз а = э!пл а. ся ал ил (71 Л) Как известно из аналитичсскои геометрии, уравнение (71.4) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и д произвольно.
Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а и Ь и разности фаз а. Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях. 1. Разность фаз а равна нулю. В этом случае уравнение (71.4) принимает вид откуда получается уравнение прямой 6 у= — х.
и (7!.5) Колеблющаяся точка перемешается по этой прямой, при. чем расстояние ее от начала координат равно г= ф'х'+у'. Подставляя сюда выражения (71.1) для х 244 Из (71.6) следует, что результирующее движение является гармоническим колебаиием вдоль прямой (71.5) с частотой м и амплитудой, равной )/аэ+ Ь' (рнс.
176). Рис. 177. Рис. 176. 2. Разность фаз а равна ~п. Уравнение (71.4) имеет внд откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рнс. 177) Ь Д = — — Х. 3. При сс = ="и/2 уравнение (71.4) переходит в (71.7] т. е, в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд а и Ь эллипс вырождается в окружность. Случаи сс = +и/2 и а = — и/2 отличаются направле. нием движения по эллипсу или по окружности.
Если а = +и/2, уравнения (71.1) можно записать следующим образом: Х = а СОЭ С7!, у = — Ь э!пмЕ. (71.8) и у и учитывая, что а = О, получим закон, по которому г изменяется со временем: г=)7 а11 +ЬУ~созса!. (71.6) В момент 1 = О тело находится в точке 1 (рис. 178). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке. При а = — и/2 уравнения колебаний имеют впд х=асоза1, у =Ьз(пай (71.9) Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки. Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса Й с угловой скоростью а может быть представлено как сумма У двух взаиашо перпендикулярных колебаний: х = )с соз а1, (71.
1О) у= + Йз(па( (знак «+» в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак « †» — движению по часовой стрелке). Рис. 178. В заключение отметим, что в случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Ла, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом: х-асозЫ, у = Ь соз (а(+ (Ла( + а)), н выражение Ла(+ а рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.
Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от — и до +л. 246 й 72. Фигуры Лиссажу Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движешш имеет вид довольно сложных кривйх, называемых Рис. 179. Рис.
160. фигурами Лиссажу. На рис. 179 показана одна из про стейших траекторий, получающаяся при отношении ч,. стот 1:2 и разности фаз и/2. Уравнения колебаний имеют впд х = а соз с>1 р = й сов ~2ь>1+ — ), За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего поло>кения в другое, вдоль оси 1>, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое Рис.
181. положение. При отношении частот 1: 2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис, 180), по которой точка движется туда и обратно. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем слои1нее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 18! для примера показана кривая для отношения частот 3: 4 н разности фаз и!2. $73.
Затухающие колебания (73З) где г — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак ч — » обусловлен тем, что ) и и имеют противоположные направления. Напишем для колеблющегося тела уравнение второго закона Ньютона: гпх = — йх — гх. Перепишем его следующим образом: х + 2(Ы + м„'х = О, (73.2) где применены обозначения: 23= —, в ы О ж' (73.3) (73.4) Заметим, что гээ представляет собой ту частоту, с которой совершалнсь бы свободные колебания системы При выводе уравнения гармонических колебаний мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы.
Если убыль энергии ие восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. Раз колебания свободные, значит, система, будучи выведена внешними силами из пологкення равновесия или получив за счет внешних снл первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Ограничимся рассмотрением малых колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
