Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 36
Текст из файла (страница 36)
170 (67.6) (67.6) будет иметь такой период колебаний, как и данный фи- зический маятник. Величину (67.6) называют приве- 236 точкой подвеса маятника О, на однои с ней вертикали (рис. 170). При отклонении маятника от положения равновесия на угол ~р возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен М = — л~п1 з(п <р, (67.1) где ьч — мзсса маятника, а ! — расстояние между точкой подвеса н центром ниернии маятника. Знак « — » имеет то же значение, что и в случае формулы (66.1).
Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой 7, можно написать: Тф= — ~пй1 з(п ~р, (67.2) В случае малых колебаний (67.2) переходит в уже известное нам урав- ф+ Рр=б. (67.З) Через ем обозначена в данном Ъ; случае следующая величина: о' 3 р Ф (67А) Из уравнений (67.3) н (67.4) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника.
В соответствии с (67.4) период колебания физического маятника определяется выражением Т= 2я )/ —. Г 1 ~ну>,Е ' Из сопоставления формул (66.6) н (67.6) получается, что математический маятник с длшюй пР еп денной длиной физического маятншса. Таким образом, приведенная длина физического маятника — зго длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии йриведенной длины от оси вращения, называется центром к а чан и я физического маятника (см. точку О' на рис. !70). По теореме Штейпера момент инерции маятника 1 ьюжет быть представлен в виде 1 = 1в + гл1>, (67.7) где 1а — момент инерции относительно оси, параллельной осн вращения и проходящей через центр инерции маях- ника. Подставив (67,7) в формулу (67.6), получаем: (67. 8) Из (67.8) следует, что приведенная длина всегда больше 1, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.
Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания О'. В соответствии с (67.8) приведенная длина в этом случае будет равна (67.9) где р — расстояние между первоначальным центром кача|ия и центром инерции маятника. Учитывая, что 1' = 1,р — 1, выражение (67.9) можно записать следующим образом: гю | з 1ча (! |) + 1ча 1 = 1д ~+ (| 6 ((1в+гл1 ) я|11.~.~] Выражение, стоящее в квадратных скобках, рашю нулю. Действительно, 1, + л|1> равно 1 — момешу инерции относительно первоначальной оси вращения; этой >ке величине в соответстгпи с (67.6) равно выражение л>11,а.
Таким образом, мы приходим к выводу, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут темп же, ч|о и вначале. Следовательно. точка подвеса и центр качания обладают свойством взацмиосиг прп переносе гочки 237 подвеси в центр качания прежняя точка подвеси.становится новь|м центром качания. На установленном нами свойстве взаимности основано определение ускорения силы тяжести с помощью так называемого оборотного маятника.
Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которь|е он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы прн подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков.
Тогда расстояние меркду опорными ребрами призм будет равно ьч, Измерив период колебаний маятника н зная 1ир, можно по формуле / ~~~р Г=2я ~~— Ы найти ускорение силы тяжести д. й 88. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного н того же направления, значигельно облегчается и становится наглядным, если нзобрагкать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Возьмем ось, которую обозна. бу г (р .171) Й Рис.
17ц ки О, взятой на оси, отложим вектор длины и, образующий с осью угол а. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью сир, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от — а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем пс закону х = а соз (сии + а). Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, рав- йзз ной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора об. разует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.
9 69. Сложение колебаний одинакового направления Возможны случаи, когда тело участвует одновремен. ио в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений. Если„ например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качаювг 3 Ф 3 щегося на рессорах, та движение шарика относительно поверхности Земли будет скла. дываться из колебаний вагона относительно Земли и колеба- х ний шарика относительно ва- И гона. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний оди- Рис, 172.
пакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений к~ и хь которые запишутся следующим образом: х, = а, соз (мои + п~), (69.1) хз = ат соз (ы4 + а.). Представим оба колебания с помощью векторов а, и аз (рис.
172). Построим по праввлам сложения векторов результирующий вектор а. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: х=х, +х,. Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же 239 угловой скоростью вм как и векторы а~ и аз, так что результиру«пцее движение будет гармоническим колебанием с частотой ьхь амплитудой а и начальной фазой а. Из построения видно, что рз = пг -(- дЯ вЂ” 2п оз ~п — ( — пД = =а',+ а.,'+ 2а,а соз(а — и,), (69.2) хр мп п~ + гм з!ив~ до=в (69.3) а, сьзи, + аг со«ар ' 11так, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операпни сложения векторов. Этот прием бывает особенно полезен, например, в опгпке, где световые колебания в некоторой точке опреде'ляются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.
формулы (69.2) и (69.3) можно, конечно, получить, сложив выражения (69.!) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Но примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью. Проанализируем выражение (69.2) для амплитуды.
Если разноСть фаз обоих колебаний аз — а~ равна пулю. амплитуда результирующего колебания равна сумме а, и аь Если разность фаз аз — а~ равна +п или — и,, т. е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результнруюгцего колебания равна (а~ — аз(, Если частоты колебаний х~ и хз неодинаковы, век. торы а~ и а, будут вращаться с различной скоростью. В зтам случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.
9 70. Биения Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях 240 можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется б и е н н я и и. Обозначим частоту одного из колебаний буквой аэ, частоту второго колебания через сь + Лы. По условию Лы « ы. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а.
Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны пулю. Практически это означает, а1 хл — — ве =- — ' лев Ряс. 173. что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент «запустить секундомер».
Тогда уравнения обоих колебаний будут иметь следующий вид: х,=асозЫ, х,=асов(ев+ Лм)1. Складывая эти два выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем: еьеа х = х, + хв = (2а соз — а) соз а1 (70.1) (во втором множителе пренебрегаем членом Лаа/2 по сравнению с еэ). График функции (70.1) изображен на рис. 173,а. График построен для — = 10. Ьвь Заключенный в скобки множитель в формуле 170.!) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. 16 н.
В. Савельев, е. ! л41 Ввиду условия Ьы « ы за то время, за которое множи» тель сов ыг совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (70.1) как гармоническое колебание частоты ы, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от — 2а до +2а, в то время как амплитуда по оп. ределению — положительная величина. График амплитуды показан па рис. 173, б.
Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид: Ле амплитуда = ~ 2а соз —, (70.2) Функция (70.2) — перно. дическая функция с частоРас. 174, той, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля (см. рис. 174, на котором сопоставлены графики косинуса и его модули), т. е. с частотой Лы. Таким образом, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаш4й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
