Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. с частотой, в 2 раза превыша1ощей частоту гармонического колебания. На рис. 166 сопоставлены графики для х, Ех и Е„. Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине, Следовательно, среднее значение Ех совпадает со средним значением Ер и равно Е~2. й 64. Гармонический осциллятор Систему, описываемую уравнением х+в~х=б, о (64. 1) где во — постоянная положительная,величина [см. 2 (626)), называют гармоническим осциллятор (или гармоническим вибратором).
Как мы у>хе знаем, решение уравнения (64Л) имеет внд: х = а сов (ь>„Г + а). (64.2) Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия. Все результаты, полученные в предыдущих параграфах для гармонического колебания, справедливы, разумеется, и для гармонического осцнллятора. Рассмотрим дополнительно еще два вопроса. Найдем импульс гармонического осциллятора.
Продифференцировав (64.2) по времени и умножив полученный результат на массу осциллятора ш, получим р = л>х = — таво з|п(во>+ а). (64.3) В каждом почожении, характеризуемом отклонением х, осциллятор имеет некоторое значение импульса р. Чтобы найти р как функцию л; нужно исключить время 1 из уравнений (64.2) и (64.3). Для этого представим указанные уравнения в виде — = сов(ь>аГ+ а), — = — ейп (в,1 + а). тав, На рис.
167 изображен график, показывающий зависимость импульса р гармонического осциллятора от отклонения х. Координатную плоскость р, х принято называть фазовой плоскостью, а соответству>оц>пй Возведя этн выражения в квадрат и складывая, получим: (64 4) график — фазовой траекторией.
В соответствии с (64.4) фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями а н гаасоо. Каждая точка фазовой траектории изображает откло. пение х и импульс р, т. е. состояние осциллятора для некотооого момента времени. С течением времени точка, изображающая состояние (ее называют кратко изобразительной точкой), перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход.
Легко убедиться в том, что перемещение изобразительной точки совершается по часовой стрелке. В самом деле, возьмем такой момент вре- +тато мени 1', что ооР + а = 2пп (и — целое число). Этому моменту времени соответст- х вует х=а и р=б (см. точку 1 иа рис, 167). В последующие моменты времени х будет убывать, а р принимает все возрастающие по модулю от- Рно. 1БУ. рицательные значения. Следовательно, изобразительная точка движется так, как показано стрелкой на рис. 167, т, е. по часовой стрелке.
Найдем площадь эллипса. Как известно, она равна произведению полуосей эллипса, умноженному на п~ 2н еа~т~о Я псяпаго о ооо 2 В соответствии с (63.5) та'о~/2 есть полная энергия осциллятора; величина 2п/ооо равна 1/то, где то — собственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной. Следовательно, площадь эллипса может быть представлена в виде 1 5= — Е, то откуда Е = тоо. (64,5) Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора.
231 Площадь эллипса может быть вычислена как интеграл ф рсХх. Поэтому формуле (64.5) можно придать следующий впд: Е= у„~ рдх. Последнее соотношение сыграло большую роль прп создании основ квантовой мсхангши. Теперь рассмотрим вопрос о вероятности, с которой осциллятор может бысть обнаружен в различных положе- ниях. Скорость осциллятора сЫ достигает наибольшего значения в те моменты, когда он проходит через положение равновесия.
В моменты же наибольшего отклонения от положения равновесии скорость обращается в нуль. Отсюда следует, что вероятность обнаружить осцилляем тор вблизи одного из край- них положений будет боль— и Ю кт ~а ше, чем вероятность обнару- жить его вблизи положения рис. 1вз. равновесия. Это поясняется рпс.
168, на котором изображена кривая, определяющая так называемую плотность вероятности — ). Для того побы найти Ие~ Их вероятность с1ш нахождения осцпллятора в пределах данного дх, нужно ординату кривой в соответствующем месте умножить на дх. Например, площадь заштрихованной полоски на рис. 168 числешю равна вероятности дш того, что осциллятор будет обнаружен в вреде. лах данного интервала с1х. Вся площадь под кривой плотности вероятности дает вероятность того, что осцнл.
лятор будет обнаружен в одном из пологкенпй в преде лах от — а до +а, и, следовательно, как вероятность 232 ') Эга кривая ояасывэстся ураааеяяеи лч ! дх я 'г' я' — х~ всякого достоверного события, должна быть равна единице. Отметим, что квантовая механика дает для вероятности различных положений гармонического осцнллятора существенно оглнчный результат, В 65. Малые колебания системы вблизи положения равновесия Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим через х. В такик случаях говорят, что система имеет одну степень свободы.
Величиной х, определяющей положение системы, можег быть угол, отсчитываемый от некоторой плоско. сти, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной криюй, в частности прямой, линии и т. и. Потенциальная энергия системы будет фуякцней одной переменной х: Ер — — Ер(х). Выберем начало отсчета х таким образом, чтобы в положении равновесия системы х был равен нулю.
Тогда функция Ер(х) будет иметь минимум при х=О. Разложим Ер(х) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенямп х люжно будет пренебречь. По формуле Маклорена Е (х) = Е (0) + Ер (0) х + — Ер (0) х (ввиду малости х остальными членами пренебрегаем). Поскольку Е (х) при к=О имеет минимум, Ер(О) равна нулю, а Ер(0) положительна. Введем обозначения: Ер(0)= — Ь, Ер (0) =й (й)0). Тогда Ер( ) =- Ь+ — /г~'-'. (65.
1) Выражение (65Л) идентично с выражением (62.3) для потенциальной энергии системы, в которой действуег квазиупругая сила (константу Ь можно положить равной нулю). Используя соотношение (28.5), можно найти силу, действующую на систему: днр = — — — = — йх. л дл Итак, потенциальная энергия системы при малых от. клонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы.
Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим. й 66. Математический маятник (66. 1) Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое ускорение через ф и учитывая, что момент инерции маятника равен т1а, получаем т(т(р = — тп1 з)пср. ') Рассматривая гр как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта (ато допустимо при малых ~р), противоположность ливков при М и ср можно объяснить тем, что век« торы М и ср направлены в противоположные стороны (рис. !69).
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую нз невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно Ю хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарюс, подвешенный на длинной тонкой нитке. 11 ! Отклонение маятникаот положенияраву . новесня будем характеризовать углом ср, образованным нитью с вертикалью (рис. 169). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине тп1 з)п ср Рис.
сб9. (т — масса, а 1 — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту Миугловому смещению ср нужно приписывать противоположные знаки'). Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид М = — гпд1 з)пср.
Последнее уравнение можно привести к виду ф + ~' з!п~р = О. (66.2) Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить з!п~р = щ. Введя, кроме того, обозначение А <>2 (66.3) мы придем к следующему уравнению: ф+ „р=О, (66.4) которое идентично с уравнением (62.6) для шарика, подвешенного на пружине. Его решение имеет вид ф = а сов(ма1+ а). (66.6) Следователыто, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону. Как следует из (66.3), частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника.
По формуле (62.8) с учетом (66.3) получается известное из школьного курса выражение для периода колебаний математического маятника: Т=2п ф' —. (66.6) Отметим, что, решив уравнение (66.2), можно найти для периода колебаний следующую формулу: Т=2п ~, 11+12) з1п 2+(з 4) 3!и з+ где а — амплитуда колебаний, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник из положения равновесия. й 67. Физический маятник Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под хзб тй Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
