Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Сокращая на 63, имеем: Ра= Р~+Рйй (52.() Таким образом, давления на двух разных уровнях отличаются на величину, численно равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равной единице. ф 53. Выталкивающая сила Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях является наличие выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на тела, находящиеся в жидкости или газе. Чтобы найти величину и направление выталкивающей силы, заменим тело отвердевшим объемом мидасам иа Рис.
139. Рас. 140. жидкости (газа). Г!оскольку этот объем будет находить. ся в равновесии, сила его веса должна уравновешиваться равнодействующей всех сил давления, действующих на его поверхность. Такие же поверхностные силы действуют и на само тело, и их равнодействующая дает выталкивающую сиду. Из сказанного следует, что выталкивающая сила равна веру жидкости в объеме тела и действует вверх по вертикали.
Отвердевший объем остается в равновесии при любых его ориентациях (состояние безразличного равновесия). Следовательно, точка приложения выталкивающей силы совпадает с центром тяжести объема тела. Центр тяжести самого тела совпадает с центром тяжести объема лишь в том случае, если плотность тела во всех точках одинакова. В противном случае они мо- 193 тут не совпадать. Для примера возьмем шар, сложенный из свинцовой и деревянной половинок (рис.
!39). Вы. талкивающая сила будет приложена к центру шара, точка же приложения силы тяжести смещена в сторону свинцовой половины. Если средняя плотность тела меньше, чем плотность жидкости, то в состоянии равновесия тело будет погружено в жидкость только частично. При этом сила тяжести (приложенная к центру тяжести тела) и выталкивающая сила (приложенная к центру тяжести погруженной в жидкость части объема тела) должны быть равны по величине и действовать вдоль одной и той же прямой (рис.
140), иначе они создадут вращательный момент и равновесие будет нарушено. ГЛАВА ИН ГИДРОДИНАМИКА $ 54. Линии и трубки тока. Неразрывность струи Чтобы описать движение жидкости, можно задать траекторию и скорость в функции от времени для каждой частицы жидкости. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства и отмечать скорость, с которой проходят через каждую данную точк1 отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера. Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.
Сов н вокупность векторов т, заданных для всех точек про. странства, образует так называемое поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в двигкуРис 141. щейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором и (рис. 141), Эти линии называются л и н и я м и т о к а. Условимся проводить линии тока так, чтобы густота их (которая характеризуется отношением числа линий АА1 к ееличине перпендикулярной к ним площадки гЪЯ, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте.
Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направле- 200 нии, но и о величине вектора ч в разных точках пространства: там, где скорость больше, линни тока будут гуще и, наоборот, где скорость меньше, лишш тока будут реже. Поскольку величина и направление вектора ч в каждой точке могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, илн с т а ц и о н а р н ы м. Прн стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением ч. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тона. Вектор ч, будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным и к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока. Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока 5 (рис. !42). Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех сд! Рис.
!43. Рис. !42. точках этого сечения. За время Л! через сечение 5 пройдут все частицы, расстояние которых от 5 в начальный момент не превышает значения пбй Следовательно, за время Л! через сечение 5 пройдет объем жидкости, равный 5пЫ, а за единицу времени через сечение 5 пройдет объем жидкости, равный 5о.
Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжнмаема (т. ", плотность ее всюду одинакова и изменяться пе 20! может), то количество жидкости между сечениями 5! и 5х (рис. !43) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекаюшие за единицу времени через сечения 5! и 5ь должны быть одинаковы: 5!г>! 5>н2 (напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не прОходят). Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений 5! н 5ь Следовательно, для несжимаемой жидкости величина 5о в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова: 5о = сопз(. (54. 1) Полученный нами результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи.
Из (54.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (рис. !44) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль осн трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и -~ ~-. к-.,.-. '- связь между скоростью е> течения и давлением будет установлена и еле. дуюшем параграфе. Рис !44.
Теорема о неразрывно- сти струи применима к реальным жидкостям и даже к газам втомслучае,когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующий расчет показывает, что при движении жидкостей и газов со скоростями, меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. й бб. Уравнение Бернулли Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемешение одних частей жидкости относительно других не связано с возникнове. нием снл трения, Жидкость, в которой внутреннее 202 трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис. 145). Рассмотрим объем гкидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями 5~ и Е'. За время Л1этотобъем переместится вдоль трубки тока, Р причем сечение 5, переместится в положение Зп пройдя путь Л(ь сечение Ез переместится в положение Р 8, Зз, пройдя путь Л(ь В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: ЛГ~ = Л'г'2= =ЛГ Энергия каждой частицы жидкости складывается -из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил зем- й ного тяготения.
Вслед- ( /~~ ствие стационарности те- ! чения частица, находящаяся спустя время Лг в Рис. 145. любой из точек незаштрнхованной части рассматриваемого объема (см., например, точку О на рис. 145), имеет такую же скорость (а следовательно, и кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии ЛЕ всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемчиков ЛУд и ЛГь Возьмем сечение трубки тока и отрезки Л1 настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемчиков можно было приписать одно и то же значение скорости о, давления р и высоты й.
Тогда приращение энергии запишется следующим образом: э Л1 ~2 I р м'о, ЛЕ = ~ В + Р ЛРИйэ) — ~ В + Р Л(ГИЬ~ (55.1) (р — плотность жидкости). В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. По. этому приращение энергии (55.1) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, вследствие чего работы пе совершают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям 3~ и Яь Эта работа равна А = РА Л1~ — Реваз Л(з = (Р~ — Рз) М' (55.2) Приравнивая выражения (55.1) и (55.2), сокращая на ЛГ и перенося члены с одинаковымн индексами в одну часть равенства, получим: пг"-, пг,' +РФ~+ Р~ = з +РФг+ Рм (55.3) Сечения Я, и Я, были взяты совершенно произвольно.
Поэтому можно утверждать, что в любом сечении рчР трубки тока выражение — + рдй+ р имеет одинако- 2 нос значение. В соответствии со сделанными нами при его выводе предположениями уравнение (55.3) становится вполне точным лишь прп стремлении поперечного сечения 5 к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линшо. Таким образом, величины р, и и 1к фигурирующие в левой и правой частях уравнения (55.3), следует рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной н той же липни тока. Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие аю' -г рдй+ р = сопз(. (55.4) Уравнение (55.4) или равнозначное ему уравнение (55.3) называется уравнением Бернулли. Несмотря на то, что это уравнение было получено нами для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико.
204 Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие иэ уравнения Бернулли.. Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда согласно (55.3) для двух произвольных точек любой линии тока будет выполняться равенство Р~ Ра = Рй'(йз й~) откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как в покоящейся жидкости (см. (52.!)]. Для горизонтальной линии тона условие (55.3) принимает вид Р~~ Р~й +Р~= в +Рз т.
е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше (качественно это уже было показако в предыдущем параграфе). уменьшение давления в точках,где скорость потока больше, положено в основу устройства водоструйиого на- 11! соса (рис. 146). Струя воды подается н трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большей скоростью, вследствие ~6~ чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается н в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через Ф икаюс му разрыв, имеющийся в узкой части Рнс Ыб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
