Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 25
Текст из файла (страница 25)
113, и врагцается вокруг оси 00 с угловой скоростью ы, то, чтобы удерживать ось вращения неподвижной, необходимо приложить к ней силы, обеспечивающие вращательный момент М = тоРН. В самом деле, чтобы осуществить движение масс т по окружностям г ( радиуса г, к ним должны быть приложены силы 1', и $', каждая 2 из которых равна пиа г. Эти силы образу1от пару с моментом М = =тыаг1. Если не создать этого Л момента, поместив, например, ось в подшипники, которые действуют на ось с соответствующими силами 11 н 1а'), то ось враще- П ния будет поворачиваться в на- Рпс. ! 13.
правлении, указанном стрелкой. Если стержень, связывающий массы т, псрпендику. лярен к оси вращения 00 и массы находятся на раз- личных расстояниях г1 и г, от аг оси (рис. 114), то для предотвра- щения перемещения оси в про. — гю странстве подшипники должны действовать на ось с одинаково направленными силами 1~ и 1а, сумма модулечй которых равна разности модулей центростремительных сил 1; и ге.. в-ъ4 1 1 +1, = тоР(г, — г,) (при равенстве отрезков а и Ь силы 1, и га будут одинаковы по р величине; в противном случае должно выполняться условие: ага = Ьь). Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия на нее каких-либо сил извне, называется свободной осью тела. В случае, '1, Направления атих сил будут изменяться с поворотом тела вокруг осп.
11а !63 изображенном на рис. 114, прн г1 = гт ось 00 будет, очевидно, свободной осью. Можно доказать, что для любого тела сушествуют три взаимно-перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями; оии называются главными осями ннерц и и тела.
У однородного параллелепипеда (рис. 115) главными осями инерции будут, очевидно, оси 010ь О,От и ОаОа, проходящие через центры проти- лр волежащих граней. ) У тела, обладающего осевой симметрией (например, у одно- а, Рнс. ! Нь Рис. 115. родного') цилиндра), одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут слумсить две любые взаимно-перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оги симметрии и проходящие через центр инерции тела (рис.
116). Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции. У тела с центральной симметрией, т. е. у шара, плотность которого зависит только от расстояния от центра, главными осями инерции являются три любые взаимно- перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции. Следовательно, ни одна нз главных осей инерции не фиксирована. Моменты инерции тела относительно главных осей в общем случае различны: (~ чь 1тФ1а. Лля тела с осевой симметрией два момента инерции имеют одинаковую ') Достаточно, чтобы плотность тела была в каждом сечении функцией только расстоянии от оси симметрии.
величину, третий же, вообще говоря, отличен от них: 11 = /э чь 1а. И, наконец, в случае тела с центральной симметрией все три момента будут одинаковы: 1, = =та=та. Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие извне отсутствует, то устойчивым оказывается только вращение вокруг главных осей„соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение же вокруг оси, соответствующей промежуточному по величине моменту, будет ! ат рс. Пд неустойчивым.
Это означает, что силы, возникающие прп малейшем отклонении оси вращения от этой главной оси, действуют в таком направлении„что величина этого отклонения возрастает. При отклонении вращения от устойчивой оси под действием возникающих при этом сил тело возвращается к вращению вокруг соответ ° ствующей главной оси. В сказанном можно убедиться, попытавшись подбросить какое-либо тело, имеющее форму параллелепипеда (наприх1ер, коробок спичек), приведя его одновременно во вращение '). При этом обнаружится, что тело, падая, может вращаться устойчиво вокруг осей, проходящих через наибольшие или наименьшие грани.
Попытки же подбросить тело так, чтобы оно вращалось вокруг оси, проходящей через средние грани, будут безуспешными. ') Воздействие силы тяжести в этом случая нс является существснным. Оио лищь обусловливает происходящее наряду с вращснасм иадснис тела. При наличии внешнего воздействия, например, со стороны нити, за которую подвешено вращающееся те* ло, устойчивым оказывается только вращение вокруг ~лавной оси, соответствующей наибольшему значению момента инерции. По этой причине тонкий стержень, под.
сешенный на нити, прикрепленной к его концу, при быстром вращении будет в конечном итоге вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр (рнс. !17,а). Аналогичным образом ведет себя диск, подвешенный на прикрепленной к его краю нити (рис. 117,б). ф 43. Момент импульса твердого тела 11айденное вами в $ 38 выражение для момента импульса твердого тела 1., = (,со (43.1) справедливо только в том случае, когда тело вращается вокруг неподвижной осп, т. е. вокруг оси, удергкиваемой в пространстве подшипниками, или вокруг свободной У оси.
В иных случаях связь зтог между Е и ы значительно усложняется, в частности, вектор момента импульса 1. не совпадает по направлению с вектором угловой скорости ю. 11аправим оси координат' ) по главным осям инерции тел' ла. Пусть вектор от не совпа- Д' дает ни с одной из этих осей Рас. 1!З.
(рис. 118). Тогда все его со- ставляющие по осям — ы„юа, от,— будут, вообще говоря, отличны от нуля. Произведение У,га, дает согласно (43.1) составляющую вектора 1. по оси г. Аналогично (,то„дает составляющую Ею а (аы„— составляющую ).а. Если моменты инерции отиосйтсльно главных осей 7„, та, 7, не равны между со. бой, то результирующий вектор 1. = 1 + 1.„+ 1.„как видно из рис. 118, не совпадает по направлению с век- ') Имеются а аиду оси, жестко связанные с телом н вращающиеся аместе с ннм. тором в.
Только при условии, что ез направлена по одной нз главных осей, скажем по оси г, составляющие е по остальным осям (т. е. ел и в„) будут равны нулю, в результате и составляющие !.м и Ев будут нулями, и мы придем к формуле (43.!). Таким образом, если в качестве координатных осей выбрать главные оси инерции тела, то связь между векторами е и !. имеет вид: Е = 1лв„+1„ев+ 1,е,.
(43.2) Вспомнив, что е„= ел! н т. д., последнему выражению можно придать вид: !. = (1мел) з+(1вев)1+(1зез)(с~ откуда следует, что связь между проекциями на коор. динатные оси векторов Е и в дается соотношениями: 1„= 1,в, 1.„= 1вев, Е, = 1,е,. (43.3) Еще сложнее оказывается эта связь, когда координатные оси не совпадают с главными осями инерции тела. В этом случае соотношения между проекциями Е и е выглядят следующим образом: Е„= 1,,ел+1 вел+1,,е„ Е, = 1в.оз„+ 1„„е„+ 1„,с;, 1., =1 ел+ 1евед+1„е,. (43.4) ') Тензор называется снмметрнчным, если есо компоненты уховлесворяют условню 1е = 1гр 1а7 Девять величин 1в (1, й = х, у, г) образуют так нааываемый симметричный ') тензор второго ранга, называемый т е н з о р о м и н е р ц и и.
Компоненты тензора 1в зависят от выбора координатных осей. Если оси координат совпадают с главными осими инерции тела, все компоненты, кроме 1„н, 1„„и 1ен обращаются в нуль и формулы (43.4) переходят в (43.3) (в (43.3) 1„к обозначен через 1, и т. д.). Заметны, чго уравнение '(37.! !), полученное паащдля системы материальных точек, справедливо и для твердого тела. Под !. в этом случае следует подразумевать вектор с проекциями на координатные оси, определяемыми формулами (43.4).
В заключение разберем случай вращения тела вокруг неподвижной оси г, не совпадающей ни с одной из главных осей инерции. Такая ось может быть неподвижной только при действии на нее внешних сил (см.„например, рис. 113). Момент этих сил относительно оси г равен, очевидно, нулю (направления, вдоль которых действуют силы, проходит через ось), однако момент сил отйосительно произвольной точки О, лежащей на этой оси, отличен от нуля.
По этой причине момент импульса 1., тела относительно оси г остается неизменным (. И вЂ” 1,, = М„а М, =О), момент же импульса 1. относительно точки О, который в этом случае не совпадает по направлению с вектором ы (направленным по оси г), поворачивается вместе с телом в пространстве под действием перпендикулярного к нему момента внешних сил М ( — 1. = М чьО.). й 44. Гироскопы Гироскопом (нли волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Ось симметрии является однои из главных осей инерции гироскопа, поэтому момент импульса гироскопа совпадает по направлению с его осью вращения.
Для того чтобы изменить направление в пространстве оси гироскопа, необходимо в соответствии с (37.1!) подействовать на него моментом вяешних сил. При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта: под дей0 Рвс. 1!9 ствием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа 00 вокруг прямой 0'0' (рис. 119), ось гироскопа поворачивается вокруг прямой 0"0" (ось 00 и прямая 0'0' предполагаются лежащими в плоско- сти чертежа, а прямая О"О" и силы $~ и 1т — перпендикулярными к этой плоскости). «Противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа оказывается, как легко видеть, полностью соответствующим законам динамики вращательного движения, т.
е. в конечном счете, законам Ньютона. В самом деле, момент сил 1~ и 1, направлен вдоль прямой О'О'. За время бт момент импульса гироскопа 1. получит приращение Ь1, = МИ, которое имеет такое же направление, как и М. Момент импульса шд гироскопа спустя время Ы будет равен результирующей 1.' = 1. + Л1,, лежащей в плоскости чертежа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
