Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если перенсечь нить, стягивающую приливы на дисках, между которыми заложена сжатая пружина, диски придут во вращение, причем, как легко видеть, в одинаковом направлении. Одновремен. но рама начнет вращаться в Рвс. 1О1. противоположную сторону, так что полный момент импульса системы как целого останется равным нулю. В обоих рассмотренных выше примерах вращение отдельных частей системы возникало под действием внутренних сил. Следовательно, внутренние силы, действующие между телами системы, могут вызвать изменения моментов импульса отдельных частей системы.
Однако эти изменения будут всегда таковы, что суммарный момент импульса системы как целого остается. без изменений. Полный момент импульса системы может изменяться только под воздействием внешних сил 142 й 39. Момент инерции В предыдущем параграфе момент инерции был определен как сумма произведений элементарных масс иа квадраты их расстояний от оси [см. (38.2)). Из определения следует, что момент инерции есть величина аддитнвная.
Это означает, что момент инерции тела равен сумме моме1пов инерции его частей. Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовазь с помощью величины, назывэемой плотностью. Если тело однородно, т. е. свойства его во всех точках одинаковы, то плотностью называется величина, равная п~ р э (39.!) где гп — масса тела, а т' — его объем.
Таким образом, в случае однородного тела плотность представляет собой массу единицы объема тела. Для тела с неравномерно распределенной массой выражение (39,1) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом: Лм Лм р= 1ип — =— лг.+о ЛУ (39.2) В этом выражении Лт — масса, заключенная в объеме ЛР, который при предельном переходе стягивается к той точке, в которой определяется плотность.
Предельный переход в (39.2) нельзя понимать так, что ЛР стягивается буквально в точку. При таком понимании для двух практически совпадающих точек, одна из которых приходится на ядро атома, а другая — на промежуток между ядрами, получался бы сильно отличающийся результат (для первой точки огромная величина, для второй — нуль), Поэтому уменьшение ЛР следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, под которым понимают такой объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические (т. е.
присущие большой совокупности атомов) свойства в пределах его можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывность) вещества. 143 ~~ р !.( ЛУ (39.3) 1мы заменили Й~ в формуле (33.2) на гД. Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы: ) = Р Х гл Л1 г (39.4) Соотношения (39.3) и (39.4) нвлнются приближен.
ными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы ЛУ; и соответствующие нм элементарные массы Лп!ь Следовательно, задача нахождения мо. ментов инерции сводится к инте. !т' Р грированию: 1 ! 1 ( ~ гт с(т= ~ рглй~. (39.5) 1 лг Интегралы в (39.5) берутся по всему объему тела.
Величины 1 р и г в этих интегралах являются ь функциямн точки, т. е., например, декартовых координат х, у н 2. В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рнс. 102).
Разобьем диск иа кольцевые слои толщиной с(г. Все точки одного слоя будут находиться па одинаковом рас. стоянии от оси, равном г. Объем такого слоя равен с(У = Ь2яг Нг, где Ь вЂ” толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и р в (395) можно вынести за знак интеграла: 1 л Рис.
102 У=р ).гэс(У=Р ) г'Ь2игсй, Согласно (39.2) элементарная масса Лт! равна произведению плотности тела рл в данной точке на соответствующий элементарный объем ЛУн Лт, *р; ЛУь Следовательно, момент инерции можно представить в виде 144 где 11 — радиус диска. Вынесем за знак интеграла по- стоянный множитель 2яЬ: 1=2лбр ~ г'йг-2нйр —. о Наконец, введя массу диска ог, равную произведению плотности р на объем диска Ьп)1~, получим: (39.6) Нахождение момента инерции в рассмотренном примере значительно упрощалось вследствие того, что тело было однородным н симметричным, а момент инерции мы искали относительно оси симметрии. Если бы мы захотслн найти момент инерции диска относительно, например, осн 0'О', перпендикулярной к диску и про.
ходящеи через его край (см. рис. !02), вычисления, очевидно, оказались бы гораздо более сложными. В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться т е о р е м о й Ш т е й и е р а, которая формулируется следукнцнм образом: лгомент инерции 1 относительно произвольной оси равен сулгме момента инерции 1ь относительно оси, париллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела и на квадрат расстояния а лгежду осями: (39.7) 1 1+ г В соответствии с теоремой !!1тейнера момент инерции диска относительно оси 0'0' равен найденному нами моменту инерции (39.6) относительно оси, проходящей через центр диска, плюс пг1Р (расстояние между осами 0'0' и 00 равно радиусу диска 1т): 1 = — + пгР .-- '- пг К . яЯ7 г 2 2 Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно осн, проходящей через центр инерции тела, 1О и.
в. савельев, т. г 14б Для доказательства теоремы Штейнсра рассмотрим тело произвольной формы (рис. 103). Возьмем две параллелынзе друг другу оси 00 и 0'О', нз которых одна (ось 00) проходит через центр инерции тела. Свяжем с этими осями координатные оси хух и х'у'г', которые Ряс.
юз. выберем так, чтобы ось г совпадала с осью 00, а ось х' — с осью 0'0' (на рис. 103 эти оси перпендикулярны к плоскости чертежа). Кроме того, оси х и х' выберем так, чтобы оии совпадали и проходили через центр инерции тела. Тогда между координатами элементарной массы Лиц будут иметь место следующие соотношения: х,'.-а+х,.; у, 'у„ где а — расстояние между осями. Квадрат расстояния Лт2 от оси 00 равен гт=х2+ у2 2 2 О (39.8) квадрат же расстояния от оси О'О' равен ~2 Р2 + ~2 ( + )2 + (39.9) С учетом (39.8) момент инерции тела относительно оси 00 определяется выражением 1,- ~.", г2 Кт,. ~~„'~ (х + у2) Лги, (39.10) а момент инерции относительно оси 0'0' (с учетом (39.9)) будет равен 1=~ г' Лт,=~~.",[(а+х)'+у21Аатп (39.11) Возведя в квадрат выражение, стоящее в круглых скобках, н сгруппировав соответствующим образом получившиеся слагаемые, выражение (39.11) можно при. вести к следующел1у виду: 1= ~ (хи+ ф) Лт,.
+ ал ~~'„, Лт, + 2а ~~ х, Лто (39.12) Первая из сумм (39.12) тождественна с (39.10), т. е. представляет собой 1и! вторая сумма дает таи; третья же сумма, как легко видеть, равна нулю. В самом деле, поскольку ось г проходит через центр инерции тела, координата х, центра инерции равна нулю. Вместе с тем 1 Ъч по определению х,= — т х,Лто откуда следует, что ,).„к1 Лт1 равна нулю. о Таким образом, выраже- 1 ние (39.12) принимает вид Ф что и требовалось доказать а 1 1см. (39.7)).
В заключение приведем значения моментов инерции длн некоторых тел (тела предполагаются однородными, лл — масса тела). 1. Тело представляет собой тонкий длинный стерн<ень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня Ь во много раз меньше длины Рис. 106. Рис. 105. стержня 1 (Ь (( 1). Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис.
!04), равен 1= — т1 . 1 12 2. Для диска или цилиндра при любом отнбшении 11 к 1 (рис. 105) момент инерции относительно оси, ю 147 совпадающей с геометрической осью цилиндра, равен Т= 1 л1щ 2 3. Тело — тонкий диск. Толщина диска Ь во много раз меньше радиуса диска 1((Ь « Й). Момент инерции относительно осн, совпадающей с диаметром диска (рис. (06), равен Т= — тЖ 1 4 4.
Момент инерции шара радиуса )с относительно оси, проходящей через его центр, равен Х= — т)с-. 2 э 5 5 40. Кинетическая энергия твердого тела Вращение тела вокруг неподвижной оси. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси, которую мы назо. вем осью . Линейная скорость элементарной массы Ьн11 может быть представлена в виде о,= ((,О, где Я~ — расстояние Лт» от оси г. Следовательно, кинетическая энергия 1-й элементарной массы равна ал~Рм 1 -э 2 бТ вЂ” = —, Ьт й)ы . 2 2 Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей: Т= ~ ЙТ1 —— — в2 у Лтгйс ° 2 4 Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела l, относительно осн вращения.
Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна (40. () Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела, движущегося поступательно, 14З мы Т= —. При вращательном движении роль массы 2 играет момент инерции, а роль линейной скорости-- угловая скорость. Работа внешних сил при вращении твердого тела,. Найдем работу, которую совершают вяешние силы при вращении тела вокруг неподвижной оси г. Обозначим внешнюю силу, приложенную к элементарной масса Кои, через 1ь За время гУ 1-я элементарная масса проходит путь (рис.
107) м„ дз;=)г;йр, где Ич — угол, на которой повора- ь чнвается тело за время й. ~Фа Работа силы 1; на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которую юр Фи можно обозначить символом 1м ;(т — единичный вектор касательной к окружности, по которой движется 1-я элементарная масса; направление этого вектора совпадает с направлением перемещения в данный момент). Таким образом, 6А,=1„сЬ; =),Ф, гйг. 1-1о 1,;)г; равно модулю момента силы 1~ относительно осн г, т. е.
~Мм~, взятому со знаком «+», если )„положительна, и со знаком « — », если ~,» отрицательна гсм. формулу (36.10); в этой формуле 1« — не проекция, а модуль силы Ц. Следовательно, (А,-*! М„~ йр. (40.2) Элементарный угол поворота можно рассматривать как аксиальный вектор Игр-ы|И. Легко сообразить, что работа д4г будет положительна, когда вектор Ми имеет такое же направление, как и Йр, и отрицательна, если направления векторов Мн и йр противоположны. Поэтому формуле (40.2) можно придать вид: ~1А=М с'('Р Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершаемых отдельными силами: с(А= У,' с)Ас = ~~~~ М сс(ср =(~~Р Мзс)с(ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
