Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Возьмем горизонтально располо- А жепный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим иа диске радиальную прямую ОА (рис. 74,а). Запустим в направлении от О гг— В' а к А шарик со скоростью т'. Если диск не вращается, Рис. 74. шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой,то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость относителыю диска т' будет изменять свое направление.
Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на нега действовала сила !к, перпендикулярная к скорости и'. Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдаль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра ОА (рис. 74,б). При $12 качении шарика направляющее ~ ~ро действует на него с некоторой силой (,. Относитсл..но вращающейся системы (днска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью.
Это можно объяснить тем, что сила 1, уравновешивается приложенной к шарику силой инерции (к, перпендикулярной к скорости ч'. Сила (к н есть кориолисова сила инерции. Будем искать ее по формуле (3!.2), начав с рассмотрения частных случаев. Случай 1. Тело движется врадиальном направлении с постояняой скоростью н', перпендикулярной к осн вращения (рнс. 75; ось вращения перпендикулярна к гн л Рнс. 75 плоскосги рисунка). Поскольку т' постоянно, ускорение е' равно пулю, и сила инерции равна — тю. Пусть в некоторый момент времени ( тело находится в положении 1.
В этот момент скорость ч относительно неподвижной системы отсчета слагается нз двух составляющих: составляющей вдоль радуса тп равьюй скоростн тела т', н перпендикулярной к радиусу составляющей и,, равной по модулю ыЯ (Й вЂ” расстояние тела от оси вращения, ы — угловая скорость вращающейся системы отсчета), За время гй прямая, вдоль которой движется тело, повернется на угол гор = ыЛ, а тело сместится вдоль атой прямой на отрезок с(г( = и'г(( и окажется в положении 2. В результате обе составляющие скорости т, получив перпендикулярные к ним приращении, дп „= = е'йр и дн„= ыЯ псй повернутся на угол йр. Кроме того, модуль составляющей т возрастет на дп =- ыс(гг = = ып'М.
Это происходит потому„что в положении 2 составляющая т, перпендикулярная к радиусу, вдоль которого движется тело, становится равной ы(й+ ~Я). а и. в. Сьвелыв. т. 1 1Ц Таким образом, приращение дч, которое получает за время Ж скорость и, можно представить как векторную сумму трех приращений (см. рис. 75): дили дч и Йчп из которых первые два перпендикулярны к вектору ч', а третье направлено вдоль той же прямой, что и ч' (необходимо иметь в виду малость сйр). Разделив соответствующие составляющие дч на И1, мы получим составляющие ускорения тч по отношению к неподвижной системе, Составляющая тч„оказывается равной по модулю: з ш = — =мЯ вЂ” =ы Л.
и= а'= ш Эта составляющая не. зависит от ч', она существует и при ч' = О, Произведение этой составляющей на — и дает уже известную нам центробеж. 1, 9' ную силу инерции. Составляющая два, равная сумме юс дч , и дч , после деления на Ж дает ~к О ) й) составляющую тт„ускорения тч, моъ (мй1 дуль которой равен и' в 0ех~ Но~э Нф И а х Ф ш ш л ш = — + =о' — +а — = Я = о'03 + О>в' = 2ыо'. | / т в' Вектор тч (в дальнейшем мы его будем обозначать тч ) перпендикулярен к ч' и в и может быть представлен р„, 76 в виде тчк = 2 [еч'] (33.1) (вектор в на рис. 75 перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен на нас). Ускорение (33 1) называется кориолисовым ускорением.
Умножив его на т и изменив знак на обратный, получим кориолисову силу инерции: $к = 2т (и'е). (33.2) С л у ч а й 2. Относительно вращающейся системы отсчета тело движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, причем центр окружности лежит на этой оси (рис. 76). По отношению П4 о=!о'- .й1, (33.4) где «+» соответствует одинаковым, а « — » противоположным направлениям скоростей о' и в)г. По отношению к неподвижной системе тело также будег двигаться равномерно по окружности, так что ускорение тт можно записать следующим образом: о' (о' -~- «»Ч)' он тч= — и = и = — и+а%и -~-2о'ыи.
Я Д Первое слагаемое представляет собой ускорение зт' относительно вращающейся системы (см. (33.3)1. Следовательно, а = тч — тч' = ыЧ(и .+- 2о'ыи. В соответствии с этим выражением сила инерции оказывается состоящей из двух компонент: 1г« = — та = — тоУДи ч- 2то'ви. (33.5) Первая из этих сил есть центробежная сила инерции, вторая — кориолисова сила (к. Сила $к перпендикулярна к векторам ч' и г» и имеет направление: а) от центра, если скорости о' и в1( совпадают по направлению (верхний знак в (33.5)), и б) к центру, если скорости о' и г»1г направлены в противоположные стороны (нижннй знак). Очевидно, что оба эти случая можно обьединить в следующем выражении: гк = 2т (т'гз).
(33.б) Полученное выражение совпадает с (33.2). Рассмотрев два частных случая движения тела во вращающейся системе отсчета, обратимся теперь к аэ 1!5 к вращающейся системе тело обладает центростремительным ускорением, которое равно зв' = — и, Р (33.3) где п — единичный вектор, перпендикулярный к о' н имеющий направление к центру вращения. Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета будет слагаться из двух перпендикулярных к радиусу Я составляющих: о' н гзй. В зависимости от направления скорости о' и направления вращения системы зти составляющие будут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Модуль скорости т будет равен случаю произвольного движения тела, причем для боль.
шей общности будем предполагать, что неинерциальная система координат К' не только вращается по отношению к пегюдвижной (ннерпиальной) системе К, но, кроме того, движется поступательно. Однако прежде получим одно важное соотношение, которое нам понадобится прн рассмотрении общего случая. Соотношение между приращениями вектора в неподвижной и во вращающейся системах координат„Возьмем две системы координат, одна из которых (обозначим ес К') вращается относительно другой (К) с угловой скоростью сэ. Выберем этн системы так, чтобы нх оси ЮЭ г и з' совпадали с осью вра- щения, т.
е. с вектором а ф (рнс. 77). Рассмотрим некоторый векд=.=--- =--- ' тор А, начало которого помеэаа 7Л стим в .точку О' — начало сна стены К'. Пусть вектор А каку' то изменяется со временем. Обозначим приращение векто-" а» ра за время Ж, наблюдаемое в системе координат К, через аР г(А, а приращение, наблюдаемое за то же время в системе К; через с('А.
Легко сообРис. 77. разить, что приращения г1А н д'А будут различны. Это обнаруживается особенно наглядно, если предположить, что вектор А постоянен по отношению к системе К' и, следовательно, приращение его в этой системе а'А равно нулю (этот случай изображен на рис. 77). Однако по отношению к системе К вектор А будет поворачиваться со скоростью ы. Как видно нз рисунка, за время г(1, за которое система К' повернется на угол сйр = ас(1, вектор А получает приращение ЫА, которое может быть представлено в виде векторного произведения йр на А: г1А = [с(1и, А). Действительно, модуль с(А равен Л впссНВ а направлен вектор дА перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы 06~ и А, причем так, что поворот от п4р к А вызвал бы перемещение правого винта в направлении 0А.
Заметим, что такойжерезуль- 116 тат получается для вектора, начало которого располагается ие в начале координат, а в произвольной точке. Это можно понять, если учесть, что независимо от того. как располагае~ся вектор А по отношению к координа1- иым осям, параллельная оси г' плоскость, в которой лежит вектор А, повернется на такой же угол йр, иа какой поворачивается система К'. В общем случае, когда приращение с('А в системе К' отлично от нуля, приращение в системе К определяется Формулой: с(А = с('А + )сйг, А). (33.7) Это н есть то соотношение, которое иам понадобится при рассмотрении общего случая двии ения тела. Кэтому рассмотреии1о мы теперь и приступим. Общий случай движения тела в неииерциальиой системе отсчета. Возьмем две системы отсчета К и К' (рис.
78), из которых А' инерциальнл, а К' движется оспюснтельно К посту- 'н' пательно и, кроме того, равномерно вращается СО вокруг оси г', остаю- я щейся все время параллельной оси а (века г' тор м постоянен по ве- о' личине и по иаправлс- г у~ нею). Положение ма- .г' териальиой точки т по $'р отиои1еияю к системе У К определяется радиусом-вектором г, по отношению к системе Рас 78. К' — радиусом-вектором г'. Между зтими векторами и радиусом-вектором гм проведенным из начала системы координат К в начало системы К', имеется очевидное соотношение: г= та+ г'.
(33.8) Скорость точки т по отношению к системе К по определению равна ч= —. Нг сн ' (33.9) 117 скорость же по отношению к системе К' есть и'г' (ЗЗ.!0) где через о'г' обозначено приращение радиуса-вектора г' по отношению к системе К'. Согласно (33.8) приращение радиуса-вектора г, на. блюдаемое в системе К, равно дг — Йгр+ й (33.11) где р!г' — приращение радиуса-вектора г' в системе К, которое, как было установлено выше [см.
(33.7)], слагается из приращения д'г', наблюдаемого в системе К', и вектора [йр, г'] = [грг']рИ: дг' = д'г'+ [грг'] с(1. (33.12) Подставив последнее соотношение в формулу (33.11), придем к следующему выражению: дг = игр+ д'г'+ [грг'] рй. Разделив это выражение на Ж и приняв во внимание (33.9) и (33.10), получим формулу ч = чр + ч'+ [грг'], (33.! 3) Дга в которой чр= — — скорость поступательного движе. рт ния системы К' по отношению к системе К Если систе. ма К' движется только поступательно, гр = 0 и формула (33.13) превращается в уже знакомую нам формулу (!7.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
