Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Действие ракет (и реактивных двигателей) основано на том, что в результате выбрасывания из сопла ракеты струи образугощихся при сгорании топлива газов ракете сообщается такой же по величине импульс, какой уносят с собой газы. гллпл ш РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ф 24. Работа Пусть тело, на которое действует сила $, проходит, двигаясь по некоторой траектории, путь з. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующей движению.
Действие 7 на пути з характеризуется величиной, которая называется работой. Работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения 1, н пути з, проходимого точкой приложения силы: (24. 1) Выражение (24.1) справедливо в том случае, если величина проекции силы 1, на направление перемещения (т. е. на направление скорости) остается все время неизменной. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила 1" образует с направлением движения постоянный угол а. Поскольку 1, =1соза, выражению (24.1) можно придать следующий внд: 4=7зсозо. (24. 2) Работа — алгебраическая величина. Если сила и на.
правление перемещения образуют острый угол (сова > О), работа положительна. Если угол а — тупой (сова <О), работа отрицательна. При а = п12 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно 79 отчетливо показывает, что попягне работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе.
В обыденном понимании всякое усилие, в част. насти мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя нсподвимгио, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, но- еилыиик затрачивает л много усилий, т. е. «совершает работу». Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю. Если величина проекции силы на направление перемещения пе остается постоянной во время движения, для вычисления работы следует разбить путь л на элементарные Рис, 52. участки Лз, взяв их столь малыми, чтобы за время прохождения телом такого участка величину /„ можно было считать почти неизменной. Тогда рабата силы иа каждом элементарном участке приближенно равна ЛА м/'иЛа, а работа иа всем пути л может быль вычислена как сумма элементарных работ: Л =ХЛА, ~Х)мЛ;.
(24.Э) Прн устремлении всех Лл; к нулю приближенное равенство (24,3) перейдет в строгое равенство: А = )/ш ~ /мЛлг= ~ /«г/л '). ла -+о ))а рис. 52 построен график /„как функции положения точки на траектории (горизонтальную ось можно назвать осью з, длина отрезка этой оси между точками l ') Мод рассумдеиий в даииом случае точно такой, иаи и и/,: выводе формулы длв пути, иройдеииого ири веравиомериом дви желчи (см."4 т). и 2 равна полной длине пугн).
Из рисунка видно, что элементарная работа ЛА; численно равна плошади заштрихованной полоски, а работа А на пути от точки ! до точки 2 численно равна нлоц~ади фигуры, ограниченной кривой (,, вертикальными прямыми ! и 2 н осью з. Найдем работу, совершаемую при растяжения пружины, подчиняющейся закону Гука.,Растяжение будем производить медленно, чтобы силу, с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по величине упругой силе ! - лх, где х — удлинение пружины. Сила действует в направлении перемещения, ах~ А =- —.
а (24.5) При сжатии пружины на величину х совершается такая же по величине н знаку работа, как и нри растяжении. Проекция силы (; в этом случае отрицательна (сила, действующая на пружину, направлена влево. х растет вправо (см. рис. 53)), все Лх тоже отрицательны, вследствие чего („Ьх положительно. Отметим, что работа упру~ой силы, т. е.
силы, действующей со стороны пружины на деформируюшее ее тело, и прн расгяжепнн, и прн сжатии равна — йхт!2, так как упругая сн.ча в каждый момент времени равна по 6 и. в савелыв. т. 1 61 так что г, = !. Путь, проходимый точкой приложения силы, равен х (рис. 53). Как следует из рис. 53, работа, которую нужно совершить, чтобы вызвал удлинение пружины х, ранна величине, но противоположна по направлению силе, вызывающей деформацию. Единицы работы.
В качестве единицы работы служит работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице: 1) в СИ единицей работы является джоуль (дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на пути в 1 метр; 2) в СГС-снстеме — эрг, равный работе, совершаемой силой в 1 дину на пути в 1 сантиметр; 3) в МКГСС-системе — килограммометр (кгс ° и), равный работе, совершаемой силой в 1 кгс на пути в ! метр.
Между единицами работы имеются соотношения: 1 дне = 1 н ° 1 и = 10з дни ° 10т см =10т эрг; 1 кгс м=1 кгс ° 1 м=9,81 и 1 м=9,81 дж. Скалярное произведение векторов. Выражение для работы может быть представлено в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения. Скалярным произведением двух векторов А и В называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла а между ними (рис.
54). СимволпА в чески скалярное произведение записывается в виде АВ, без какого. либо знака между символами векторов '). Итак, скалярное произведение по определению равно АВ = АВ соз а. (24.6) При а остром АВ больше нуля, прн гь тупом АВ меньше нуля; скалярное произведение двух взаимноперпепдикулярных векторов (се = и/2) равно нулю. Заметим, что под квадратом вектора подразумевают скалярное произведение вектора на самого себя: Аа = АА = АА сон 0 = Аз (24.7) ') Менее унот)зебнтельны такие обозначения: А ° В н (А, В). (векторное произведение вектора на самого себя равно нулю). Следовательно, квадрат вектора равен квадрату его модуля. Из определения следует, что скалярное произведение пе зависит от порядка сомножителей, так что в отличие от векторного произведения скалярное произведение коммутативно. Выражению (24.6) можно придать следующий вид: АВ = ЛВ соз а = Л (В соз а) = В (А соз а).
Из рис. 54 видно, что Всозя равно Вд — проекции вектора В на направление вектора А, аналогично А сова = Ав — проекции вектора А на направление вектора В. Поэтому скалярному произведению можно дать и другое определение: скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго вектора на направление первого: АВ = АзВ = АВд. (24.3) Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов.
Отсюда следует, что А(В+С+ ...) = А(В+С+ ...)д= А(Вд+Сд+ ...) = ЛВд+ АСд+ ... = АВ+АС+ Таким образом, скалярное произведение векторов дистрибутнвно — скалярное произведение некоторого вектора А на сумму нескольких векторов равно сумме скалярных произведений вектора А на каждый из слагаемых векторов, взятый в отдельности. Воспользовавшись скалярным произведением векторов, выражение для работы (24.4) можно записать в следующем виде: Л= !ип ~ (~Аз,= ~1дз, (24.9) з~;+а где под Аз подразумевается вектор элементарного перемещения, который мы ранее обозначали через Ьг (мо. дуль элементарного перемещения ~йг~ равен в пределе элементарному пути Ьз (см. 5 3)). Пусть на тело действуют одновременно несколько сил, результирующая которых равна $ = ~$„.
Ид дистрибутивпостн скалярного произведения векторов.вытекаег, что работа ЛА, совершаемая результирующей на пути Лз, может быть вычислена по формуле ЛА = ~Я $,) Лз = ~ ((а Ла) - ~ ЛА,, т. е. работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдслыюсти. Элементарное перемещение Ла может быть представлено как Лз=тЛ!. Поэтому формуле (24.9) можно придать вид хг ь А = 1нп ч Ф;и;Л1;= ~ Фигй. (24.!0) ь ю в Ф 1, В соответствии с (24.8) !",Ла = )Лаь где Лзт — проекция элементарного перемещения на направление силы. Поэтому работу можно записать как А= 1нп т (,(Лаг),= ~!г(а!.
(аз!~ -+О (24.1 1) Если сила имеет постоянную величину и направление (рис. 55), вектор ! в формуле (24.9) можно вынести за знак интеграла, в резулыате чего выражение для работы примет вид А = 1 ) Иа =- Ь = !зр (24.12) На, практике имеет значение не только величина соверщениой работы, но и время, в течение которого она совершается.
1!озтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, вводится величина, показывающая, какую работу данный механизм а4 где а — вектор перемещения, а зт — его проекция на направление силы. и 25. 54ощность совершает в единицу воемени. Эта величина называется мощностью. Таким образом, мощность )Р есть величина, равная отиошени!о работы ЛА к промежутку времени Л1, за когорый опа совершается: лл 57 =.—. л! Если за одинаковые, сколь угодно малые промежутки времени Л1 совершается неодинаковая работа ЛА, мощность оказывается измеиякицейся со временем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
