Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этом случае вводится в рассмотрение мпювенное значение мощности: ЛЛ с1Л )р'= )йп — = —. ю „, л! и В случае, когда мгновенная мощность (25.2) непостоянна, выражение (253) дает среднее значение мощности за промежуток времени Л1. Пусть аа время д1 точка приложения силы получает перемещение Нз. Тогда элементарная работа !!А, совершаемая за время д1, будет равна дА =-$!)в, и мощность можно представить в сиде й! = — = $ — '-.
!!! в! в8 Но — равно вектору скорости т. Следовательно, ш мощность оказывается равной скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы: В'= $т. (25.3) Единицы мощности. За единицу мощности примимйется такая мощность, нри которои в единицу времени (свк) совершается работа, равная единице (дж или эрг). В СИ единицей мощности являетсн ватт (вт), равный джоулю в секунду (дж1сек). Единица мо!цностн в СГС- системе (эрг1сек) специального названия не имеет. Соотношение между ваттом и эрг!сек! ) вт * )От эрг)сек.
В МКГСС-системе единицей мощности служит лошадиная сила (л. с.), равная 75 килограммометрам в секунду. ! л. с.,= 736 вт. аз $26. Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсерватнвные Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено воздействию других тел с силой, закономерно изменюощейся от точки к точке, говорит, что это тело находится в поле сил, Так, например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести — в- каждой точке пространства на него действует сила Р = п16, направленная по вертикали вниз. В качестве второго примера э рассмотрим тело М, «привязан. ное» пружиной к некоторому цен. тру О (рис.
56). Один конец пру. жины может вращатьея на шар. пире вокруг неподвинсной точки О Рис. 56. в любом направлении, другой ко. нец прикреплен к телу М. В каж. дой точке пространства на тело М действует сила, направленная по радиусу (т. е. вдоль прямой, проходящей через центр О и тело М) и равная (= й(г го) (26. 1) 1 ! 1 ! где г — расстояние тела от центра О, гс — длина недеформированной пружины, А — коэффициент пропорциональности. Если г) тэ (пружина растянута), сила направлена к центру и имеет знак « — » (направления силы и радиуса-вектора г противоположны); если г «.
гэ (пружина сжата), сила направлена от центра и имеет знак «+», Рассмотренное поле сил представляет собой частный случай так называемого поли центральных сил, характерного тем, что направление силы, действующей в любой точке пространства, проходит через некоторый центр, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра ( = )'(г). Поле сил тяжести тоже является частным случаем центрального поля сил. Приведенные примеры характерны тем, что силы, действующке ка тело, зависят только от положения тела в пространстве (точнее, от положения тела по отноше- 66 нню к другим действующим на него телам) и не зависят от скорости тела.
Для сил, зависящих только от положения тела, может случиться, что работа, совершаемая ими над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве. В этом случае поле сил называется п о те н ц и а л ь н ы м, а сами силы — консервативными. Силы, работа которых зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, называются неконсерв а т и в н ы м и.
Работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. В самом деле, разобьем замкнутый путь, по которому совершает обход тело, находящееся в потенциальном поле, на две части: путь 1, по которому тело переходит из точки 1 в точку 2, и путь 11, Х Рис. 58. по которому тело переходит из точки 2 в точку 1, причем точки 1 н 2 выберем совершенно произвольно (рис. 57). Работа на всем замкнутом пути будет равна сумме работ, совершаемых иа каждом из участков: А = (А„)~ + (А„)п. (26.2) Покажем, что работа, совершаемая на каком-либо пути, например на пути П' (рис. 57), при переходе тела по нему из точки 1 в точку 2 равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой на том же пути при обратном переходе из точки 2 в точку 1.
Рассмотрим участок траектории Лз (рнс. 58). Поскольку в потенпиальном поле сила $ зависит только от положении тела в пространстве и не зависит от состояния движения тела ау (в частности, от направления движения). злементарнан работа на пути Лз при движении в юдном направлении равна ЛЛ = ГЛз, прн дгнвении жс в другом направлении она равна ЛЛ' = ГЛз'. Так как Лз' = — Лз, то ЛЛ' = — ЛЛ. Это справедливо для любого элементарного участка путт1, а следователыю, и для работы иа всем пути, так что (26.3) (Л )и= — (Л Лн. Воспользовавшись полученным результатом, равенство (26.2) можно записать следующим образом: Л (Л12)1 (Л1'1И (26 Л) Г(о в потенциальном поле снл работа ие зависит от пути, т.
е. (Лж)1 = (Л12)п. Следовательно, выражение (26.4) равно пулю, что н требовалось доказать. Если работа каких-то снл на любом замкнутом пути равна пуспо„то работа этих сил прн переходе тела ит одного положения в другое; очевидно, ие зависит от пути (это можно доказать, обратин ход проведенных выше рассуждений). Поэтому потенциальное поле сил можно определить как поле таких сил, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Поскольку работа в потенциальном поле снл на замкнутом пути равна нулю.
иа одних участках замкнутого пути силы совершают положительную работу, а па.других †отрицательную. Работа снл трения за промежуток времени ЛГ согласно (24.10) равна ЛЛ = Гчг ЛГ = — Го ЛС так как векторы Г п р все время имеют противоположные направлении '). Следовательно, работа снл трении псе время остается отрицательной и па замкнутом пути будет отлична от нули.
Таким образом, силы тренин принадлежат к числу неконсервативных снл. Докажем, по поле снл тяжести является потенциальным. Сила, действу1ощая иа тело в любой точке траек. ') Здесь имеется в виду слу"1ай трения между двнжущнмся телом и нснодвялогымп (относнгопьно снстемы отсчета) телами. В неноторыа случаях работа силы тре1н1я может оказаться ооложнтельпой. Это бывает, панрнмер, тогда, яо1да сала тренпя обусловлена ваанмодействпем данного тела с другим, движущемся в том же направленнн, но с болыпей сяоростьпг. !гр и,/г/ ' вт гз // /; аФ. Рис 60. Г!оследнее выражение зависит, очевидно, только от вида функции Г(г) и от значений г, и гз От вида траектории оно никак не зависит, поэтому центральное поле сил тоже потенциально.
ф 27. Энергия. Закон сохранения энергии Как показывает опыт, тела часто оказываются в состоянии совершать работу над другпмп телами. Физическая величава, характеризуюп!ая способность тела нли системы тел совершать работу, называется зиер- 69 торин, имеет одинаковую величину Р = пгд н направление — вниз по вертикали (рис. 59). Поэтому согласно (х4.!2) работа равна Л = Р (Л! — Ьз) = = д (Л, — Лз).
(26.6) Это выражение, очевидно, пс зависит от пути, откуда следует, что поле снл тяжести потенциально. Поле центральных сил также потенциально. Элементарная работа иа пути Ла (рис. 60) равна ЛЛ = Г (г) Лзр 1!о проекция Лз на направление силы в данном месте, т.
е. па направление радиуса-вектора г равна Лг— прпратцению расстояния тела от точки О: Лз/ =- Лг. По- этому Фгр т"1г! Л/1=)(г)Лг. С Работа иа всем пути лз ьм / ' / 1 — !пп ч Г(г/)Лг, = ь,.+о л.! / /~ /, гней. Энергия тела может быть обусловлена причинами двоякого рода: во-первых, движением тела с некоторой скоростью и, во-вторых, нахождением тела в потенциальном поле сил.
Энергия первого вида называется кинетической энергией. Энергия второго вида называется потенциальной энергией. Кратко можно сказать, что кинетическая энергия — это энергия движения, а потенциальная — энергия поло>кения. Кинетическая энергия. Пусть тело 1 (имеется в виду материальная точка) массы т, движущееся со скоростью т, действует на соприкасающееся с ним тело 2 с силой ! (рисе. 6)). За время Ж точка приложения силы получит перемещение г(з = к г(1, вследствие чего тело 1 совершит над телом 2 работу нгА = $ г(э = !тг пг!.
(27.1) Очевидно, что в данном случае тело 1 совершает работу над другим телом эа счет запаса энергии, которой оно обладает в силу своего движения, т. е. за счет запаса кинетической энергии Т (если бы тело 1 не двигалось, было бы равно нулю перемешение нгэ, а следовательно, и работа г(А). Поэтому совершенную телом 1 работу можно приравнять убыли' ) его кинетической энергии: г(А = — г!Т. ') Изменение какой-либо величщ~ы а зюгкио характеризовать либо ее прирангением, либо убылью. Приращением величины а, которое мы будем обозначать Ла, называют разность конечного (аз) и начального (а,) значений этой вели швы: приращение = Ло = аз — ао Убылью величины а называют разность ее начального (а,) н конечного (а,) значений: убьщь = а~ — аз — Ла.
Убыль величины равна ее приращению, взятому с обратным знаком. Приращение и убьщь — алгебраические величины. Если аз) аь приращение положительно, а убыль отрицательна, В случае, когда и, <аь приращение отрицательно, а убыль положительна. Приняв во внимание (27.!), найдем, что с(Т = — Ь' ггг. (27.2) По третьему закону Ньютона тело 2 действует на тело 1 с силой з' — г, вследствие чего скорость тела 1 получает за времясггприращение ггзГ = — з' С(г = — — з Нгг. 1 г 1 Умножив скалярно обе части последнего равенства на тт, найдем, что тт сгт = — тзг Ю.
(27.3) Сравнивая (27.3) с (27.2), получим выражение для гьу: г(Т = нгтсЪ. (27.4) Согласно формуле (24.8) скалярное произведение т г1зг можно представить в анде о1гзт1созсс =- о(с1т)ир„'), где (с1ч)ир,— проекция век- 1 тора гг» на направление веко тора т. Из рнс. 62 легко заклю. ФпЬли чнть, что (с1т)ир„равна при- Рис. 62. ращению модуля скорости, т. е. 11о. Поэтому выражение (27.4) можно записать сле- дующим образом: г(т= с(о=аг~ — "' ). (27.6) ') Нельзя писать это выражение в виде о.гЬ сова, так как, вообисе говоря, 1 Нт 1,Фив. ') Интегрирование уравнения (27.5) приводит к выражению глез Т вЂ” + сопз1. Однако нз физических соображений ясно, что при 2 о = 0 кинетическая энергия Т также равна нулю, откуда следует, что константу нужно положить равной нулю.
Отсюда следует'), что кинетическая энергия материальной точки массы т, движущейся со скоростью о, равна т='™, (27.6) Умножив на т числитель и знаменатель выражения (27.6) и приняв во внимание, что произведение то равно импульсу тела р, выраженшо для кинетнческсй энергии можно придать внд Р' Т= —. я>! ' (27.7) Отметим весьма важное обстоятельство: работа А', совершаемая над телом, равна приращению его нинетической энергии ЛТ = Тг — Т!. Чтобы доказать это, напив>ем выражение для элементарной работы »А'= г"»»!' Проинтегрировав это выражение, придем к формуле (27:б) А' = Т вЂ” Т . 2 1' Из (27.8) следует, что энергия имеет таку>о >ке размерность, как н работа.
Это дает возможность измерять энергию.в тех же единицах, какие используются для измерения работы. Потенциальная энергия. Рассмотрим тело (имеется в виду материальная точка), находящееся в потенциальном. поле сил. Сопоставим каждой точке поля (характеризуемой радиусом-вектором г] определенное значение некоторой функшш (,>(г), осуществив это следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
