Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(27.8)1. Следовательно, (Лм)у+ Лу =(Т2)~ (Т!)~ (27.18) Суммируя выражение (27.18) по всем телам системы, получим: ~ч".,(Ан), + ~ Лс = ~(Тл)~ — ~(Т,)п (27.18) 7 и. в. савсльсв, ь 1 97 Первая из сумм в выражении (27.19) представляет собой работу консервативных сил, совершаемую над телами при переходе системы из начальной (первой) конфигурации в конечную (вторую).
Согласно (27,17) эта работа может быть представлена как разность значений потенциальной энергии системы в начале и в конце процесса: ~(Аи);= и,— им Вторая сумма в левон части выражения (27.19) представляет собой полную работу внешних сил, совершаемую над телами системы. Обозначим ее А'. Правая часть в (27.19), очевидно, равна Т,— Тн т. е. разности значений полной кинетической энергии системы в конечном и начальном состояниях. Таким образом, формуле (27.!9) можно придать вид и,— и,+А'=т,-то Группируя соответствующим образом члены, получим: (т,+их) — (т,+ и,) =А'.
Наконец, введя обозначение полной энергии системы Е Т + и, мы придем к соотношению ЬЕ = Ех — Е, = А', (27.20) Итак, приращение полной энергии системы тел, между которыми действуют консервативные силы, оказывается равным работе внешних сил, приложенных к телам системы. Если система замкнута, т.
е. внешние силы отсутствуют, то согласно (2?.20) йЕ = О, откуда следует, что Е = сопз1. (27.21) В формулах (27.20) н (27.21) заключено существо одного из основных законов механики — закона сохраненияя э пер гни. В механике этот закон формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми дейстеуют только консервативные силы, остается постоянной. Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют также неконсерватнвные силы, например силы трения, то полная механическая энергия системы 96 не сохраняется.
Рассматривая неконсервативные силы как внешние, можно написать: Е~ — Е, А„.„, где А„„— работа неконсервативных сил. Силы трения совершают, как правило, отрицательную работу (см. сноску на стр. 88). Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной ме. ханической энергии со временем.
Действие сил трения приводит к превращению механической энергии в дру-. гие, немеханические, виды энергии. В этом случае выполняется более общий закон сохранения — в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и неме. ханические), ф 28. Связь между потенциальной энергией и силой 1(аждой точке потенциального цоля соответствует, о одной стороны, некоторое значение вектора силы 1, дей» ствующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела К Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать и п+лп определенная связь.
Для установления этой л5 связи вычислим элементарную работу ЬА, совершаемую силами поля при малом перемещении тела Ьз, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в простран стве, которое мы обозначим буквой з (рис. 66), Эта ра-. бота равна ЬА =1,Ьз, (28.1) где 1, — проекция силы 1 на направление ж Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии — ЬУ на отрезке Ьз оси з: ЬА= -ЬУ. (28.2) 7~ 99 Сопоставляя (28.!) и (28.2), получаем: (,л = — ли, откуда ли лк ' (28.3) Поскольку (7 может изменяться не только при перемещении вдоль оси з, но также н при перемещениях вдоль других направлений, предел в .формуле (28.4) представляет собой так называемую частную производную от О по гн (28.5) Соотношение (28.5) справедливо для любого направлении в пространстве, в частности, и для направлений декартовых координатных осей х, д, хс ди дк ' ди да ' ди дк (28.6) Формулы (28.6) определяют проекции вектора силы иа координатные осн Воли известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы.
В соответствии с (2.8) 7ди. ди. ди т = — ~ — (+ — )+ — к). 1 дк ду дк В математике вектор — )-г — )+ — к, да дй дР дк да дк (28.7) где а — скалярная функция х, р, г. называется гр адиентом этого скаляра н обозначается символом 100 Выражение (28.3) дает среднее значение ), па отрезке Ьз. Чтобы получить значение („в данной точке, нужно произвести предельный переход: (~ = — (пп ли (28.4) л* о лх цгада.
Следовательно, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком (28 8) $ = - угад (l. Пример. Возьмем в качестве примсра поле Сил тяжести. Ось а направим по вертикали вверх (рис. 67). При таком выборе коорди- ватных осен потенциальная энергия будет иметь внд [(см. (27.12)) 0 = гляз + сопзЕ Проекция силы на осн согласно (28.б) равны ),=О, )„=-О, ), = — глд, откуда следует, что сила Х равна та н направлена н сторону, противоположную направлению г, т.
е. вниз по вертикали. 5 29. Условия равновесия механической системы В замкнутой системе полная энергия остается постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Если система находится в таком состоянии, гго скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут прийти в движение, т. е.
система будет находиться в равновесии. Таким образом, для замкнутой системы равновесной может быть тольйо такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии системы. Рассмотрим случай, когда взаимное расположение тел системы может быль определено с помощью только одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести снстсму Земля — шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно изогнутой 101 проволоке (рис.
68, а). Другим примером может служить прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий по горизонтальной направляющей (рис. 69, а). Графики функции с1(х) показаны на рис. 68, б и 69, б. Минимумам 0 соответствуют значения х, равные х, (на рис. 69 хо есть длина недефор- 0 миров анной пружины), Условие минимума 0 имеет внд — = О. (29.1) ли 6 т+п Нх х,ха ф ха ха В соответствии с (28.6) условие (29 1) равно. значно тому, что 1„= О (29.2) (когда 0 является функцией только одной аи ~' 1'~ переменной х, 1 дх Ф в~ лх 1 ! 1 ! Таким образом, конфигурация системы, соответствующая миРас.
68, нимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что силы, действующие на тела системы, равны нулю. Этот результат остается справедливым и в общем случае, когда 0 является функцией нескольких переменных. В случае, изображенном на рис. 68, условия (29.1) и (29.2) выполняются также для х, равного хо (т. е. для максимума У).
Определяемое этим значением х положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесии при х = хэ будет неустойчивым: достаточно слегка вывести шарик из этого положения, как возникает сила, которая будет удалять Ф шарик от положения хо. Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчиво~о равновесия (для которого х = ха), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия. 102 Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия системы, можно сделать ряд заключений о характере движения системы. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рнс.
68, б. Если полная энергия системы имеет значение, соответствую щее проведенной на гра- И фике горизонтальнои черте, то система может совершать движение либо в пределах ог х1 до хх либо в пределах от хз до бесконечности. В область х < х, и хз < х < хз систе, ма проникнуть не может, так как и льн потенц а ая энергия не может стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия а> стала бы отрицательной). Таким образом, область Рас. 69. хх < х < хз представляет собой потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Рис.
68, б поясняет, как с помощью графика Б определить кинетическую энергию, которой обладает система при данном значении х. й 30. Центральный удар шаров При соударении тел друг с другом онн претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий н абсолютно неупругий.
Абсолютно упругим на~ зывается такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит 163 Из (30.1) следует, что нчты+ мдты ч= м, +ам (30.3) Поскольку векторы тм и в»а направлены вдоль олпзй н той же примой, вектор ч также имеет направление, совпадающее с этой примой. В случае б) (си.
рис. 70) оа направлен в ту же сторону, что и векторы тш и тиь Б случае а) вектор т направлен в сторону того из векторов тчм для которого произведение швом больше. Модуль вектора т может быть вычислен по следующей формуле: е,о„, »0«м ( ьч+м., =! (30.3) ш1тм + гл»тм = ш ~к~ + л11т»~ (30.4) яр», ю т~~~ м т~~ т»т~~ Преобразуем (30.4) следующим образом: пг, (ъ „— ъ,) = т, (и., — тм). (30.6) Учитывая, что (А' — В») = (А — В) (А + В), приведем (30.5) к виду тл, (тм — ни) (ем + т~) = щ» (т» — ъ'м) (т» + тм). (30.7) Из соображений симметрии можно утверждать, что скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры шаров перед ударом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
