Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следовательно, скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета равна нул>о. Вместе с тем, если имеется хотя бы один вектор г, который при в"кторпом перемножении с и> даст вектор, Рис. аб Рис. 85. равный — чс, то существует еще ряд векторов, которые при векторном перемножении с ы дают такой же результат; векторное произведение в> на любой нз изображенных на рнс. 86 векторов г имеет одинаковую величину и направление. Точки, определяемые этими радиусами- векторами, будут в рассматриваемый момент времени неподвижными.
Эти точки, как видно из рисунка, лежат на одной прямой н образуют так называемую мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра (рис.82) мгновенная ось О' совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью. Прн качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (г. е.
относительно неподви>кной системы отсчета), так и по поверхности цигнтдра. Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.
В общем случае движение (не плоское) можно представить как вращение вокруг мгновенной оси н проис. ходящее одновременно поступательное перемещение вдоль этой осн. ф 35. Движение центра инерции твердого тела Разбив тело на элементарные массы Лть можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных ее взаимодействием с другими элементарнымИ массами рассматриваемого тела, так и внешних сил.
Например, если тело находится в поле сил земного тяготения, на каждую элементарную массу тела Лт; будетдействовать Внешняя сила, равная Лш~й. Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона (35.1) Лт;тт, = 1, + Го где 1; — результируюшая всех внутренних сил, а Г;— результирующая всех внешних спл, приложенных к данной элементарной массе. Складывая уравнения (35.1) для всех элементарных масс, получим: ~~.", Лт;тч, = Х1; + ~~'.~ Гн (35.2) Однако сумма всех внутренних снл, действующих в системе, равна нулю. Поэтому уравнение (35.2) упро* щается следуюшим образом: 2.', Лги,-т, =,'~', Г„ (35.3) где справа получается результирующая всех внешних сил, действующих иа тело. Сумму, стоящую в левой части уравнения (35.3), можно заменить произведением массы тела ш на ускорение его центра инерции и„Действн* 126 тельно, радиус-вектор центра инерции по определению см.
23.1 авен ( Ир «и Лги;т~ г, Продифференцировав это соотношение дважды по вре. мени и учитывая, что г,=тч„а г,=тть можно напнсатье (35Л) тптч„, = лл~~~ Апцн Следовательно тп«н, = ~~о Гь (35.5) откуда вытекает, что центр нерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил. Уравнение (35.5) дает возможность установить движение центра инерции твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы.
В случае поступательного движения это уравнение будет определять ускорение не только центра инерции, но и любой другой точки тела. й 36. Вращение твердого тела. Момент силы Чтобы выяснить, чем определяется характер вращения тела вокруг неподвижной оси, рассмотрим следующий опыт. Возьмем тело в виде легкой крестовины, на концах которой закреплены равные массив- 4' ные грузы и (рис.87).,"+ с" > В центре крестовины укрепим ступенчатый шкив. Крестовину вме- Я сте со шкивом наденем гг.
на ось, позаботившись о том, чтобы трение при вращении вокруг (л этой осн было пренс- Рис зт. брегкимо мало. Прикрепнм к одной из ступеней шкива конец нити, обмотаем ее вокруг шкива и, перебросив свободный конец нити через блок, подвесим к нему груз Р.
Если отпустить груз Р, крестовина придет во врашение со все 127 цозрастаюгцей угловой скоростью ы, причем вращение будет равномерно-ускоренным. Варьируя величину грува Р, радиус шкива ), массу грузов ш и их расстояние )т от оси вращения, исследуем, как этп факторы влищот на величину углового ускорения !). Результаты подобного исследования сводятся к тому, что угловое ускорение )3 !) прямо пропорционально натяжению пити ! и рариусу шкива 1; 2) обратно пропорционально массе грузов т и квадрату их расстояния )т от оси вращения.
Следователыю, ускорение вращателщюго движения зависит не только ог величины действующей иа тело силы !. по и от расстояния 1 от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Произведенис !! дает величину так называемого м о м е н т а с и л ы относительно осп вращения.
Из рассмотренного опыта следует также, что на величину углового ускорения оказывает влияние пе только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая оба эти обстоятельства, носит название и о м е я т а и н е р ц и и тела относительно оси вращении, Итак, для изучения вращательного движения необходимо ввести в рассмотрение две новые физические величины — момент силы и момент инерции. Начнем с выяснения понятия мо- И !-гв!ам ! мента силы. Момент инерции будет 0 рассмотрен в следующих параграфах. Момент свлы относительно точим.
Моментом силы ! относительно некоторой точки О называется векторная величина М, определнемая выражением М=)гЦ, (36.!) где г — радиус-вектор, проведенный из Ркс. 88. точки О в точку приложения силы. Пояспшощий это определение рис. 88 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент, н вектор $ лежат в плоскости рисунка, Тогда и вектор г располагается в этой плоско- !28 сти, вектор же М перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас.
Вектор М изображен кружком й вписанным в него крестиком '). Из определения (36.1) следует, что М является акснальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор М образуют правозинтовую систему. Модуль вектора М равен 1)1 = г) з) п а = 11, (36.2) где сс — угол между направлениями векторов г и $, а 1 = гз(п сс — длина перпендикуляра, опущенного из точ* кн О на прямую, вдоль которой действует сила (см, рпс.
88). Эта длина называется плечом силы относ и тел ьно точки О. г Формулам (36.1) и (36.2)- для Тг ! момента силы н его модуля мож- ~ l 1 но придать иной внд. Для зтого / ! разложим вектор силы 1 на две / т составляющие: коллинеарную с г составляюгпую 1„и перпеиднку- Рнс. 99. лярную к г составляющую (рис. 89). Если представить себе окружность радиуса г с центром в точке О, то составляющая 1, будет направлена по касательной к окружности. Заменим в формуле (36.1) вектор 1 суммой 1, + 1, н воспользуемся свойством дистрибутивпости векторного произведения: М=[~Ц=[г, (1,+1,)[-[г, Ц+[г, 1,[. Первое' слагаемое в полученном нами выражении равно нулю, так как векторы г и 1, коллииеарны.
Следовательно, момент силы относительно точки можно представить в виде". (36.3) М=[г, Ц. ') В дальнейшем векторы, перпенднкулярные к плоскости рпсунка, мы будем изображать кружком с крестнком, если вектор направлен от нас„н кружком с точкой в его венгре, если вектор направлен ва вас. Для наглядностн можно представлять себе вентор в виде стрелы с конусообразным наконечпнком н крестообразным оперением на хвосте. Тогда, еслн вектор направлен на нас (стрела летпт к нам), мы увпднм кружок с точкой, еглн же вектор направлен от пас (стрела летит от нас), мы увнднм кружок с кре- стнком.
9 и. В. Савельев. т. 1 199 Поскольку векторы г и 1, взаимно перпендикулярны, модуль вектора М равен гИ г~,. (36.4) Из дистрибутивностн векторного произведения выте«ает, что момент суммы сил, имеющих общую точку при* ложения, равен сумме моментов слагаемых сил: М (гг)=(г($,+$,+...))-(гЦ+(гЦ+... М,+Ма+... (36.5) Момент пары сил. Парой сил называготся две равные по величине противопологкно направленные силы, не действующие вдоль одной и той же прямой (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
