Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 20
Текст из файла (страница 20)
90). Расстояние 1 между прямыми, вдоль которых действуют Рис. 90. Рис, 9К силы, называется плечом пары. Покажем, что момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Сделаем это сначала для точки, лежащей в плоскости, в которой действуют силы (см. рис. 90). Обозначим одинаковый модуль сил $1 и 1т буквой ~. Момент силы 1~ равен )(~ и направлен на нас, момент силы тг равен Ц и направлен за чертеж. Результирующий момент направлен за чертеж и равен й( =,.Р2 Р! = 1(~2 )1) =)г. Полученное выражение не зависит от положения точки О на плоскости, на которой лежит пара сил.
Теперь выберем точку О совершенно произвольным образом (рнс. 9!). Проведем из этой точки радиусы- 130 векторы г1 и гг точек приложения сил $1 и (ь Из тОчки приложения силы г, в точку приложения силы 12 проведем вектор гиь Очевидно, что гг=г, +гни (36.6) г Суммарный момент сил $~ и $г ра- вен Рнс. 93 М = [г,Ц + [гггт). Заменяя гг согласно (36.6) и использовав дистрибутивность векторного произведения, можно написать: М = [г Ц+ [(г, +гм)Ц = = [г,Ц + [Т,Ц+ [г,фг). Поскольку г, = — $ь первые два слагаемых взаимно уничтожаются и е окончательно получается: Рнс. 92.
М = [~,А[. Таким образом, момент пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы (рис. 92), и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо. Момент силы относительно оси. Если тело может вращаться относительно точки О произвольным обра. аом, то под действием силы $ тело повернется вокруг х оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сила и точка О, т.
е. вокруг осн, совпадающей с направлением момента силы о т н о. сительно данной точки. Ин Величина момента характеризует И способность силы вращать тело во- круг этой оси. 1 Если тело может вращаться только вокруг некоторой фиксироб ванной оси, способность силы ври* щать тело вокруг этой оси характеризуется величиной, которая называется моментом силы относительно оси. Чтобы выяснить, что такое момент силы $ относительно оси, найдем момент г относительно точки О и отложим вектор М этого момента нз точки О (рис. 93; ээ !31 предполагается, что векторы т, г и М не лежат в пло. скости рисунка). Проведем через точку О ось, которую мы назовем осью г, н разложим вектор М на две со. ставляющие: М,— параллельную оси ') и М „— перпендикулярную к оси, Параллельную оси г составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси) называют моментом силы от нос и тел ь но оси.
Обозначив момент силы относительно оси символом Мь мозкно паписатек М, = [гЦ,. При заданном М величина и направление вектора М, зависят от выбора оси г. Если ось г совпадает с направлением вектора М, то М, " будет равен М, если ось г перпендикулярна к вектору М, то М, О. () Выражение (36.7) для М, можно сделать более наглядным. Для этоРис. 94.
го представим радиус-вектор г в виде суммы двух составлязощих: г, — параллельной оси и К вЂ” перпендикулярной к оси (рис. 94). Тогда момент силы относительно осн г можно записать в виде М.=[гц,=[(г,+)т), ц,=[г. $[,+[)тц' Но вектор [г„ Ц перпендикулярен к осн г; следовательно, его составляющая по этой оси равна нулю. Поэтому мы приходим к формуле: М, = [(и[,. (36.8) Теперь представим вектор силы г в виде суммы трех составляющих: г — параллельной оси г, )н — колли- 5 неарной вектору й и, наконец, т, — перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось г и вектор )т.
На рис. 94 эта составляющая изображена кружком с кре- ') Составляющую М, нужно отличать от проекции веитора М на ось г, обозначаемой символом М. М,— вектор, М.— скалярная алтебракческая величина; между ними имеется простая снязтн М„е.М„где е, — еднвичный вектор (орт) оси а (этот орт обозначают также символом й; см. формулу (2.З)).
132 стимом. Если представить себе окружность радиуса гт' с центром на оси г, то составляющая $т будет направлена по касательной к этой окружности. Заменим в (36.6) вектор 1 суммой перечисленных выше составляющих: М, = (ЙЦ. = [К, (1, + 1„+ $,)~ = [К, т,), + [й, $ ), + [К, т,[,. Рассмотрим каждое из трех слагаемых в отдельности. Вектор ~К,$„] перпендикулнрен к оси а, поэтому его составляющая по оси равна нулю. Вектор [Й,(н) сам по себе равен нулю, так как образующие его сомножители коллинеарны. Следовательно, первые два слагаемые равны нулю. Вектор (в(, Ц параллелен оси г (оба образу1ощне его сомножителя перпендикулярны к оси са), так что его составляющая по оси равна ему самому: (й, Ц, = (1с, Е,) Таким образом, мы приходим к формуле: М„=(й, Ц.
(36.9) Векторы К и 1, взаимно перпендикулярны. Поэтому модуль вектора М, равен 1 М; ! = Р~т '). (36.!0) Величина 1т называется плечом силы 1, относительно оси г. Из выражения (36.9) легко заключитьч что момент М, характеризует способность силы 1 повернуть тело, к которому она приложена, вокруг оси г. Действительно, составляющие 1,, и 1н не могут вызвать вращения вокруг оси а. Следовательно, рассматриваемый нами поворот гкогкет быть вызван только составляющей причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо гс.
Для момента относительно оси также справедливо соотношение (36.5), т. е. момент результирующей равен сумме моментов слагаемых сил относительно той гке оси: (36.11) М, = М„+ М„+ ') Нельзя обозначить модуль М, символом М„так как последний символ обозначает проекцию вектора М на ось ж которая может быть как положительной, так н отрицательной величиной. Молчаь же вектора всегда положителен. Справедливо соотношение; 1м,! = 1М, 1. Суммарный момент внутренних сил. Силы, с которыми взаимодействуют друг с другом две любые элелм ментарные массы, лежат иа одной и той же прямой (рис.
95). Их моменты относительно произвольной гы точки О равны по величине и про- 1 тивоположны по направлению. По. (ги---~- — -1 этому моменты внутренних сил попарно уравновешийают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы матсриальных точек, в частности для твердого тела, всегда авиа нулю. Это утвер- багие ждение справедливо как для сумРис. 95. марного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки, так и для бумыарного момента этих снл, взятого относительно любой осп. 5 37. Момент импульса материальной точки. Закон сохранения момента импульса Аналогично моменту силы определяется момент импульса (момент количества движения) материальной точки. Момент импульса относительно точки О равен 1.
= [гр] = т [гт!, (37.1) эг где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, в которой находи~ся материальная точка (рис. 96; вектор 1 г-гигиа понадобится нам в дальнейшем), р = пгт — импульс точки [ср. с формулой (36.1)). Введя плечо 1- гэ!пег, модуль вектора момента импульса можно заткать в виде: Рис. 96.
Е=грзгпа=1р. (37.2) $ г г г 134 Моментом импульса относительно оси а называется составляющая Е, по этой оси момента импульса Е относительно точки О, лежащей на оси (рис. 97): Ь.=(гр).. (37.3) Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (36.9), найдем, что Ь, = (((, р,) = ьч !)с, и,), (37.4) где Й вЂ” составляющая радиуса-вектора г, перпендикулярная к оси а, а р,— составляющая вектора р, перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось г н точйу ли 4г Выясним, чем определяется изменение момента импульса со временем. Для этого продиффе- г г 3 ренцируем (37.!) по времени г, '..
" г воспользовавшись правилом дифференцирования произведения: Р~ ьд (37.5) и Первое слагаемое равно нулю, так как оно представляет собой векторное произведение векторов дг одинакового направления. В самом деле, вектор — ра- Ж вен вектору скорости и и, следовательно, совпадает по направлению с вектором р = щи. Вектор — по второму ар а( закону Ньютона равен действующей на тело силе $ (см. (22.3Ц. Следовательно, выражение (3?.5) можно написать так: — =(гЦ=М Л. юй (37.6) где М вЂ” момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той гке точки О, относительно которой берется момент импульса Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
