Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому с достаточной точностью можно считать, что система отсчета, связанная с Землей, вращается относительно инерциальных систем с постоянной угловой скоростью а. Следовательно, рассматривая движение тел относительно Земли, нужно вводить центробежн)чо силу инерции = яим г, где т — масса тела, г — расстояние тела от земной осп (рис. !31). Ограничиваясь случаями, когда высота тел над по- верхностью Земли невелика, можно положить г равным !гз соз р ()?з — радиус Зея|ли, ~р — широта местности).
Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид (<„— — лнси)сз соз ~р. (47.1) Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел н будет обусловлено действием двух Г ии Риз Рис. !3!. сил: $», с которой тело притягивается Землей, и $ьа Результирующая этих двух сил Р =$.+$!„ есть сила тяжести (см. $ 18). Поскольку сила Р сообшает телу с массой и ускорение и, справедливо следующее соотношение: Р= то. (47.2) Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле $и невелико, так как центробежная сила инерции значительно меныпе, чем г .
Так, для массы в ! кг выражение глсз%з приблизительно равно 0,035 н (и равна 2я, деленным на 86400 сек„)сз составляет примерно 6400 кл), в то время как ~„ равна приблизительно 0,8 и, т. е. почти в 300 раз больше, чем максимальное значение центробежной силы инерции (наблюдающееся на экваторе). Угол а между направлениями ри и Р можно оценить, воспользовавшись теоремой синусов: и!и а / „тми!1з сои а 0„039 мам Р та = — соз !р = 0,0035 соз !р, 9.з откуда яп а = 0,0035 яп «р соз !р = 0,0018 яп 2гр.
1зз Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла а = 0,00! 8 ып 24х (47.3) Таким образом, в зависимости от широты ~р угол а колеблется в пределах от нуля (на экваторе, где гр = О, и на полюсах, где а = 90') до 0,0018 рад или 6' (на широте 45'). Направление Р совпадает с направлением нити, на. тянутой ~рузом, которое называется направлением отвеса. Сила 1» направлен4 к пептру Земли. Следовательно, нить отвеса направлена к центру Земли только па полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (47.3). Разность /х — Р равна нута на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы /„, на экваторе.
Из-за сплюснутостн земного шара у полюсов сила / сама по себе нссколько варьирует с широтой, будучи па экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения д меняется с широтой в пределах от 9,780 м/сека на экваторе до 9,832 м/сел' иа полюсах. Значение и = 9,80665 м/сея' принято в качестве нормального (стандартного) значения. Заметим, что относительно инерциальпой, например, гелиоцентрической системы отсчета свободно падающее тело будет двигаться с ускорением не д, а тч, направленным так же, как 1х, и равным по величине /х/т.
Легко видеть (см. рис. 131), что из равенства для разных тел ускорения я' вытекает и равенство ускорений ш. Действительно, треугольники, построенные на векторах 1х и Р для разных тел, подобны (углы а и ~р для всех тел, находяшихся в данной точке земной поверхности, будут одинаковыми). Следовательно,. отношение /х/Р, которое совпадает с отношением в/П, для всех тел одно и то же, откуда вытекает, что при одинаковых и получаются одинаковыми и ш. 5 48. Масса инертная и масса гравитационная Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения.
В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т. е. способ. ность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу иц„и массу гравитационную (или тяготеющую) гию Ответ на этот вопрос может дать только опыт.
Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле, которая согласно (46.5) равна ыгМз 2 нз (тг — гравитационная масса данного тела, Л(з — гра. внтационная масса Земли, гсз — радиус земного шара). Под действием этой силы тело приобретает ускорение иг (но не д; см. предыдущий параграф), которое должно быть равно силе г, деленной на инертную массу тела иц„: (46.1) — — У итп нз '"ы 2 Опыт показывает, что ускорение ю для всех тел одн.
иакова (из одинаковости д вытекает, как мы видели м, ранее, одинаковость ю). Множитель у — также оди. нгз иаков для всех тел. Следовательно, н отношение те/т;„ оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и гравитационной массами.
Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что инертния и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу. Это означает, что при надлежащем выборе единиц измерения гравитационная и инертная массы становятся токсдественными, поэтому в физике говорят просто о массе. Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнпггейном в основу общей теории относительности. Отметим, что с самого начала массу в (46З) мы полагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение у нами было определено 187 в предположении; что ей = и;„.
Поэтому (48.1) можно. записать в виде ш=у— ~з (48.2) кзз Последнее соотношение позволяет определить массу Земли Мз. Подстановка в него измеренных значений та, )гз и у дает для массы Земли значение 5,98 10м кг. Далее, зная радиус земной орбиты 1(,„и время полного обращения Земли вокруг Солнца Т, можно найти массу Солнца Мс. Ускорение Земли, равное оР1г<,р (со =- 2и(Т), обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно, адамс Мзи Я0г = у— ~~ар откуда может быть вычислена масса Солнца. Подобным же образом были определены массы других небесных тел.
9 49. Законы Кеплера Основанием для установления закона всемирного тяготения Пыотону послужили три открытых Кеплером закона дан>кения планет: 1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади. 3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральйых сил. Действительно, как мы видели в 9 37, траектория тела в поле центральных снл представляет собой плоскую кривую в гиперболу, параболу нлн эллипс, — фокус которой совпадает с центром сил. Принимая для простоты, что орбиты явлиются не эллнпсамн, а окружностями (это допустимо, так как практически орбиты всех планет мало отличаются от 188 окружностей), ускорение, с которым движется планета, можно написать в виде Ог га =-— 1 Г где и — скорость движения планеты, г — радиус орбиты.
Заменим и через 2лггТ (Т вЂ” период обращения планеты вокруг Солнца): 4лсг Г2 На основании последнего выражения отношение сил, действу1ощих на планеты со стороны Солнца, запишется следующим образом: в 2 Гл~ы~ ЬйГ~Т2 ттыг т2Г2Т 2' Заменяя в соответствии с третьим законом Кеплера отношение квадратов периодов обращения отношением кубов радиусов орбит, получим; Г! 2 Рас.
132. Таким образом, нз третьего закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца: 1 = й.—,. 'гг ' Предположив, что коэффициент пропорциональности й в свою очередь пропорционален массе Солнца Мс„ Ньютон пришел к уже знакомой нам формуле лсмс выражающей закон всемирного тяготения. Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса.
Из рис. 132 видно, что описанная радиусом-вектором за время сй площадь сБ равна половине произведения основания треугольника 189 пЖ на высоту треугольника 1, которая совпадает с плечом импульса планеты гни по отношению каплицу: НЗ = — 1пМ = — ~И 1 Е 2 2т (й — момент импульса планеты, равный що1). дя Выражение — называется секторнальной скоростью.
Ж Таким образом, пз ь секториальная скорость = — = —. Ф 2т' Момент импульса в центральном поле сил остается постоянным, следовательно, и секториальная скорость планеты должна быть постоянной, Это означает, что за равные промежутки времени радиус-вектор будет описывать одинаковые плошади. 5 50. Космические скорости Для того чтобы двигаться вокруг Земли по круговой орбите с радиусом, мало отличающимся от радиуса Земли Яз, тело должно обладать вполне определенной скоростью оь величину юг которой можно определить нз условия равенства произведения массы тела на центростремительное ускорение силе тяжести, действующей на тело: 2 гл — = тд. нз Отсюда о~ = )~ йХз- (50.1) Следовательно, для того чтобы какое-либо тело стало спутником Земли, ему необходимо сообщить скорость о„ р„, 1зз которая называется первой космиче- ской скоростью.
Подстановка значений и и йз дает для первой космической скорости следующее значение: и, = )/йК= )/0,8 0,4 10з= 8 10з .и/сек = 8 км/сек. 190 Обладая скоростью оь тело не упадет на Землю. Однако этой скорости не достаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжении, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
