Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Этот закон выполняется только до тех гор, пока не достигается предел упругости. Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня с( (рис. 125). Это изменение принято характеризовать относительным поперечным расшире. пнем или сжатием: Сдвиг.
Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы $~ и уэ (/, =)т /), направленные параллельно этим граням (рис. 126). Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани 5, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальпое напряжение У' (45.9) Под действием напряжений тело деформируется таким образом, что верхняя (иа рисунке) грань сместится относительно нижней на некоторое расстояние а.
Если тело мысленно разбить на элементарные горизонтальные слои, то 7 каждый слой окажется / сдвинутым относитель- / но соседних с ним ело- э 1/ / ев. По этой причине / деформапия такого ви/ да получила название /(э / сдвига. г При деформации сдвига любая праман, Ряс. 126. первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол Ф. Следовательно, отношение сдвига Ьа двух произвольно взятых слоев к расстоянию меигду этими слоями 6Ь будет одинаково для любой пары слоев. Это отношение естественно взять в качестве характери. стики деформации сдвига: й у = =1КФ. Ь (4б.10) Величина у называется относительным с да игом. В силу малости угла Ф можно положить 1иФ = Ф.
Следовательно, относительный сдвиг у оказывается равным углу сдвига Ф. Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален таигенцнальному напряжению: 1 С (45.11) 12 и. в. савельев, к Коэффициент 6 зависит только от свойств материала и называется м о д у л е м с д в и г а. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига Оказался бы равным 45' (1д~у = 1), если бы при столь больших деформапиях не был превзойден предел упругости. Кроме разобранных нами основных деформаций, рассмотрим кручение круглого стержни. Если круглый стержень закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент М, имеющий направление вдоль оси стержня (рис.
!27), то стержень получит такую деформацию, при которой его нижнее основание повернется по отношению к верх- , Л нему на некоторый угол ф, Легко видеть, что деформация при Г кручении представляет собой деформам цию сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к сдвигу :в каждого из таких слоев по отношени1о к соседним с ним слоям. Правда, сдвиг Рис. 127. этот будет неоднороден: участок слоя оЯ получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня.
Произведя соответствующий расчет, можно показать, в согласии с опытом, что угол закручивания стержня определяется следующим выражением: (45. 12) где 7 — длина стержня, г — его радиус, б — модуль сдвига, М вЂ” вращательный момент. Обозначая постоянный для данною стержня множитель при М буквой й, соотношению (45.12) можно придать вид <р = йМ. (45.15) Последнее соотношение выражает закон Гука при кручении, При постоянной длине стержня из данного мате- 178 А= ) )с(х, где буквой х обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до И. Сила 1, соответствующая удлинению х, согласно (45.6) равна )=йх= — х. Ео ! Следовательно, а! А=1! хс(х= ' — =(7').
Г ез ы а!т 2 о Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на 1, заменяя затем отношение Ж/1 относительным удлинением е и учитывая, наконец, что 51 дает объем стержня )г, получим: Е'е' и==;У. 2 (45.14) ') См. (27.13) и соответствуюший текст. а)' Приравняв найденную работу потенциальной энсрпш, мм аоложили энергию недеформированного тела равной нулю. 12» 179 риала коэффициент пропорциональности й !7чень сильно зависит от толщины стержня (как 1/га). Энергия упругой деформации. Упруго деформированное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное состояние, может, подобно сжатой илн растянутой пружине, совершить работу над внешш!ми телами, т. е. обладает некоторым запасом'энергии '). Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации.
Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой определяется выражением (45.б). Работа этой силы равна Введем в рассмотрение плотность энергии и, которую определим как отношение энергии Аб к тому объ. ему Ь$', в котором она заключена: Лп М~ ' Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия (45.14) распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью.
Поэтому можно счнтатгн и Ез и = — = —. У 2 (45.15) (45.1б) Выражение (45.15) дает плотность энергии упругой деформации.при растяжении (илн при сжатии). Аналогичным образом можно получить„что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна отй и= —, а ' ГЛАВА У! ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ 5 46. Закон всемирного тяготения Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона все ми риегоо тягот е н и я. Согласно этому закону сила, е котороб два тела притягивают друг друга, пропорциональна мпееам этик тел и обрптно пропорциональна квадрату расстояния между ними: т,ьн 1=У, ° где у — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянно й.
Направлена сила Рнс. 12З. Рвс. 120. вдоль прямон, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 1г8). Формула (46.1) дает численное значение равных по величине снл 1м н 1м. Тела, о которых идет речь в соотношении (46.1), представляют собой, очевидно, материальные точки.
Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нуж. но разбить на элементарные массы Лт, т. е. небольшие 1а1 объемы, каждый из которых можно было бы припять аа ьгатериальную точку (рис. 129). Согласно (46.1) 1-я элементарная масса тела 1 притягивается к й-й элементарной массе тела 2 с силой Лт, Жл„ ига=у ' ' г,„„, (46.
2) Наконец, просуммировав (46.3) по всем значениям индекса 1, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на те.по 1: Ла~ Лш„ 1ш = ~~ ~~~~у ' гм„. г а (46.4) Суммирование производится по всем значениям индексов 1 и А. Следовательно, если тело 1 разбить на й1ь а тело 2 — на 1та элементарных масс, то сумма (46.4) будет содержать У,йгт слагаемых. По третьему закону Ньютона тело 1 действует на тело 2 с силой $м, которая равна — 11а. Практически суммирование (46.4) сводится к интегрированиго и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей.
Если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары'), то вычисление согласно (46.4) приводит к следующему результату: лили $,т=у —,, г„„, (46.5) ') Достаточио, чтобы распределение масси в пределах каждого шара обладало центральной симметрией, т. е. чтобы плотиасть била функцией только расстоаииа от центра шара. 182 где голеи — единичный вектор, имеющий направление от Ьт; к йлга, а гш — расстояние между этими элементарными а~ассами.
Просуммировав (46.2) по всем значениям й, получим результирующую всех сил, действующих со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу Ьлн: Лш Лаг„ Ыгт= т,у ' "гп„,. где гл~ и тз — массы шаров, г — расстояние между их центрами, гмщ — единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго. Таким образом, шары взаимодействуют, как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах.
Если одно.из тел представляет собой шар очень большого радиуса !! (например, земной шар), а второе тело, не будучи шаром, имеет размеры, гораздо меньшие Я, н находится вблизи поверхнОсти шара, то их взаимодействие описывается формулой (46.5), где вместо г нужно взять радиус шара (расстоянием от второго тела до поверхности шара, а также размерами второго тела можно пренебречь по сравнению с )г). С коэффициентом пропорциональности у в уравнении (46.1) нецелесообразно поступать так, как мы поступили с коэффициентом пропорциональности в уравнении второго закона Ньютона (т. е.
делать его равным единице за счет выбора единицы измерения силы), поскольку в этом случае пришлось бы при рассмотрении различных физических явлений пользоваться разными единицами измерения одной и той же величины — силы. Если же пользоваться для измерения величин, входящих в (46.1), ранее установленными единицами, то гравитационная постоянная у оказывается размерной величиной, численное значение которой должно быть установлено опытным путем. Размерность у в соответствии с (46.!) равна — 'гг Ы= —,= = — Ь,!1 т-. И 1г2! Г* д' з -~ э [щи! М2,м Гг с1ислепное значение у было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы.
При таких измерениях возникают боль» шне трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100'кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка 1О-' и, т. е. порядка 10-~ Г.
Первой успешной попыткой определения у были измерения, осуществленные Кавендшпем (1798 г.) который применил для измерения сил весьма чувствительный 183 метод крутильных весов (рис. 130). Два свинцовых шара т (с массой 720 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помешались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг).
Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу. Верхний когглгнаге т илге нец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами т и М. Наиболее точным нз определен- .О пых разными способами считается значение 'у=6,670 10 " мл?кг сек'. О /Флеминг, м Если в (46.5) подставить т„ м т, и г, равные единице, то сиРяс. !зо.
ла оказывается численно рав- ной у. Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной 6,6?0.10 " и. ф 47. Зависимость ускорения силы тяжести от широты местности При изучении движения тел относительно земной поверхности нужно иметь в виду, что система отсчета, связанная с Землей, не инерцнвльна. Ускорение, соответствующее движению по орбите, гораздо меньше, чем ускорение, связанное с суточным вращением Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
