Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости; 1,= — го= — гх, прн отсутствии сопротивления среды, т. е. при г = О. Эту частоту называют собственвой частотой коле- баний системы. В случае гармонического осциллятора размах коле- баний, определяемый амплитудой а, остается постоян- ным. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому попробуем искать решение уравнения (73.2) в виде х = а (1) соз (вг + а), (73.5) где а(г) — некоторая функция времени.
Продифференцнровав (73.5) по Г, найдем х и х: х=асоз(вг+а) — аез!п(вг+а), х = а соз (вг + а) — 2ав з(п (ег + а) — пер соз (ег + а). После подстановки этих выражений в уравнение (73.2) и несложных преобразований придем к следую- щему соотношению: ~й+ 4И+ (в~~- вр) п1 сов (в| + а) — 2в (а + Щ з(п (в(+ а) = О. Для того чтобы полученное нами уравнение удовлетво- рялось при любых значениях г, необходимо равенство нулю коэффициентов прн соз(грг + а) и з(п(вг+ а). Таким образом, мы приходим к двум уравнениям: а+(кг =О, (!3.6) а + 2ра + (вэр — вт) а = О. (73.7) Уравнение (73.6) можно представить в виде ггп ггр — = — йа, откуда — = — Ог((.
ггг и Интегрирование последнего уравнения дает ) и а = — рг + !пар, где через!пар обозначена постоянная интегрирования. Наконец, произведя потенцирование найденного соотношения, получим для а(7) следующее выражение: а=аре аг. (73.8) Легко видеть, что а = — Оа и а = рта. Подстановка этих значений в уравнение (73.7) приводит к соотношению 6'и — 2()'п+(е„' — р) и =О, из которого после сокращения на отличный от нуля мно. житель а получается значение сс': сзе — см2 ре о (73.9) При условии, что м~~)йз, величина сс будет вещественной, и решение дифференциального уравнения (73.2) может быть представлено в виде (73.5).
Таким образом, при не слишком большом затухании (прн 8 ( ссс) колебания описываются функцией х=а„е а~сов(м|+а). (73. 10) (73.11) График втой функции дан на рис. 182. Пунктирнымн линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х. В соответствии с ви- дом функции (73.10) сс 1 движение системы мо- О й жно рассматривать как гармоническое колебаиие частоты в с амплнтудой, изменяющей. ся по закону (73.8). Верхняя из пунктнрРис.
182. ных кривых на рис. 182 дает график функции а(1), причем величина ас представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение хс зависит, кроме ас, также от начальной фазы ох хс = = ас.соз а (рис. 182). Скорость затухания колебаний определяется вели. чиной 8 = г/2гл, которую называют коэффициента и затухания.
Найдем время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз. По определеяию е ес = е-', откуда (Ы =!. Следовательно, козффициент затухания обратен по величине тому промежутку нремени„за который амплитуда уменьшается в е раз. Согласно формуле (73.9) период затухающих колебаний равен При незначительном сопротивлении среды (р' « ыа2) период колебаний практически равен Та = 2л/ыа. С ростом козффициента затухания период колебаний увеличивается. Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, а', а", а"' и т. д. на рис.
182) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если а' = а~с а' то а" = а,е-а<'+т) = а'е-ат и'а = нае-И'+ат> = = аа-йт и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно — = еаг. а (! + Г) Это отношение называют декрементом затуханияя, а его логарифм — лога риф мическ н и декрементом затухания: а ()) Х=1п „()+т) =РТ. (73. 12) Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив () через ), и Т в соответствии с (73.12), закон убывания амплитуды можно записать в виде х а=аае Я ) п)1е~ (73.13) называемая добротность1о колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорцио- нальна числу колебаний №, совершаемых системой за 251 За время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить № = т/Т колебаний.
х — Х— Из условия а г =е получается, что ).— =Х№=1. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина то время т, за которое амплитуда колебаний увгеньшается в е раз. Найдем импульс системы, совершающеп затухающие колебания. Продифференцировав функцию (73.10) по времени и умножив полученный г результат на массу пг, получим р = глх = — пг а е "г((1 сов (ы1+ а) + + ы згп (ы1 + В)).
Это выражение может быть преобразовано к виду р р е вг сов(ы(+ а+ гр), (73.14) где рр — — огас )г'ы'+ йг пга„ыс, а гр удовлетворяет условию Рис. ! ЗЗ. в 1ЯФ= — —. (Р ' Если бы не множитель е — аг, то, исключив г из уравнений (73.03) и (73.14), подобно тому как это было осуществлено в $71, мы получили бы в координатах х и р уравнение эллипса, повернутого по отношеггво к координатным осям. Наличие экспоненциального множителя е вг приводит и таму, что эллипс превращается в скручивагощукгся спираль (рнс. 133), Эта спираль н представляет собой фазовуго траекторию г затухающего колебания. Она будет накло- Рис. !ЕЬ непа по отношению к координатным осям тем сильнее, чем больше коэффициент затухания р.
Из формулы (73.11) следует, что при ыз — рг = 0 период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствугопггггг математический анализ дает, что при ы' — г)з (О дан- о жение носит апериодический (непериодичеекнй) харак. тер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
На рис. 184 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апернодическом движении. Каким нз этих способов приходят система в поло>кение равновесия, зависит от начальных условий. Движение, изобра>каемое кривой 2, полу» чается в том случае, когда система начинает двигаться из полохзения, характеризуемого смещением х„к положению равновесия с начальной скоростью оа, опредсляемой условием ~'о~>~хо~(11+ 3'М' ь>о) ф 74.
Автоколебания При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление'сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы мо- $ жет осуществляться за счет толчков извне, одпако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колеба- в'.::. ннямп, в противном случае онн могут ослабить колебания н даже прекратить их совсем. > й Можно сделать так, чтобы колеблющаяся Рас. 185. система сама управля.ча виешнпм воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением.
Такая система называется авто колебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания — а в т о к о л е б аииями. В качестве одной из простейших автоколебательных систем рассмотрим устройство, изображенное нз рис. 185. Гибкая упругая линейка зажата одним концом неподвижно. Если оттянуть свободный конец линейки вниз и затем отпустить, линейка начнет соверша>ь 2Я затухающие колебания. Колебания можно сделать иеза. тухающими, направив на конец линейки струйку воды так, чтобы струйка задевала линейку в тот момент, когда оиа находится в верхнем крайнем положении. Удары струйки о конец линейки восполняют убыль энергии колебаний, обусловленную трением. В качестве второго примера автоколебательной си. стены рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом в анкером (рис. 186).
На концах анкера имеются выступы специальной формы„на. зываемые палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть Рас, 186. времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты,когда маятник находится вблизи среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты. За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку. Через посредство этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения.
ф 75, Вынунгденные колебания Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (мы будем называть ее вынуждаюшей силой). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону ) = Ра соз га1. (75.1) Прн составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, т.
е. квази- упругую силу и силу сопротивления среды. Предполагая колебания достаточно малыми, будем по-прежнему считать силу сопротивления пропорциональной скорое~и. Тогда уравнение движения запишется следующим образом: тх = — йх — гх+ г соз ь|. Разделив это уравнение на т и перенеся члены с х и й в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка: х+ 25х+м~тх =1 сов м1, (75.2) ~'о где (о = — . р = — — коэффициент затухания, ые = ю' 2м ГХ ='1гу — — собственная частота колебаний системы. аФ Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнсния.
Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. функцию (73.10), являющуюся общим решением уравнения (73.2)). Оно имеет вид к = аде-"'соз(со'(+а'), (75.3) где в'= )~ь"- — р', а ач и а' — произвольные постоянные. Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (75.2). Предположим, что это решение имеет вид х = а соз (е( — <р) (75 4) (в данном случае удобно обозначить начальную фазу вместо а через — 1г), С помощью векторной диаграммы (см.
% б8 и 69) легко убедиться в том, что наше предположение справедливо, а также определить значения а и гг, при которых функция (75.4) удовлетворяет уравнению (75.2). Дифференцируя (75.4) по времени, первые два члена уравнения (75.2) можно представить в зав следующем виде: 2рх= — 2р!ваз1п(в1 — !р)=2рыасоз(ь| — <р+ ~), (755) х = — в'а соз (ы! — <р) = оРа соз (в! — !р + и). (75.6) Как следует из (75,2), гармоническое колебание 1асозь| является суммой трек гармонических колебаний той же частоты: колебания (75.6), колебания (75.5) и к злебания а~~х - ыза соз (в! — <р). Если изобразить последнее колебание вектором длины в,',а, направленным а~~а ! М~„-ю"'/и Гю -м-')а а Ф Ркс. !Зт, вправо (рис. !87), то колебание (75.5) изобразптся вектором длины 2рь!а, повернутым относительно вектора в'х против часовой стрелки на угол п72, а колебание (75.6) — вектором длины ьга, повернутым относительно вектора а'х на угол и. Чтобы уравнение (75,2) было удовлетворено, векторная сумма перечисленнык трех векторов должна совпадать с вектором, изображающим колебание ),сов ый Такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды а, которое определяется условием (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
