Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 40
Текст из файла (страница 40)
начинает смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный 7', первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь оТ, достигнет частицы 5. На рис. 193 показано движение част!щ при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Как видно нз рис. 193, прп прохот!.дениц продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (сгущения частиц отмечены на рисунке пунктнроы), перемещающиеся в направлещщ расйрострапеиня волны со скоростью о.
2вт Все время, пока существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия, причем, как видно из рис. 192 и 193, различные частицы колеблются со сдвигом по фазе. Частицы, отстоянгпе друг ог друга па расстоянии оТ')„колеблются в > г Л а р Х 4 > ' и — г у -- ',т г /; г г - — -иг Рпс. 193. одинаковой фазе (добавлеиие к фазе 2л не оказывает па нее никакого влияния). Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой азе, ф ) называется дл и ной в о л п ы Х (си. рис. 194, иа котором изображено смещение 5 частиц нз поло'кения равновесия, как функция рас- стояния я, отсчнтывае- Рис.
194. мого вдоль направления распространения волны). Длина волны, очевидно, равна тому расстоянию, иа которое распространяется волна за период: А = оТ. (77. 1) Заменяя в атом соотношении Т через 1/е [см (б29)' т — частота колеГ>аний], получим, что йч= и. (77.2) Последнее соотношение вюжно получить также пз сле- ') Имостсв в виду, >то отстоят пруг ог друга на от положе. впя раиновесия соотвстствуюгппх частиц. дующих соображений. За одну секунду источник волн совершает т колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны.
К тому моменту, как источник будет завершать т-е колебание, первый «гребень» успеет пройти путь и. Следовательно, е «гребней» и «впадин» волны долткньг уложиться на длине о. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х (как это изображено на рис. !92 и 193), а совокупность частиц, заключенных в некотором обьеме.
Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые н новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени г, называется фронтом волны (нлн волновым фронтом),фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в «оторой колебания еще не возникли., Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе,называется волновой поз е р х постыл. Волновую поверхность можно провести череа лгобую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один.
Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинако. вой фазе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейгиих случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответствещю волна и этих случаях назынается плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — систему концентрических сфер.
$78. Уравнения плоской и сферической воли Уравнениелг волны называется выражение, которое дает смещение, колеблющейся точки, как функцию ее координат '), х, у, г и времени й $=з(х, у, г; 1). (78.1) ') Именуется н виду координаты равновесного положения точки, Функция (78.!) должна быть периодической как относи. тельно времени Г, так п относительно координат х, у и х.
Периодичность по ! следует из того, что в описывает колебания точки с коордннатамп х, р, ю Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, нтстоящие друг от друга на расстоянии Х, колеблются одинаковым образом, Найдем внд функции $ в случае плоской волны, пред- полагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны, Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смешение $ будет зависеть только от х и Г: ~=в(х, г).
Пусть колебания точек, лежа. ших в плоскости х=0 (рис. !95), имеют внд $(0, Г) = асовег Найдем внд колебания частиц Рис. !95. в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до втой плоскости, волне тре. буется время к т=— Р где о — скорость распространения волны. Следователь- но, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на т от колебаний частиц в пло.
скости х = О, т. е. будут иметь вид В(х, М)=а сове(! — т) =асане(! — — 1. к! $ = а сов е (! — — ) Величина 5 в (78.2) представляет собой смещение лю. бой из точек с координатой х в момент времени й При 267 Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом: (78. 2) выводе формулы (78.2) мы предполагали, что амплитуда колебаний во всех точках одна и та же. В случае плоской волны это наблюдается, если энергия волны не поглощается средой. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (78.2), положив: ы(1 — — )=сонэ(.
(78.3) Выраи ение (78.3) дает связь между временем (1) и тем местом (х), в котором зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив вы- Ф» тека!ошее пз него значение —, мы найдем скорость,с которой перемешается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (78.3), получим: !Й вЂ” — „!тх = О, ! откуда $= п созе~1+ — ). (78.5) Действительно, приравняв константе фазу волны (78.5) и продифференцпровав, получим; и» г9 откуда и следует, что волна (78.5) распространяется в сто ону убывания х. равнению плоской волны можно придать симметричный относительно 1 и х впд.
Для этого введем так называемое волновое число /г: й Зк А ' (78.6) ш — =в (78.4) Таким образом, скорость распространения волны о в уравнении (78.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чезг ее называют ф а з о в о й с ! о р о с т ь ю. 11з (78.4) следует, что скорость волны (78.2) положительна. Следовательно, уравнение (78,2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространявшаяся в противоположном направлении, имеет впд Из (77.1) н (78.8) вытекает, что между волповык числом й, круговой частотой ы и фазовой скоростью волны и имеется соотношение (78.7) Заменив в уравнении (78.2) и его значением (78.7) и внеся в скобки ы, получим уравнение плоской волны в виде $ = п сов(е( — йх).
(78.8) Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет отличаться от (78.8) только знаком при члене йх. Теперь найдем уравнение сферической волны: Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значителыю превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна н та же, порождаемая точечным источником волна будет сферической. Предположим,что фаза колебаний источника равна ый Тогда точки, лежащие на Волновой поверхности радиуса «, будут колебаться с фазой «в(« — «/о) (чтобы пройти путь «, волне требуется время т- «/в). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — оиа убывает с расстоянием от источника по закону 1/«(см.
$ 82). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид (78.9) где а — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Разм~ерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины (размерность «). Напомним, что в силу сделанных вначале предположений уравнение (?8.9) справедливо только при «, значительно превышающих размеры источника. При стремлении «к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется пепрпменимостыо уравнения для малых «. й 79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
