Савельев - Курс общей физики Том 1 - Механика (934755), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении В предыду<цех< параграфе мы получили уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х. Найдем уравнение плоской волны. распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, а углы а, (~ и у. Пусть колебания в плоскости, про- ходящей через начало коорди- У нат (рис. 196), нме<от вид $е = а соз <э1. (79.1) Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстоянии 1. Колебания в этой ,т плоскости будут отставать от колебаний (79.1) иа время т = = 1<о; 5 = а соз <0 (1 — — ). (79.2) Выразим 1 через радиусРис <96.
вектор г точек рассматривае- мой поверхности. Для этого введем единичный век<ор и нормали к волновой поверхности. Легко видеть, что скалярное произведение п на радиус-вектор г любой из точек поверхности имеет одно н то же значение, равное 1: пг = г соз <р =1. (79.3) Подставим выражение (79.3) для 1 в уравнение (79.2), внеся одновременно в скобки ен $ = а соз (<эт — — '„' пг) . (79.4) Отношение <о/о равно волновом> числу й (см.
(78.7Ц. Вектор й=йп, (79 6) равный по модулю волновому числу А = 2л/й и имеющий направление нормали к волновой< поверхности, называется волновым вектором. Введя й в (79.4), полу. чнм: 5 (г, 1) = а соз (<01 — йг). (79.6) Функция (79.6) дает отклонение от положения рав.
иовесия точки с радиусом-вектором г') в момент времени й Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, н, выразим скалярное произведение кг через проекции векторов на координатные осн Мг = й„х+ Агу+ й,ю Тогда уравнение плоской волны принимает вид ~(х, у, х; т) =асоз(со1 — й с — 'агу — й,а), (79.7) 2п 2п 2я где й„= — сова, Йг —— — сон 8„й, =.
—,„сову. Функция (79.7) дает отклонение точки с координатами х, у, х в момент времени й В случае, когда и совпадает с осью х, А = й, й„й, = 0 и уравнение (79.7) переходит в уравнение (78.8). Уравнение плоскон волны иногда пишут в виде а=пепе''"" "'>, (79.8) причем часто опускают знак Ке и пишут просто гь — аес ея — гг) (79.9) подразумевая, что берется только вещественная часть этого выражения.
% 80. Волновое уравнение Оказывается, что уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, иазывае мого волновым. с1тобы установить вид волнового уран неиня, сопоставим вторые частные производные по коор~ дииатам и времени от функции (79.7), описывающей плоскую волну. Продифференцировав (79.7) дважды по каждой из переменных, получим: — = — со а соз (со1 — кг) = — со-в, дга дгг (80. 1) — = — й„а соз (Ы вЂ” 'кг) = — й Д„ д2$ г г дх' д'2 г г — ', = — йна сов(со( — й~) = -М, —, = — й,а соз (со1 — йг) = — йД. дга г г ') См.
сноску на стр. 266. (80.2) 271 Сложим вместе уравнения (80.2); д х+ д 2 ! д т Ьх+йа+К)ь й ь (803) дгй дзй дтй х а 2 Теперь, сопоставляя уравнения (808) и (80.8), находим, что д'$ , дхй д~$ )гх дт$ (80.4) — =йг дт) да — а Подстаиовкогй выражений (80.6) н (80.7) в уравнение (80.4) легко убедиться в том, чта функция (80.8) удовлетворяет волновому уравнению, если положить .- и. ') Левая часть этого уравнення может быть заннсапа более компактно с помопгьго оператора Лапласа Ь. Оператором Лапласа обозпачагот снмволнческп совокупность веаствнйй которые лвгог Сумму вторых частных пропэволпых по х, у, х от фунггпгпг этих переменных: дх( гтх( дз( М= — + —.
+ —. дхх др' дхз Используя оператор Лапласа, уравпепне (Ю.4) можно записать в виде ! дгй Ьй - —— х дгя ьз ! Наконец, учитывая, что согласно (78.7) иолу гаем окончательна: Уравнение (80.4) и есть искомое волновое уравнение. Легко убедиться в том, чта волиовону уравнению удовлетвориет пе только функция (79.7), но и любая функция вида ~ (х, у„г; г) - г*(от( — Ф„к — Фау — /гхг). (80.5) Действительно, обозначая выражение, стоящее в скобках в правой части (80.5), через с, имеем: — — = ~'го — -.га -~- — = )мгах (80.6) д( д) дс , д ( Ц дй дт дй дт ' йз да Ю Аналогично Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (80.4), описывает некоторую волну, причем корень квадд~~ ратный из величины, обратной коэффициенту прц —,, > дает фазовую скорость этой волны.
В зависимости от дополнительных условий, которые накладываются на рещение уравнения (80.4), получается та либо иная волна. 8 81. Скорость распространения упругих волн Пусть в направлении оси х раснространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем высотой Лх с плошадью основания 3 (рис. !9>). Сме~ценпя с частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различиымн (см. рис.
194, на котором изображено $ в функции от х). Если осно- х а" Ат ванне цилиндра с координатой х имее~ в некоторый момент времени смещение В, то смещение основания с координатой х + Лх будет с + Л$. Следовательно, рассматриваемый объем деформируется — он получает удлинение Л| (Ла — алгебраическая величина; Лс(О соответствчет сжатию цн- лнндра) илн относительное 4 4л4 удлинение †. Величина— а1 ай ах ах Р»с. И? дает среднюю деформацию нилиндра. В силу того, что $ меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинакова. Чтобы получить деформацию з в сечении х, нужно устремить Лх к нулю.
Следовательно, ах (81.!) (знак частной производной взят потому, что $ зависит не только от х, но и от 1). Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения о, прц малых 18 И. в. с»»>.>ье», к г 273 деформациях пропорционального величине деформации. Согласно (45.5) а= Ее= Š—, д$ (81.2) дх где Š— вюдуль Юнга среды. Отметим, что относительная деформация — „, а сле» д$ довательно, и напряжение о в фиксированный момент времени зависят от х (рнс. 198). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максим'=0 — ~ мальньп деформация и напряжение равны нулю.
В местах, где ча- ФЗ стнцы проходят через )в д0 положение равновесия, Ух — ь0 деформация и напряжение достигают мак- ~ — %=0 — -./ симального значения, причем положительные Рнс. 198. и отрицательные де. формации (т. е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответ. ствии с этим, как уже отмечалось в 8 77, продольная волна состоит из чередующихся разрезкений и сгущений среды.
Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 197, и напишем для него уравнение движения. Беря Ьх очень малым, ускорение цилиндра можно принять равным —,, Масса цилиндра равна РЯ Лх, где р — плотность недеформированной среды. Сила, действующая на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра Я на разность нормальных напряжений в сечении (х+ Ьх+ $+ Л$) и в сечении (х + $) 1=ЕЕ~( — дй) — ( — дй) 1.
(81.8) Величину ~ — ~ для малых б можно с большой сте- /д1 З '1д ~„~, пенью точности представить в виде ( — ) = ф) + ~ — ф)~ б = ( — ~) + — ~ Ь, (81.4) во всех точках этого объема можно было считать огн наковымн и равными соответственно, —. и —. д5 д$ дх д1 ' Согласно формуле (46.15) выделенный нами объем 61дет обладать потенциальной энергией упругой дефор- мации где е = — — относительное удлинение, а Š†моду дй Юнга. Заменим в соответствии с (81.6) модуль Юнга Е через рв' (р — плотность среды, и — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии обжма 81Г примет внд (82.1) Рассматриваемый объем будет также обладать кинетической энергией 2(д1) (82.2) (рЛУ вЂ” масса объема, —,— его скорость). Выражения дй (82.1) и (82.2) в сумме дают полную энергию АЕ АЕь+ ЬЕ = — Р(( — ) + пт( — ) |М'.
Разделив энергию ЬЕ на объем ЛУ, в котором она содержится, получим плотность энергии 2 р(( д~ ) + о ( — ) 1. (82.3) Дифференцирование уравнения плоской волны (78.2) по 1 н х дает: дй . 1 х1 — = -ааз)па(1 — — ) д~ х)' дй а . ! х1 — = — азй1а(1 — — ). дх х ,) Подставив этн выражения в формулу (82.3), получим: и = рахат з)п' а (1 — х 1 = рата" "з)пх (аг — йх). (82.4) О)- В случае попсрсчпоп волны . ш плотности энергии полхчается такое же выражение.
Как следует из (82.4), плопюсть энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поскольку среднее значение квадрата синуса равно половине, среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке с еды б дет авно Р У Р й = — разоР. я (82.5) Плотность энергии (82.4) и ее среднее значение (82.5) пропорциональны плотности среды р, квадрату частоты ы и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место нс только для плоской волны с постоянной амплитудой, по и для других видов волн.
Итак, среда, в которой возникает волна', обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, псреноснмое волной через некоторую поверююсть в единицу времени, называется потоком э не р г пи Ф через поверхность. Поток энергии — скалярная величина, размерность которой равна размерностп энергии, деленной на размерность времени, т. е.
совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Ф можно измерять в эрг/сек, ваттах и т. д. Поток энерпш в разных точках среды может обла. дать различной интенсивностью. Для характеристики течения энергии в разных точках простраиетва вводится векторная величина, называемая и лот ность ю п о. тока э и е р г и и. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, повешенную в данной точке перпендикулярно к направленшо, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энерпш совпадает с направлением переноса энергии. Пусть через площадку ЛЯх, перпендикулярную к на» правлению распространенна волны, переносится за время ог' энергия ЛЕ. Тогда плотность потока энергии / по определению равна (82.6) ае Учитывая, что — есть поток энергии ЛФ через по- М верхность Л5, можно написать.' 1=— ЬФ (82.7) Ьзь' Через площадку Л5 (рис.
199) за время Лг будет перенесена энергия ЛЕ, заключенная в объеме цилиндра с основанием Л5 и высотой оЛ1 (о — фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за 38 счет малости Л5 и Л1) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ЛЕ можно найти как произведение плот. ности энергии и на объем цилиндра, равный Л5 о ЛЕ Рис. 1% ЛЕ = и Л5хо ЛЕ Подставив это выражение для ЛЕ в формулу (82.6), получим: )=ио. (82.8) Рассматривая фазовую скорость о как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны (н переноса энергии), можно написать: и ич. (82.9) Вектор плотности потока энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
