ответы на билеты (928633), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Подставив ввыражения(1) и (2) получим:Ju=Jxcos2a – Jxysin 2a + Jy sin2 aJv=Jxsin2a + Jxysin 2a + Jy cos2 a (3)Juv=Jxycos2a + sin 2a(Jx-Jy)/2Ju +Jv=Jx +Jy=∫F(y2+x2)dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно222перпенд. Осей не зависит от угла а. Заметим, что x +y =p . p- расстояние от начала координат доэлементарной площадки.

Т.о. Jx +Jy=Jp.(4)Jp=∫F p2dF –полярный момент, не зависит от поворота х,у2)Т. Кастелиано.Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равнаперемещению точки приложения силы по направлению этой силы.Рассмотрим стержень, нагруженный произвольной системой сил изакрепленный как показано на рис.Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела врезультате работы внешних сил, равна U. Силе Fn дадим приращение d Fn. Тогдапотенциальная энергия U получит приращениеdU dPndFnи примет видdU dPn .(5.4)dFnИзменим теперь порядок приложения сил.

Приложим сначала к упругому телусилу dPn. В точке приложения этой силы возникнет соответственно малоеU+перемещение, проекция которого на направление силы dPn равна. dδn. Тогдаработа силы dPn оказывается равной dPn· dδn /2. Теперь приложим всю системувнешних сил. При отсутствии силы dPn потенциальная энергия системы сноваприняла бы значение U. Но теперь эта энергия изменится на величинудополнительной работы dPn·δn которую совершит сила dPn на перемещении δn ,вызванном всей системой внешних сил.

Величина δn опять представляет собойпроекцию полного перемещения на направление силы Рn.В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение дляпотенциальной энергии получаем в видеU  dPn  n 1dPn d n (5.5)2Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведениеdPn· dδn /2 как величину высшего порядка малости, находимn UPn(5.6)Билет 23Кому-то не повезлоБилет 241) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определениенапряжений и перемещений).Кручение бруса прямоугольного сечения, напряжения в поперечном сеченииПри этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при крученииискривляются – депланация поперечного сечения.Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения. max MkWk ;MkLGJ k , Jk и Wk — условно называют моментоминерции и моментом сопротивления при кручении. Wk= hb2,Jk= hb3, Максимальные касательные напряжения max будут посрединеmaxдлинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: = max,коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношенияh/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основныезадачи.

Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе,и, вовторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешнихмоментов.решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а).Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде.Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментовповорачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое.

Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.Рис. 4.1Для построения эпюры крутящих моментов Mz применим традиционный метод сечений  нарасстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Дляоставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммыкрутящих моментов Mz = 0, получим:Mz = M.(4.1)Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1)верно для любого сечения вала крутящий момент Mz в данном случае постоянен по всей длине бруса.Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделимэлемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами  и + d выделим элементарное кольцо, показанное на рис.

4.1, в. В результате кручения правое торцевоесечение кольца повернется на угол d. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол  изаймет положение АВ . Дуга BВ  равна с одной стороны,  d, а с другой стороны   dz.Следовательно, ddz .(4.2)Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можновидеть, что угол  представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений , вызванных действием крутящего момента. Обозначаяddz ,(4.3)относительный угол закручивания.Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстояниюмежду ними.

Величина  аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатиистержня.Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим: =  .(4.4)Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случаевыражение касательных напряжений принимает следующий вид: = G  ,(4.5)где   касательные напряжения в поперечном сечении бруса.

Парные им напряжения возникаютв продольных плоскостях  в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определитьчерез  с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательныхнапряжений  на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):dM =   dF.Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечениявала, получим:Mz   dF .(4.6)FИз совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:M z  G  2dF  G  I p .(4.7)FОткудаMz.GI(4.8)Величина G I называется жесткостью бруса при кручении.Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение попараметру z, получим:z( z) M z dzGI0.Рис. 4.2(4.9)Если крутящий момент Mz и жесткость G I по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим: ( z) M z dzGI  ( 0) ,(4.10)где  (0)  угол закручивания сечения в начале системы отсчета.Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него ,согласно (4.8), получим: ()=M z dzGI.Величина W  (4.11)Imaxназывается полярным моментом сопротивления поперечного сечения брусав форме сплошного круга радиусом R.

Определяется эта величина из следующих соображений:I  R4R 3 D 3;  max  R  W  .2216(4.12)Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r =W K где с =2rRR3  r 3 dD D3161  c  ,4d2, то для кольца(4.13).Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальнойэнергии деформации.

Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы понаправлению действия приложенных к этой системе внешних сил.Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1),когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные силыдействием этих сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии.,)...

и т. д. ПодПрогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силыНайдем один из этих прогибов, например,,,..., обозначим,,... и т. д.,— прогиб сечения, в котором приложена сила.Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение , показанное нафиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличитьуже приложенные и т. д.Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состояниюк силесделана бесконечно малая добавка(Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия,будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е.

возрастает от нуля до окончательногозначения медленно и постепенно.2) Расчетная модель к теореме Кастильяно.При переходе от состояниябалки к состояниювсе нагрузки Р опустятся, значит, ихпотенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение, энергиинагрузокцеликом преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформаций балки dU.Величинаизмеряется работой внешних сил при переходе балки из положенияв положение II:Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией силпроизошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменныхдифференциал такой сложной функции равен:Что касается величиныположений и :Работа,,,...,, поэтому, то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р дляпри одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:При вычислении работыучтем, что ее величина всецело определяется окончательной формойдеформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом(Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будутнагрузкибудет равнавозрастающими грузами; балка очень немного прогнется.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)