ответы на билеты (928633), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Работа статически приложенной. После этого начнем постепенно нагружать балку одновременно,,.Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.К первоначальным прогибамнагружения силы,,добавятся прогибы(Рис.2). При этой стадиипроизведут работуработу уже находившийся на балке груз; он пройдет путьнагружения он оставался постоянным, то его работа равнапоказанное на Рис.2 пунктиром., кроме этого, произведет, и так как при втором этапеБалка займет положение,Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балки изнедеформированного состояния в положение , будет равна.Теперь вычислимПренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:Подставляя полученные значения dU ив исходное уравнение, находимилиТаким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной силычастной производной потенциальной энергии деформации по этой силе., равенПолученный результат можно обобщить.
Пусть на балку помимо сосредоточенных сил Р действуют вразных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, чтобалка переводится из положенияв положениепутем добавкик паре. Весь ходрассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментовумножать их не на прогибы, а на углы поворотаdU будет равностанет,,...,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда, и в итоге получим:Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.Так как— это перемещение, соответствующее силе,a— перемещение, соответствующеесилето полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальнойэнергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующемуэтой силе.
Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так каквсякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенныхсил.Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любойконструкции, деформации которой следуют закону Гука.Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U сизгибающими моментами:Изгибающий момент является линейной функцией нагрузокбалке:,…,,..., q, приложенных к,в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов при построенииэпюр. Следовательно, потенциальная энергия является функцией второй степени от независимыхвнешних нагрузок.Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например.
Получаем:Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла попараметру, так как М(х)— функция ии х, интегрирование производится по х, а дифференцированиепо параметру. Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует простодифференцировать подинтегральную функцию.Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силыравен:а угол поворота сечения с паройНапомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всю балку.Билет 251) Связь между характеристиками упругости свойств материала E,G,мю.Расчѐт на прочность при изгибе:σmax ≤ [σ] ≤ στ / nτ ,где σmax = Mx max / WxНАПРЯЖЕНИЕ ПРИ ИЗГИБЕ И РАСЧЕТ БРУСЬЕВ НА ПРОЧНОСТЬВо всех точках поперечного сечения бруса при поперечном изгибе возникают нормальные икасательные напряжения (на рис.
5.1,6 эти напряжения показаны в точках, отстоящих на расстоянии Yот оси X):Рис. 5.1Условные обозначения.Mx, Q - внутренние усилия: изгибающий момент и поперечная сила, они изменяются вдоль бруса иопределяются с помощью построения эпюр;у - координата точек поперечного сечения, в которых определяются напряжения;b - ширина сечения в месте определения касательных напряжений;Jx - главный центральный момент инерции -момент инерции относительно центральной оси х,сx* - статический момент относительно нейтральной оси ж той части площади поперечного сечения,которая расположена выше (или ниже) продольного сечения - выше или ниже уровня у, в точкахкоторого определяются касательные напряжения.Эти формулы выведены в главных центральных осях поперечного сечения бруса. На рис.
5.1 это оси X,У. При этом ось Y совпадает с осью симметрии сечения, а ось X, перпендикулярная плоскости изгиба,проходит через центр тяжести сечения и является нейтральной осью: нормальные напряжения в точкахэтой оси равны нулю. Ось Z - ось бруса.Таким образом, на уровне у напряжения, определяемые вышеприведенными формулами, постоянны, независят от координаты X.С увеличением координаты у нормальные напряжения увеличиваются и в наиболее удаленных отнейтральной оси точках достигают наибольшего значения:Для расчетов используется специальная геометрическая характеристика - момент сопротивлениясечения при изгибе:Касательные напряжения, наоборот, уменьшаются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точкахобращаются в нуль, а а области нейтральной оси достигают наибольших значений (рис. 5.1,г). Крометого, наибольшие значения касательных напряжений значительно меньше максимальных значенийнормальных напряжений: так для консольного стержня прямоугольного поперечного сечения,нагруженного сосредоточенной силой на свободном конце, отношение максимальных значений этихнапряженийгде l, h - длина бруса и высота его поперечного сечения.Поэтому, при l >> h, что имеет место в большинстве случаев, касательные напряжения по сравнению снормальными пренебрежимо малы и при расчетах на прочность не учитываются.Условие прочности имеет следующий вид:- допускаемое напряжение.2)Расчѐт на прочность при изгибе.
Понятие о расчѐтном и нормативном коэффициенте запаса,расчѐт по допускаемым напряжениям.Процесс расчета бруса на прочность следует вести в определенной последовательности. При этомнеобходимо:1. Определить весь комплекс внешних сил, в том числе и реакций опор.Прежде всего, необходимо определить все реакции опор, так как реакции входят в числовнешних сил. Если при этом число реакций равно числу линейно независимых уравненийстатики, то все реакции находятся из статических уравнений.2.
Построить эпюры внутренних усилий, по которым определить опасные сечения.Построение эпюр внутренних усилий выполняется с использованием метода сечений иначинается с деления бруса на участки. Границами участков служат места приложениясосредоточенных сил или моментов, места начала и конца действия распределенных нагрузок.Далее на каждом участке выбирается произвольное сечение, для которого составляются выражения дляопределения внутренних усилий, по которым строятся эпюры (графики) этих усилий.По эпюрам внутренних усилий определяются опасные сечения, в которых эти усилия достигаютнаибольших значений.В большинстве случаев основным внутренним усилием при расчетах бруса на прочность являетсяизгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения.3.
В опасных сечениях определить максимальные нормальные напряжения и для наибольшего из этихнапряжений проверить выполнение условия прочности.После определения положения опасных сечений с наибольшими значениями изгибающих моментов, вэтих сечениях вычисляют наибольшие нормальные напряжения:а) Для брусьев из пластичного материала, при равенстве по величине пределов текучести прирастяжении и сжатии, наибольшие расчетные напряжения возникают в "опасных" точках, которыенаиболее удалены от нейтральной оси.Эти напряжения сравниваются с допускаемым напряжением:после чего делается заключение о прочности бруса.б) Если же брус изготовлен из хрупкого материала: , то в опасных сечениях наибольшие нормальныенапряжения определяются и в растянутых, и в сжатыхзонах поперечного сечения и путемсравнения их с соответствующими допускаемыми напряжениями при растяжениии сжатии:решается вопрос о прочности бруса.Билет 261) Определение напряжений при косом изгибе стержняКосым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость нагрузки (силовая линия)изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения стержняX, Y (рис.
7.1, а, б).При косом изгибе действующие внешние силы (моменты) представляют их проекциями на главные осипоперечного сечения (рис. 7.1, б), тем самым сводят задачу к случаю поперечного изгиба в двухглавных плоскостях. Из рис. 7.1, а, б видно, что:Изгибающие моменты в расчетном сечении:При выбранном направлении главных центральных осей инерции положительным октантом будетпервый октант (на рис. 7.1, а, б заштрихован).Рис. 7.1Правило знаков. Изгибающие моменты в расчетном поперечном сечении считаются положительными,если они вызывают в первом (заштрихованном) октанте напряжения растяжения.Нормальные напряжения в точках поперечного сечения с текущими координатами х, у определяютсяалгебраической суммой напряжений, вызываемых изгибающими моментами Мx и Мy:где Jx и Jy — моменты инерции поперечного сечения относительно главных, центральных осей инерциисечения X, Y, т.
е. изменяются по линейному закону. Уравнение нейтральной (нулевой) линии всечении найдем, приравнявОтветы совпали.При х = 0 значение у = 0, т. е. прямая с угловым коэффициентом k проходит через центр тяжестипоперечного сечения.При косом изгибе нейтральная линия представляет собой прямую, которая не перпендикулярна кплоскости изгибающего момента , или, что одно и то же, к силовой линии.Силовая линия наклонена к оси X под углом а, следовательно, ее угловой коэффициент равен:Угловой коэффициент нейтральной линии:Так как в общем случае Jx не равно Jy, то и k1 не равно — 1/k, следовательно, нулевая длина неперпендикулярна силовой линии, а повернута в сторону главной оси минимального момента инерции.Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на две зоны: в которой действуют только напряжения растяжения; в которой действуют только напряжения сжатия.
Первый (заштрихованный) квадрант (рис 7.1,а) находится всегда в зоне действия напряжений растяжения. Максимальные по величиненормальные напряжения находятся в точках поперечного сечения максимально удаленных отнейтральной оси.Максимальные по величине напряжения растяжения возникают в точке А с координатами Xa, Yл, амаксимальные напряжения сжатия возникают в точке В с координатами XВ, YВ (рис. 7.1, в):Получим эпюру нормальных напряжений в расчетном сечении (7.1, в).Условие прочности. Если материал стержня одинаково работает на растяжение и на сжатие, то условиепрочности записывается в виде:Если материал стержня работает на растяжение и на сжатие не одинаково, то расчет проводитсяраздельно, т. е.
проверяются условия прочности:Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии:где Wx, Wy — момент сопротивления поперечного сечения относительно главных, центральных осейинерции X, Y.Прогибы при косом изгибе. Прогиб конца консоли от действия Рx направлен по оси X и равен:Прогиб от действия Рy направлен по оси Y и равен:Модуль полного прогиба конца консолиУгол наклона вектора f к оси Xт. е. угловой коэффициентперемножив k на k2 получим:что свидетельствует о том, что нулевая линия и направление полного прогиба взаимно2)Метод сечений для определения внутренних силовых факторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
