ответы на билеты (928633), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол  изаймет положение АВ . Дуга BВ  равна с одной стороны,  d, а с другой стороны   dz.Следовательно, ddz .(4.2)Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можновидеть, что угол  представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений , вызванных действием крутящего момента. Обозначаяddz ,(4.3)относительный угол закручивания.Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстояниюмежду ними. Величина  аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатиистержня.Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим: =  .(4.4)Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случаевыражение касательных напряжений принимает следующий вид: = G  ,(4.5)где   касательные напряжения в поперечном сечении бруса.

Парные им напряжения возникаютв продольных плоскостях  в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определитьчерез  с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательныхнапряжений  на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):dM =   dF.Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечениявала, получим:Mz   dF .(4.6)FИз совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:M z  G  2dF  G  I p .(4.7)FОткудаMz.GI(4.8)Величина G I называется жесткостью бруса при кручении.Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение попараметру z, получим:z( z) 0M z dzGI.Рис.

4.2(4.9)Если крутящий момент Mz и жесткость G I по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим: ( z) M z dzGI  ( 0) ,(4.10)где  (0)  угол закручивания сечения в начале системы отсчета.Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него ,согласно (4.8), получим: ()=M z dzGI.(4.11)Величина W  Imaxназывается полярным моментом сопротивления поперечного сечения брусав форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:I  R4R 3 D 3;  max  R  W  .2216(4.12)Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r =W K где с =R23rdRr3 D D3161  c  ,4d2, то для кольца(4.13).Билет 211) Определение перемещений при растяжении-сжатии.Перемещения и деформацииПод действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, а точки теланеодинаково перемещаются в пространстве.

ВекторT , имеющий свое начало в точке А недефор-мированного состояния, а конец в т. A  деформированного состояния, называется вектором полногоперемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями иобозначаются u, v и w, соответственно.Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотримточки А и В его недеформированного состояния, расположенные на расстоянии S друг от друга(рис. 1.5, б).Пусть в результате изменения формы тела эти точкипереместились в положение А и В, соответственно, арасстояние между ними увеличилось на величину S исоставило S + S.

Величина(1.6) S   называетсялинейной деформацией вlim S 0 S точке А по направлению АВ. Еслирассматриватьдеформациипонаправлениямкоординатныхосейxyz,товобозначениясоответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы x , y , z .2) Расчѐт на прочность при изгибе.

Понятие о расчѐтном и нормативномкоэффициенте запаса.Расчѐт на прочность при изгибе:σmax ≤ [σ] ≤ στ / nτ ,где σmax = Mx max / WxКосой изгиб - такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающегомомента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения(рис.

5.27, а). Косой изгиб удобно рассмотреть как одновременный изгиб брусаотносительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общийвектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса,раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б):Mx = Msin; My = Mcos(5.25)Введем правило знаков длямоментов Mx и My  моментсчитается положительным, если впервой четверти координатнойплоскости (там, где координаты x иy обе положительны) он вызываетсжимающие напряжения.По принципу независимостидействиясилнормальноенапряжение в произвольной точке,принадлежащей поперечному сечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-сяMyMyx суммой напр-й, обусловленных моментами Mx и My , т.е.

( x , y)  IIyxx(5.26)yxПодставим выражения Mx и My из (5.25) в (5.26): ( x , y)  M  I sin   I cos xyПоследнее выражение представляет собой уравнение плоскости.Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напряжения , то концы векторов образуют геометрическое место точек,принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.Уравнение н ей траль ной ли нии , т.е.

геометрического места точек, гденормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) = 0:Mx y My x0IxIyОткуда определяется:yMyIxMx Iyx  ctgIxxIy(5.27)Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегдапроходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюранапряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальныенапряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральнойлинии.

В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг),положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений,имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.Покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна кплоскости действия изгибающего момента, как это выполнялось при поперечномизгибе. Действительно угловой коэффициент K1 следа момента (рис. 5.27, б)равен:K1 = tg  .(5.28)Угловой коэффициент нейтральной линии, как следует из (5.27), определяетсявыражением: (5.29)tg  K 2 IxM yIxctgIyI yM xТ.к.

в общем случае Ix  Iy, то условие перпендикулярности прямых, несоблюдается, поскольку K1  - 1/К2 . Брус изгибается не в плоскости изгибающегомомента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будетминимальной.Внецентренное растяжение и сжатиеВнецентренное сжатие и растяжение как и косой изгиб относится к сложномувиду сопротивления бруса. При внецентренном растяжении (сжатии)равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, а смещена относительно оси z и параллельна ей (рис. 5.31).Пусть в точке А(xA , yA ) приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогдаотносительно главных осей x и y равнодействующая сила Р вызывает моменты:Mx = PyA ; My = PxA . (5.34)Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в поперечномсечении бруса возникает нормальная сила Nz= P и изгибающие моменты Mx и My .Следовательно, на основании принципа независимости действия сил впроизвольной точке В с координатами x, y нормальное напряжение  определяетсяP P yAP xAyxFIxIyследующим выражением:  (5.35)Используя выражения для квадратов радиусов инерции сечения:Ii x2  x ;Fi y2 IyF,можно (5.35) преобразовать к следующему виду:  PF1  yA  y  x A  x  .i x2i y2 Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю выражение длянормальных напряжений : P 1  yA 2 y  x A 2 x F ixiy0(5.36)Из (5.36) можно легко определить отрезки, которые отсекает нейтральнаяy A  ay10линия на координатных осях.

Если приравнять x = 0, то получим:i2xгде ay  координата точки пересечения нейтральной линии и оси y. Решая этоiуравнение, получим: a y   xy2AАналогичнымобразомможноiyx2нейтральной линии и оси x: axAопределитькоординатупересеченияМожно решить и обратную задачу  определить координаты приложениясилы Р при заданных отрезках аx и аy . Опуская простейшие выкладки, приведемiy;yax2окончательные выражения: xAi xay2AНаибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точкенаиболее удаленной от нейтральной линии. При внецентренном растяжении(сжатии) в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центртяжести сечения.

Расстояние от начала координат x0y до прямой a y + b x + c = 0определяется по формуле: 0Cc22a bСледовательно, в данном случае 0C 1 y  xA A F I I x y 22.Тогда, как это следует из (5.37), по мере того,как точка приложения силы приближается к центрутяжести сечения, нейтральная линия удаляется отнего.При xA  0, yA  0, получаем 0 C  . Сила вданном случае становится центральной, анапряжения в этом случае распределены по сечениюравномерно. В тех случаях, когда нейтральнаялиния пересекает сечение, в нем возникаютнапряжения разного знака.

В противном случае всечении во всех точках возникают напряженияодного знака. Следовательно, в окрестности центратяжести всегда существует некая область, называемая я д р о м с еч ен и я , такая, чтоесли точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то впоперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака.

При этом еслисила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контурасечения.Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупкихматериалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как правило, имеютсущественно меньшую прочность на растяжение, нежели на сжатие. Поэтому припроектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобыравнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.Билет 221) Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей.Изменение моментов инерции при повороте осей.Рассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей координат.

Положим, данымоменты инерции некоторого сечения относительно осей x и y (не обязательно центральных).Требуется определить Ju, Jv, Juv- моменты инерции относительно осей u,v, повернутых на угол а. Такпроекция ОАВС равна проекции замыкающей:u=y sin а + x cos a (1)v=y cos a – x sin a (2)Исключим u,v в выражениях моментов инерции:Ju = ∫v2dF; Jv= ∫u2dF; Juv= ∫uvdF.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)