ответы на билеты (928633), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Работастатически приложенной нагрузкибудет равна. После этого начнемпостепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами , , .Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.К первоначальным прогибамдобавятся прогибы(Рис.2). При этойстадии нагружения силы , , произведут работу, кромеэтого, произведет работу уже находившийся на балке груз; он пройдет путь , и таккак при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равнаБалка займет положение , показанное на Рис.2 пунктиром.Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балкииз недеформированного состояния в положение , будет равна.Теперь вычислимПренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:Подставляя полученные значения dU ив исходное уравнение, находимилиТаким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточеннойсилы , равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.Полученный результат можно обобщить.

Пусть на балку помимо сосредоточенных силР действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторитьпредыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения в положениепутем добавкик паре. Весь ход рассуждений остается без изменений, надобудет лишь при вычислении работы моментов,...

умножать их не на прогибы, ана углы поворота , ,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равностанет, и в итоге получим:Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.Так как — это перемещение, соответствующее силе , a — перемещение,соответствующее силето полученные нами результаты можно формулировать так:производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних силравна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теоремаКастильяно, опубликованная в 1875 г.Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущихвыводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую избольшого числа сосредоточенных сил.Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можноповторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.Для случая изгиба нами была получена формула,потенциальной энергии U с изгибающими моментами:Изгибающий момент является линейной функцией нагрузокприложенных к балке:связывающая,…,величину,,..., q,в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментовпри построении эпюр.

Следовательно, потенциальная энергия является функцией второйстепени от независимых внешних нагрузок.Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, напримерПолучаем:.Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенногоинтеграла по параметру, так как М(х)— функция и и х, интегрирование производитсяпо х, а дифференцирование по параметру . Как известно, если пределы интегралапостоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силыравен:а угол поворота сечения с паройНапомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всюбалку.2) Рациональные формы поперечных сечений при кручении и изгибеВ этом расчете по заданной нагрузке (Nz) определяются размеры поперечногосечения стержня (F) из заданного материала (дано).

Минимальное значение Fполучим, если в условии прочности (1) принять знак равенства:Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки,которое допускает данный элемент конструкции (F иданы) при выполнении условияпрочности.Билет 91) Кручение тонкостенных замкнутых профилей (вывод формул для определенияуглов закручиванияВ машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяютсятонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис.

4.7, б)поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеетбольшое практическое значение.Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то,что их толщина существенно (на порядок и более)меньше других геометрических размеров (длинойсрединной линии контура поперечного сечения идлины стержня).Характер распределения напряжений потолщине тонкостенного стержня открытогоРис. 4.7профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), азамкнутого профиля меняется по линейному закону, как это показано на рис. 4.7, а.Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля практически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения вкриволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.Обращаясь к формулам (4.14), (4.16) и при предельном переходе h b   , получим:3M K max 3M KG s,;(4.17)где   толщина профиля; s  длина контура профиля; l  длина стержня.В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным (рис.

4.8) ине может быть развернут в вытянутый прямоугольник, воспользовавшись почленнойаналогией, легко определить выражения напряжений на iом произвольном участке: s2 max i  23M K i  i2 si,(4.18)где MK(i)  доля крутящего момента, соответствующего iму участку:M K i  G 3 i si3l,где   угловое перемещение, единое для всех участков:3M K lnG   3i sii 1.(4.19)Изложенный подход к определению напряжений является приближенным, так какон не позволяет определить напряжения в зонах сопряжения элементов поперечногосечения профиля, которые являются зонами концентрации напряжений.Рис.

4.8Рис. 4.9брус, имеющий поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенногопрофиля (рис. 4.9).Выделим на контуре элементарный участок длиной ds и выразим крутящий моментчерез напряжения , выполняя операцию контурного интегрирования получим:MK    ds.(4.20)Из условия равновесия сил по оси z выделенного элемента длиной dz (4.9) легкоустановить, что по контуру сечения произведение  является постоянной величиной. Сучетом данного обстоятельства, выражение (4.20) примет вид:sM K     Î À ds  2   F s,(4.21)2F    Î À dssгде представляет собой удвоенной площадь, ограниченную срединнойлинией контура сечения.Из (4.21) наибольшее напряжение определяется по формуле: max MK2 F   min.(4.22)Для вывода выражения для угла закручивания воспользуемся энергетическимисоображениями.

Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами , dz, ds засчет деформаций чистого сдвига, равна:U 12G2 ds l 2 22Gds.С учетом (4.21), последнее выражение можно представить в виде:U sM K28G F2sds.С другой стороны, работу внешних сил можно представить в виде:U s1MK 2.(4.24)Приравнивая оба выражения из (4.22) и (4.23), получим:MK l4G F2ds,(4.25)Если  является постоянной по контуру, будем иметь:sMK l s4G F 2 ,(4.26)где s  длина замкнутого контура.Угол закручиванияM L kGJ p, GJp — жесткость сечения при кручении. M  kL GJ p— относительный угол закручивания.2) Потенциальная энегрия деформации при изгибеБилет 101)Изменение моментов инерции при повороте осей.Рассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей координат.

Положим,даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей x и y (не обязательноцентральных). Требуется определить Ju, Jv, Juvмоментыинерцииотносительно осей u,v, повернутых на угол а.Так проекцияОАВС равна проекции замыкающей:u=y sin а + x cos a (1)v=y cos a – x sin a (2)Исключим u,vв выражениях моментовинерции:22Ju = ∫v dF; Jv= ∫u dF; Juv= ∫uvdF. Подставив ввыражения (1) и (2) получим:Ju=Jxcos2a – Jxysin 2a + Jy sin2 aJv=Jxsin2a + Jxysin 2a + Jy cos2 a (3)Juv=Jxycos2a + sin 2a(Jx-Jy)/2Ju +Jv=Jx +Jy=∫F(y2+x2)dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2хвзаимно перпенд.

Осей не зависит от угла а. Заметим, что x2+y2=p2. p- расстояние отначала координат до элементарной площадки. Т.о. Jx +Jy=Jp.(4)Jp=∫F p2dF –полярный момент, не зависит от поворота х,у2) Закон Гука при одноосном напряженном состоянии. Связь между продольной ипоперечной деформациями.Закон ГукаВ определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональныдействующим на него нагрузкам - закон Гука (английский ученый Гук, 1776 г.)В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки Анагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, может бытьвыражено следующим образом:u = x P,(1.8)где Р  сила, под действием которой происходит перемещение u; x коэффициентпропорциональности между силой и перемещением.Коэффициент x зависит от физикомеханических свойств материала, взаимногорасположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также отгеометрических особенностей системы.В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость междунапряжениями и деформациями.

Коэффициенты пропорциональности представляютсобой физикомеханические характеристики материала и уже не связаны сгеометрическими особенностями системы в целом.Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности междуперемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, илипринципу независимости действия сил.В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие вупругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил.

То есть,если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результатдействия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности.закона парности касательных напряжений.Теперь перейдем к анализудеформаций в растянутом стержне.Наблюдения показывают, что егоудлинениевпродольномнаправлениисопровождаетсяпропорциональнымуменьшениемпоперечныхразмеровстержня(рис.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)